Simple Lie Algebras Over Fields of Positive Characteristic pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Strade, H.

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:

价格:1382.00 元

装帧:

isbn号码:9783110197013

丛书系列:

图书标签:

• Lie algebras
• Positive characteristic
• Field theory
• Algebraic groups
• Representation theory
• Structure constants
• Root systems
• Cartan matrices
• Nilpotent elements
• Solvable Lie algebras

深入探索古典李代数的结构与表示 侧重于特征零域上的代数几何与拓扑视角 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的框架，用以理解特征零域上经典李代数的结构理论、分类及其在不同数学分支中的应用。我们聚焦于利用代数几何、微分几何和拓扑学的工具，揭示李代数在复杂结构下的内在联系。全书内容组织紧凑，理论推导详尽，力求在保持数学严谨性的同时，展现出该领域研究的深刻美感。 --- 第一部分：基础结构与根系理论的重构 本书的开篇部分将对李代数的基本概念进行一次深刻的回顾与提炼，尤其侧重于那些对于后续特征零理论至关重要的预备知识。我们摒弃了对有限维李代数（如 $mathfrak{sl}_n, mathfrak{sp}_{2n}, mathfrak{so}_{n}$）的简单分类叙述，转而采用更具几何洞察力的方法来构建这些结构。 第一章：半单李代数的几何根基 本章详细阐述了李代数 $mathfrak{g}$ 上的Killing 形（Cartan-Killing Form）的性质，并以此为基础，定义了Cartan 子代数 $mathfrak{h}$。关键在于，我们不再将根系视为一组抽象的向量集合，而是将其视为 $mathfrak{h}^$（$mathfrak{h}$ 的双对偶空间）上的一个离散子集，它天然地承载着 Weyl 群的对称性。 我们深入研究了 根空间的分解 $mathfrak{g} = mathfrak{h} oplus igoplus_{alpha in Phi} mathfrak{g}_alpha$。其中，$Phi$ 是根系。接下来的核心工作是建立根约当分解（Root Decomposition）与李括号运算之间的精确关系，特别是针对正交根系（如 $A_n, B_n, C_n, D_n$）的李括号规则。我们详细推导了 Weyl 关系，即 $mathfrak{g}_alpha$ 和 $mathfrak{g}_{-alpha}$ 之间的相互作用如何决定了李代数局部平凡性的缺失。 第二章：Weyl 群与根系的分类拓扑 本章是本书的理论核心之一。我们不满足于简单列举仙人掌图（Dynkin Diagrams），而是将其视为根约化（Root Reduction）过程的几何结果。Weyl 群 $W$ 被定义为由根系诱导的自同构群，其作用于根系 $Phi$ 上。我们采用了 Bruhat 序 的视角来分析 $W$ 的结构，将 Weyl 群视为一个有限 Coxeter 群。 重点讨论了 仙人掌图 的构造过程：如何通过选择一个正根子集 $Phi^+ subset Phi$ 来确定一个基础根集 $Delta subset Phi^+$，进而完全确定整个根系 $Phi$。这部分内容强调了根系在 $mathfrak{h}^$ 上的几何约束，例如根的长度和它们之间的内积关系如何严格限制了李代数的可能性。对 例外型（$E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$）的讨论，则着重于它们在低维空间中展现出的奇特对称性，这些对称性无法通过简单的直和来分解。 --- 第二部分：表示论的几何化与拓扑工具 在特征零的背景下，李代数的表示论（Representation Theory）与微分几何、复分析紧密相连。本部分将视角从抽象的代数结构转向其在光滑流形和向量空间上的具体实现。 第三章：通用包络代数与同调方法 我们详细分析了 通用包络代数 $U(mathfrak{g})$ 的构造及其性质，特别是通过 Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) 定理 确认其作为自由张量代数在理想下的商结构。 本章的核心工具是 局部上同调（Local Cohomology）和 Koszul 复形。我们利用这些工具来研究 Verma 模 $M(lambda)$ 的结构，特别是其 射影分解。通过分析 Verma 模的核和上同调群，可以精确地识别出 首微氏模（Highest Weight Modules）——即不可约表示的“砖块”。对 $mathfrak{sl}_2$ 的可积表示的深入分析，展示了如何通过 $U(mathfrak{g})$ 上的泛性质来构建所有有限维表示。 第四章：Cartan-Kähler 理论与复化结构 本章探讨了李代数如何嵌入到更一般的复李代数 $mathfrak{g}_{mathbb{C}}$ 中，以及在特征零下，实李代数 $mathfrak{g}$ 的复化结构如何决定了其所有的拓扑和分析性质。 我们重点讨论了 Cartan-Kähler 理论 在半单李代数上的应用：如何通过一个实型（Real Form）$mathfrak{k}$（如紧实李代数）的结构，完全恢复 $mathfrak{g}$ 的复杂结构。特别是对于 紧凑型 $mathfrak{k}$，其与李群 $K$ 的结构之间的关系被详细剖析。这包括对 Killing 形式的负定性 在 $mathfrak{k}$ 上的几何解释，即 $K$ 是一个具有正定（在 Killing 意义下）二次型的流形。 第三部分：李代数与代数几何的交叉点 最后的章节将理论推向更抽象的领域，探讨李代数结构在代数几何语境下的行为，特别是与射影空间和奇点理论的联系。 第五章：Weyl 群的几何表示与旗流形 我们转向研究 旗流形 $G/B$（$G$ 是李群，$B$ 是由 $Delta^+$ 定义的波雷尔子群）的几何结构。旗流形是无穷维射影空间的一种有限维模拟。 本章的重点在于 Schubert 胞腔（Schubert Cells）的结构及其与 Weyl 群的相互关系。通过分析旗流形上的 切丛（Tangent Bundle）和 上同调环 $H^(G/B, mathbb{C})$，我们展示了根系和 Weyl 群的组合结构如何直接编码了旗流形上的拓扑信息。具体的，我们推导了 布尔代数公式（Borel-Weil-Bott 定理）在有限维表示的构造中的作用，并将其视为旗流形上纤维丛上权的几何实现。 第六章：Kac-Moody 代数的预备视角（特征零的边界） 虽然本书主要关注有限维李代数，但本章作为结论的过渡，简要介绍了 Kac-Moody 代数 的概念，以此为特征零理论划定边界。 我们探讨了 Kac-Moody 代数如何通过允许 不定（Indefinite） 的 Cartan 矩阵来推广仙人掌图，从而构造出无限维的李代数。这部分内容侧重于 仿射型（Affine Type）的结构，它们是连接经典李代数与更一般代数结构的桥梁。通过分析仿射李代数的根系，我们可以更深刻地理解经典半单李代数在根系结构上的“完备性”——即它们是唯一满足特定正交性和有限性的最大结构。 --- 总结： 本书提供了一个高度集成、几何驱动的特征零李代数理论视图。它超越了单纯的分类列表，深入探讨了 Killing 形、Weyl 群、通用包络代数以及旗流形等工具如何协同工作，共同描绘出半单李代数的内在和谐与结构复杂性。全书旨在引导读者从代数结构出发，利用微分几何和拓扑学的语言，掌握特征零李代数理论的精髓。

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