Fundamental Number Theory With Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Mollin, Richard A.

出品人:

页数:369

译者:

出版时间:

价格:749.00 元

装帧:

isbn号码:9781420066593

丛书系列:

图书标签:

教科书
Number Theory
Elementary Number Theory
Mathematical Foundations
Cryptography
Algorithms
Proofs
Divisibility
Congruences
Prime Numbers
Applications

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具体描述

《代数拓扑导论：从同调到同伦》作者：[虚构作者名 A. B. Smith] 出版社：[虚构出版社名称：全球数学科学出版社] ISBN: 978-1-987654-32-1 --- 图书简介《代数拓扑导论：从同调到同伦》是一本全面且深入的教材，旨在为数学系高年级本科生和初、中级研究生提供代数拓扑学核心概念的坚实基础。本书的编写理念侧重于清晰的动机阐述、严谨的定义与证明，以及丰富的应用实例，使读者能够领会代数拓扑作为连接几何与代数关键桥梁的深刻意义。代数拓扑学是一门研究空间拓扑性质的数学分支，它通过构造代数不变量（如群、环或模）来区分拓扑空间，并研究这些不变量之间的关系。本书精心组织了内容结构，从最基础的拓扑空间概念出发，逐步过渡到同调论和同伦论这两大核心支柱，最终触及一些现代研究的前沿领域。全书共分为六大部分，共十七章。 --- 第一部分：拓扑空间基础与连续性 (Topological Spaces and Continuity) 本部分为后续学习奠定必要的预备知识和直观基础。我们首先回顾集合论中的必要概念，然后引入拓扑空间的正式定义，强调开集、闭集、邻域和收敛性的重要性。不同类型的拓扑（如子空间拓扑、商拓扑、积拓扑）的构建方法被详尽讨论，并配有大量几何例子帮助读者建立直观理解。随后的章节重点关注拓扑空间的性质，包括连通性 (Connectedness)、紧致性 (Compactness) 及其相互关系。我们详细分析了这些性质在特定构造（如 $mathbb{R}^n$）下的表现，并引入了分离公理 (Separation Axioms)，特别是豪斯多夫性 (Hausdorff property)，展示了其在函数空间和度量空间理论中的核心作用。本部分的最后，我们定义并详细研究连续映射及其性质，特别是同胚 (Homeomorphism) 的概念，这是拓扑研究的基石。商空间的构造被视为理解由等价关系定义的“粘合”空间的关键工具。 --- 第二部分：同伦论基础 (Fundamentals of Homotopy Theory) 在熟悉了拓扑空间的基本框架后，本书转入第一个主要的代数不变量系统——同伦论。本部分侧重于路径 (Paths) 和同伦 (Homotopies) 的概念，它们提供了一种研究空间中“洞”和“环绕”的直观方式。我们引入基本群 (Fundamental Group) $pi_1(X, x_0)$，这是一个衡量空间上环路等价性的群结构。本书系统地证明了基本群的性质，包括它对于路径选择的依赖性（并引入了同伦等价的概念来消除这种依赖），以及它如何处理分支点和商空间上的结构。关键的通路提升引理 (Path Lifting Lemma) 和覆盖空间 (Covering Spaces) 的理论是本部分的高潮。我们详细构建了通用覆盖空间，并展示了基本群如何同构于覆盖空间的自同构群（Deck Transformations）。这不仅提供了计算基本群的强大工具，也深刻揭示了拓扑流形结构与代数结构的内在联系。三角函数的许多经典拓扑证明（如 $mathbb{R}^2$ 上的环路）都在此得到了严谨的代数阐释。 --- 第三部分：链复形与边界 (Chain Complexes and Boundaries) 本部分标志着从同伦论转向更系统、更强大的同调论。我们首先从直觉出发，探讨如何用离散的代数工具来“计数”空间中的洞。本书介绍了构建单纯复形 (Simplicial Complexes) 的方法，这是许多几何对象离散化的标准模型。接着，我们定义了链群 (Chain Groups) $C_n(K)$，它们是由单纯形张成的自由阿贝尔群。核心概念——边界算子 (Boundary Operators) $partial_n$ 的定义被清晰阐述，并严格证明了其关键性质 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$，即“边界的边界是零”。这引出了链复形 (Chain Complexes) 的概念。我们由此定义了同调群 (Homology Groups) $H_n(K) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$，这便是空间 $K$ 的主要代数不变量。本书对奇异同调 (Singular Homology) 进行了广泛的介绍，将其定义为更普遍的拓扑空间（无需单纯分解）的同调工具。奇异同调的同伦不变性 (Homotopy Invariance) 得到了严谨的证明，这是其优越性的核心体现。 --- 第四部分：同调论的工具箱：迈耶-维托里斯与对偶性 (Tools of Homology: Mayer-Vietoris and Duality) 为了有效计算同调群，本部分着重介绍强大的计算技术。迈耶-维托里斯序列 (Mayer-Vietoris Sequence) 是计算复杂空间同调群的里程碑式工具。本书详细展示了如何利用该序列将复杂空间的同调分解为其子空间的同调，并提供了计算环面、球面和楔和等经典空间的实例。随后，我们转向拓扑性质的维持。书中深入探讨了 হ্রাস链映射 (Chain Maps) 及其诱导的同调同态 (Homology Homomorphisms)，并严格证明了同伦等价的拓扑空间具有同构的同调群。本部分还引入了对偶性的概念，重点讨论了上同调 (Cohomology) 的基础，包括上链复形和上边界算子的定义。虽然上同调的完整结构（特别是环结构）将在后续的专门章节中展开，但本章为读者建立其与同调的对偶视角。 --- 第五部分：更高级的主题：上同调与拓扑的应用 (Advanced Topics: Cohomology and Topological Applications) 本部分将代数拓扑的应用提升到了更高的层次，特别关注了上同调的强大结构和其在几何中的地位。上同调环 (Cohomology Ring) 的结构，通过克内内特积 (Künneth Product) 得到精确描述，它赋予了上同调群丰富的代数结构，而不仅仅是阿贝尔群的集合。我们详细分析了球面上的上同调，并讨论了布尔积 (Cup Product) 在区分具有相同同调但不同同伦结构的空间中的关键作用。怀特霍夫对偶性 (Whitehead Duality) 和庞加莱对偶性 (Poincaré Duality) 被引入，特别是在可定向流形的情况下。庞加莱对偶性揭示了流形中低维洞与高维洞之间的深刻联系，是微分几何和拓扑学研究的核心工具之一。此外，本书简要介绍了切赫上同调 (Čech Cohomology) 和层论 (Sheaf Theory) 的基本概念，展示了这些工具如何延伸和推广传统奇异上同调的适用范围。 --- 第六部分：几何化的视角与现代展望 (Geometric Perspectives and Modern Outlook) 最后一部分旨在将抽象的代数结构与具体的几何直觉重新连接起来，并展望前沿领域。我们回顾了纤维丛 (Fiber Bundles) 的概念，特别是主纤维丛，并讨论了陈类 (Chern Classes) 和示性类 (Characteristic Classes)，这些是上同调理论最成功的应用之一，用于描述向量丛的拓扑结构。本部分将代数拓扑与微分几何联系起来，探讨了德拉姆上同调 (de Rham Cohomology) 的基本原理。通过德拉姆定理 (de Rham's Theorem)，本书展示了微分形式的积分（代数运算）如何精确地再现了通过拓扑方式构造的奇异上同调群，从而提供了完美的统一。最后，本书对流形分类问题进行了简要讨论，并提及了流形上的几何结构（如里奇曲率）如何利用拓扑工具进行研究。 --- 目标读者与特色本书内容设计旨在平衡理论的深度与可读性。每章末均配有大量的习题，从基础的概念验证到需要深度思考的研究性问题不等。本书强调代数结构（群、环）与几何直觉（空间、洞）之间的相互作用，尤其注重动机的启发和证明的严谨性。它不仅是代数拓扑的标准教材，也是准备进入微分几何、代数几何或拓扑学前沿研究的学生的理想入门读物。