Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic and Mixed Type Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Megrabov, Alexander G.

出品人:

页数:230

译者:

出版时间:

价格:$ 384.77

装帧:

isbn号码:9789067643795

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
反问题
正问题
双曲型方程
椭圆型方程
混合型方程
数值分析
数学物理
泛函分析
PDE

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具体描述

Inverse problems are an important and rapidly developing direction in mathematics, mathematical physics, differential equations, and various applied technologies (geophysics, optic, tomography, remote sensing, radar-location, etc.). In this monographdirect and inverse problems for partial differential equations are considered. The type of equations focusedare hyperbolic, elliptic, and mixed (elliptic-hyperbolic). The direct problems arise as generalizations of problems of scattering plane elastic or acoustic waves from inhomogeneous layer (or from half-space). The inverse problems are those of determination ofmedium parameters by giving the forms of incident and reflected waves or the vibrations of certain points of the medium. The method of researchof all inverse problems is spectral-analytical, consisting in reducing the considered inverse problems to the known inverse problems for the Sturm-Liouville equation or the string equation. Besides the book considers discrete inverse problems. In these problems an arbitrary set of point sources (emissive sources, oscillators, point masses) is determined

深入解析偏微分方程的求解与应用：一本聚焦数值方法的专著本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索在偏微分方程（PDEs）领域中，从模型建立到数值求解的关键挑战与前沿进展。我们专注于抛物型、椭圆型和双曲型方程的理论基础、数值方法设计及其在实际工程和科学问题中的应用，尤其强调反问题的处理策略。本书的结构精心设计，旨在引导读者系统地掌握现代计算数学的核心技能。我们不局限于对经典理论的复述，而是将重点放在如何高效、稳定地解决那些在实际应用中出现的复杂边界条件和非标准初始条件。第一部分：偏微分方程基础与模型构建本部分为后续的数值方法奠定坚实的理论基础。我们从物理现象出发，详细推导了支配传热、扩散、波动以及流体动力学的基本控制方程。抛物型方程（Parabolic Equations）：我们深入探讨了傅里叶热传导定律的数学表述，包括标准的扩散方程和非线性对流-扩散方程。重点分析了这些方程在瞬态问题中的特性，如热量如何随时间传播和扩散。书中详细讨论了诸如奇性解（singular solutions）和爆破现象（blow-up phenomena）等非线性抛物方程的特殊行为。在模型构建层面，我们探讨了如何利用分数阶导数来描述异常扩散过程（Anomalous Diffusion），这对于理解复杂介质中的物质迁移至关重要。椭圆型方程（Elliptic Equations）：本章聚焦于稳态问题，如静电场分布、平衡态热传导和最小势能问题。我们详尽分析了泊松方程和拉普拉斯方程的极值原理和唯一性。对于边界条件的处理，本书提供了对狄利克雷（Dirichlet）、诺伊曼（Neumann）以及周期性边界条件在不同几何域上的严格讨论。特别地，我们对非均匀介质中的椭圆方程进行了深入探究，其中系数场具有高梯度或不连续性，这在复合材料分析中尤为常见。双曲型方程（Hyperbolic Equations）：波动方程和欧拉方程是本章的核心。我们详细分析了波的传播特性，包括色散（Dispersion）和色散（Dissipation）效应。书中对一维和多维波动方程的特征线分析进行了详尽阐述，这是理解信息传递路径的关键工具。对于守恒律（Conservation Laws），如流体力学中的欧拉方程，我们着重讲解了激波（Shocks）和不连续解的出现，并引入了熵条件（Entropy Conditions）来确保物理上合理的解。第二部分：数值方法的系统构建本部分是全书的实践核心，详细介绍了用于求解上述三类方程的现代离散化技术。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）：我们从最基础的一阶导数近似开始，逐步过渡到高阶精度的中心差分格式。对于时间相关的抛物型和双曲型方程，我们详细对比了显式、隐式以及Crank-Nicolson格式的稳定性和精度。书中对稳定性的分析采用了冯·诺依曼（Von Neumann）方法，并给出了严格的 CFL 条件（Courant-Friedrichs-Lewy Condition）推导，强调在双曲问题中保持时间步长受到的限制。有限元法（Finite Element Method, FEM）：本书对有限元法的介绍侧重于其在处理复杂几何形状和非均匀网格时的优越性。我们详细阐述了变分弱形式的建立，基函数的选择（如线性、二次多项式）以及刚度矩阵和质量矩阵的装配过程。对于椭圆方程，我们构建了基于最小势能原理的FEM框架。此外，书中还包括了后处理技术，用以估计数值解的误差和导出更高阶的导数信息。有限体积法（Finite Volume Method, FVM）：鉴于FVM在守恒型问题（如双曲方程）中的重要性，本章进行了专门的论述。我们强调通量（Flux）的精确计算和控制体积上的积分守恒。对于激波的捕捉，书中详细介绍了通量限制器（Flux Limiters）的概念，并比较了MUSCL、TVD等高分辨率格式的性能。第三部分：挑战性问题与前沿技术本部分深入探讨了在实际应用中往往需要特殊处理的复杂问题，特别是反问题。反问题理论与正则化：偏微分方程的反问题通常是病态的（Ill-posed），即解对数据中的微小扰动极其敏感。我们详细分析了导致病态性的根源（如解在某些频率成分上缺乏依赖性）。本书系统介绍了Tikhonov正则化，包括最优正则化参数的选择标准（如偏差-方差准则和L曲线法）。我们展示了如何将正则化项与物理约束相结合，以稳定地识别介质参数（如导热系数或声速分布）。混合型方程的处理：混合型方程（Mixed-Type Equations），例如那些在不同区域具有不同方程类型的方程（如滞后性流体问题），对传统数值方法构成了巨大挑战。我们探讨了区域分离界面上的数值处理技术，包括如何保证解在界面上的光滑性和守恒性。书中介绍了适应性网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）在处理这类问题中界面附近高梯度解的有效性。高维与并行计算：对于维度灾难（Curse of Dimensionality）的应对，我们介绍了张量积方法（Tensor Product Methods）和有限核方法（Finite Kernel Methods）在处理高维椭圆方程时的优势。在计算效率方面，本书简要介绍了域分解法（Domain Decomposition Methods），如Schwartz交替方法，以及如何将其应用于大规模并行计算环境中，以加速求解大型线性系统。本书的最终目标是培养读者将理论知识转化为有效、可靠的数值算法解决实际工程和科学问题的能力，尤其是在面对不确定性输入和不完备观测数据时，如何稳健地求解正演和反演问题。