Probability, Random Processes, and Ergodic Properties pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gray, Robert M.

出品人:

页数:358

译者:

出版时间:2009-8

价格:$ 123.17

装帧:

isbn号码:9781441910899

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Probability
• Random Processes
• Ergodic Theory
• Stochastic Processes
• Mathematical Statistics
• Probability Theory
• Ergodic Properties
• Time Series Analysis
• Statistical Inference
• Measure Theory

《概率、随机过程与遍历理论：基础与应用》 本书旨在为读者提供一个关于概率论、随机过程以及遍历理论的全面而深入的理解。它不仅涵盖了这些领域的核心概念和数学工具，更强调了它们在实际问题中的广泛应用，尤其是在信号处理、通信系统、金融建模以及统计物理等领域。本书的编写目标是使读者能够建立扎实的理论基础，并能灵活运用所学知识解决复杂问题。 第一部分：概率论基础 我们将从概率论的最基本概念出发，循序渐进地构建起整个理论体系。 随机事件与概率： 详细介绍随机事件的定义、分类（必然事件、不可能事件、随机事件），以及概率的基本性质（非负性、规范性、可加性）。我们将引入公理化概率定义，并探讨不同概率模型，如古典概率、频率概率和主观概率。 样本空间与概率测度： 深入讲解样本空间的构建，以及概率测度在样本空间上的定义。特别关注可测空间的概念，为后续的随机变量和随机过程奠定理论基础。 条件概率与独立性： 详细阐述条件概率的定义、计算以及其在概率推理中的重要作用。我们将深入探讨事件之间的独立性概念，区分独立与互斥，并分析联合概率、边缘概率与条件概率之间的关系。贝叶斯公式及其应用也将是本部分的重要内容。 随机变量： 引入离散型随机变量和连续型随机变量的概念，分别讨论其概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。详细介绍累积分布函数（CDF）的性质及其在描述随机变量行为中的关键作用。 期望、方差与高阶矩： 讲解随机变量的期望（均值）的概念，以及其作为随机变量“中心趋势”的意义。深入探讨方差的概念，理解其衡量随机变量“离散程度”的作用。此外，还将介绍偏度、峰度等高阶矩，用以更全面地刻画随机变量的分布形态。 重要概率分布： 系统介绍一系列基础且重要的概率分布，包括： 离散分布： 伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布。我们会详细解释它们的定义、参数含义、应用场景，并通过实例展示其应用。 连续分布： 均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）、伽马分布、贝塔分布。对于连续分布，我们将重点讲解其PDF、CDF、期望和方差，并强调正态分布在自然界和工程中的普遍性。 多维随机变量： 扩展到联合概率分布、联合边缘分布和联合条件分布的概念。探讨随机变量之间的协方差和相关系数，以量化它们之间的线性关系。介绍联合分布的期望、方差等统计量。 大数定律与中心极限定理： 这是概率论中两个里程碑式的定理。我们将详细阐述切比雪夫大数定律、伯努利大数定律以及更普遍的强大数定律，理解它们如何保证大量独立同分布随机变量的平均值收敛于期望值。重点讲解中心极限定理，解释在何种条件下，独立同分布随机变量的和（或平均值）的分布会近似于正态分布，这是许多统计推断方法的基础。 第二部分：随机过程 在掌握了概率论的基础知识后，我们将进入随机过程的学习，研究随时间演变的随机现象。 随机过程的定义与分类： 引入随机过程的概念，将其视为一个索引集（通常是时间）上的随机变量族。区分离散时间随机过程和连续时间随机过程。根据状态空间的不同，介绍离散状态随机过程和连续状态随机过程。 平稳性： 这是一个衡量随机过程统计性质随时间不变性的重要概念。我们将详细介绍宽平稳（二阶平稳）和严平稳。理解平稳过程的统计特性（均值、自协方差函数）不随时间变化，这使得对它们的分析和预测更加简化。 马尔可夫过程： 深入讲解马尔可夫链（离散时间）和马尔可夫过程（连续时间）。强调“无记忆性”这一核心性质，即过程的未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。我们将讨论转移概率、转移矩阵、稳态分布等概念，并分析其在排队论、可靠性分析等领域的应用。 泊松过程： 详细介绍泊松过程，它描述了单位时间内事件发生次数的随机性。分析泊松过程的独立增量和齐次性。讲解其在描述到达过程（如顾客到达、故障发生）中的应用，以及泊松过程的派生过程。 布朗运动（维纳过程）： 讲解布朗运动的数学定义及其关键性质，如连续轨道、独立增量、高斯增量。布朗运动是连续时间随机过程的一个基本模型，在金融学（股票价格模型）、统计物理（粒子扩散）等领域有广泛应用。 平稳随机过程的谱表示： 引入自相关函数和功率谱密度（PSD）的概念。理解自相关函数如何刻画随机过程的线性依赖性，而功率谱密度则揭示了随机过程在不同频率成分上的能量分布。我们将讨论平稳随机过程的谱表示定理，它将自相关函数与功率谱密度联系起来。 随机过程的采样与离散化： 讨论如何在实际中对连续时间随机过程进行采样，以及采样率对过程信息的影响。介绍奈奎斯特-香农采样定理在随机过程中的应用。 随机过程的滤波： 引入线性滤波器和最优滤波器（如维纳滤波器）的概念。讲解如何设计滤波器来提取信号中的有用信息，并抑制噪声。这在信号处理和通信系统中至关重要。 第三部分：遍历理论 遍历理论是连接了随机过程的统计平均和时间平均的桥梁，是理解随机过程长期行为的关键。 时间平均与统计平均： 明确区分随机过程的时间平均（对单个实现进行长时间平均）和统计平均（对同一时刻的所有可能实现进行平均）。 遍历性定义： 详细阐述遍历性的概念：当一个随机过程具有遍历性时，其时间平均在概率上收敛于其统计平均。我们将给出不同类型的遍历性定义，例如均值遍历性、相关性遍历性等。 遍历定理： 深入讨论遍历定理。对于平稳过程，我们会推导其时间平均收敛于其统计平均的条件，这通常涉及到自相关函数在零处的极限。 遍历过程的性质与应用： 分析遍历过程的特性，例如其稳态分布的物理意义。探讨遍历理论在实际问题中的应用，例如： 信号识别与估计： 通过长时间测量一个信号，利用时间平均来估计其统计平均值，从而识别信号的特性。 系统分析： 对于一个随机系统，通过观察其长期运行状态，利用遍历性来估计系统的稳态行为。 参数估计： 在统计建模中，许多参数可以通过计算样本的时间平均来估计。 非遍历过程： 讨论一些不满足遍历性的过程，以及为什么它们不满足遍历性。理解非遍历性对于识别和处理某些特定类型的随机现象至关重要。 应用领域探讨 本书将贯穿各章节，通过丰富的实例，展示概率、随机过程与遍历理论在以下领域的实际应用： 信号处理： 噪声消除、信号检测、谱分析、滤波器设计。 通信系统： 信道建模、纠错编码、调制解调、队列管理。 金融建模： 股票价格预测、风险管理、期权定价。 统计物理： 粒子运动统计、相变理论、动力学过程。 机器学习与人工智能： 贝叶斯推断、隐马尔可夫模型、强化学习。 工程可靠性： 设备故障分析、寿命预测、系统可用性评估。 学习建议 本书适合具有一定数学基础（如微积分、线性代数）的本科生、研究生以及从事相关研究和开发的工程师和科研人员。建议读者在学习过程中，勤于思考，多做习题，并尝试将所学理论应用于自己感兴趣的实际问题中，从而加深理解和掌握。 通过对本书内容的深入学习，读者将能够构建起坚实的理论框架，掌握分析和解决复杂随机问题的有力工具，为进一步深入研究或实际应用打下坚实的基础。

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