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出版者:

作者:Stalker, John

出品人:

页数:242

译者:

出版时间:2009-10

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9780817649180

丛书系列:

图书标签:

复分析
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数学分析
高等数学
数学
解析函数
留数定理
共形映射
复变函数
数学教材
理工科

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具体描述

This clear, concise introduction to the classical theory of one complex variable is based on the premise that "anything worth doing is worth doing with interesting examples." The content is driven by techniques and examples rather than definitions and theorems. This self-contained monograph is an excellent resource for a self-study guide and should appeal to a broad audience. The only prerequisite is a standard calculus course. "The first chapter deals with a beautiful presentation of special functions...The third chapter covers elliptic and modular functions...in much more detail, and from a different point of view, than one can find in standard introductory books...For [the] subjects that are omitted, the author has suggested some excellent references for the reader who wants to go through these topics. The book is read easily and with great interest. It can be recommended to both students as a textbook and to mathematicians and physicists as a useful reference."(Mathematical Reviews) "Mainly original papers are cited to support the historical remarks. The book is well readable." (Zentralblatt fur Mathematik) "This is an unusual textbook, incorporating material showing how classical function theory can be used...The general scheme is to show the reader how things were developed without following the traditional approach of most books on functional theory...This book can be recommended to those who like to see applications of the theory taught in classical courses." (EMS)

《拓扑学入门》内容简介《拓扑学入门》是一本旨在为读者提供全面而深入的拓扑学基础知识的著作。本书循序渐进，从最基本的概念出发，逐步构建起严谨的理论体系，使读者能够清晰地理解拓扑学的核心思想及其在数学和其他学科中的应用。本书尤其适合数学、物理、计算机科学等相关专业的本科生、研究生，以及对抽象数学结构感兴趣的广大读者。第一部分：拓扑空间的基础本书的开篇，我们将深入探讨拓扑学的基石——拓扑空间。首先，我们会定义拓扑结构，并阐述开集、闭集、邻域等基本概念。读者将学习如何从一个集合出发，定义其上的拓扑，理解不同拓扑之间的比较关系（如粗拓扑和细拓扑）。接下来，我们将引入开集公理，这是定义拓扑空间的核心。我们将详细解析开集的性质，以及如何通过开集来定义闭集、边界、内部和外部等概念。邻域的概念将被深入剖析，它为后续的收敛性、连续性等概念打下基础。点集的闭包、内部和边界是拓扑学中至关重要的概念，本书将对其进行细致的分析，并提供丰富的例子。读者将学习如何计算这些集合，并理解它们之间的相互关系。稠密集、可数稠密集以及第一和第二可数公理也是本书的重要组成部分。我们将解释这些性质的含义，并探讨它们对拓扑空间结构的制约作用。例如，第二可数性常常与拓扑空间的“大小”或“复杂度”有关。连续函数是拓扑学研究的核心对象之一。本书将从拓扑空间的视角重新定义连续性，并探讨其等价刻画，如原像保持开集的性质。我们将分析连续函数的性质，例如连续函数的复合仍然是连续函数。同胚是拓扑学中用来刻画“形状相同”的 bijective 映射。我们将深入理解同胚的概念，并学习如何利用同胚来判断两个拓扑空间是否在拓扑意义下是相同的。这将引出同胚不变量的概念，即在同胚下保持不变的拓扑性质。第二部分：分离公理与计数性在建立了基本的拓扑空间概念后，我们将进入更为精细化的分类——分离公理。分离公理是用来区分不同“好”拓扑空间的工具，它们对拓扑空间的结构有着重要的影响。我们将从最基本的T0空间（也称为Kolmogorov空间）开始，理解它在区分点上的作用。然后，我们将深入探讨T1空间，并理解它与有限集的闭包性质之间的联系。 T2空间，即豪斯多夫空间，是本书研究的重点之一。豪斯多夫空间的定义涉及到了两个不相交的开集，这保证了点之间的“可分离性”。我们将详细讨论豪斯多夫空间的性质，以及许多重要的数学对象（如度量空间）都属于豪斯多夫空间。 T3空间（正则豪斯多夫空间）和T4空间（正规豪斯多夫空间）将进一步对拓扑空间进行细分。我们将理解正则性和正规性是如何通过闭集和开集之间的关系来刻画的，并探讨它们在分析学中的重要性。除了分离公理，计数性也是拓扑空间的重要性质。我们将研究第一可数空间（也称为可数邻域公理空间）和第二可数空间。第一可数性与序列的收敛性密切相关，而第二可数性则与拓扑空间的“大小”有关。我们将分析这些性质之间的关系，以及它们如何影响拓扑空间的结构。第三部分：紧致性紧致性是拓扑学中最核心、最深刻的概念之一。它在分析学、几何学等领域有着极其广泛的应用。本书将从多个角度深入理解紧致性。我们将首先引入开覆盖和有限子覆盖的定义，这是紧致性的基本刻画。我们将详细解释为什么一个空间是紧致的，当且仅当它的任何开覆盖都存在一个有限子覆盖。本书将提供多种等价刻画紧致性的方法，包括林代尔定理（ Heine-Borel 定理）在度量空间中的推广，以及闭集和紧集的性质。我们将强调，紧致集在豪斯多夫空间中一定是闭集。紧致性的一个重要性质是，连续函数在紧致集上的像仍然是紧致集。这一结果在最优化问题等领域有着至关重要的应用。我们将深入探讨局部紧致性的概念，并分析局部紧致空间与紧致空间之间的关系。第四部分：连通性连通性是用来刻画拓扑空间“不可分割性”的性质。一个连通空间不能被分解成两个不相交的非空开集的并集。我们将从连通集和连通空间的定义出发，深入理解这一概念。本书将证明，连续函数在连通集上的像仍然是连通集。我们将引入路径连通性的概念，并分析路径连通性与连通性之间的关系。在许多情况下，这两个概念是等价的，但并非总是如此。我们还将研究局部连通性，并探讨局部连通空间的重要性质。第五部分：度量空间及其拓扑度量空间是拓扑学中一个非常重要且常见的特例。本书将在前述理论的基础上，专门探讨度量空间。我们将定义度量，并从度量出发定义度量拓扑。读者将学习如何从一个度量出发，自然地得到一个拓扑空间，并理解度量空间总是满足 T4 分离公理。我们将深入研究度量空间中的收敛性，包括序列收敛和点列紧性。我们将证明，在度量空间中，序列收敛、点列紧性以及局部紧致性之间有着密切的联系。完备性是度量空间的一个重要性质，它与柯西序列的概念紧密相连。本书将详细阐述完备性的概念，并提供一些完备和非完备度量空间的例子。第六部分：积空间与商空间在拓扑学中，我们常常需要从已有的拓扑空间构造新的拓扑空间。本书将介绍两种重要的构造方法：积空间和商空间。积空间是多个拓扑空间的笛卡尔积上赋予的一个拓扑。我们将定义积拓扑，并分析其性质，例如积空间的开集形式。我们将探讨积空间的计数性和紧致性等性质。商空间是通过将一个拓扑空间中的点集进行划分，并在商集上定义一个拓扑。我们将定义商拓扑，并分析其性质。我们将通过例子说明，商空间如何用于构造更复杂的拓扑空间，例如圆周、环面等。第七部分：同伦与基本群（简介）为了引入更高级的拓扑概念，本书将在最后一部分对同伦和基本群进行简介。我们将定义路径同伦，并解释它在研究空间“洞”的性质中的作用。我们将简要介绍基本群的概念，并说明它如何作为一种代数不变量来刻画拓扑空间的连通性。这一部分旨在为读者打开进一步学习代数拓扑的大门。总结《拓扑学入门》力求以清晰的逻辑、严谨的论证和丰富的实例，带领读者领略拓扑学的魅力。通过对拓扑空间、分离公理、紧致性、连通性、度量空间、积空间和商空间等核心概念的深入探讨，本书将帮助读者建立起扎实的拓扑学基础，并为他们今后的深入研究和学习打下坚实的基础。本书不仅是一本教材，更是一扇通往抽象数学世界的窗户，激发读者对数学结构和空间性质的探索欲望。