Classical Groups and Geometric Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Grove, Larry C.

出品人:

页数:169

译者:

出版时间:

价格:301.00 元

装帧:

isbn号码:9780821820193

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

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• 数学
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《经典群与几何代数》 引言 《经典群与几何代数》是一部深入探讨数学中两大核心概念——经典群与几何代数——之间深刻联系的著作。本书旨在为读者提供一个坚实的基础，理解这两个领域是如何相互启发，共同构建出描述几何结构和对称性统一框架的。通过清晰的阐述和严谨的数学推导，本书将引导读者穿越抽象的代数世界，抵达直观而强大的几何理解。 第一部分：经典群的结构与性质 本部分将从群论的基础出发，逐步深入到经典群的各个分支。我们将首先回顾群的基本定义、性质以及重要的群结构（如子群、正规子群、商群）。在此基础上，重点介绍四大经典群族： 一般线性群 GL(n, F)： 作为所有可逆 n×n 矩阵构成的群，GL(n, F) 是研究线性变换和向量空间对称性的基础。本书将探讨其子群结构，如特殊线性群 SL(n, F)（行列式为1的矩阵），以及它们在坐标变换和几何形变中的作用。 正交群 O(n, F) 与特殊正交群 SO(n, F)： 这两个群描述了保持向量长度和角度不变的线性变换，即旋转和反射。我们将深入研究其在欧几里得空间中的几何意义，以及它们与二次型的关系。 酉群 U(n) 与特殊酉群 SU(n)： 在复数向量空间中，酉群扮演着与正交群类似的角色，保持内积不变。本书将阐述其在量子力学、复几何以及李群理论中的重要性，并特别关注 SU(n) 的结构。 辛群 Sp(2n, F)： 辛群是描述保持辛形式（一种特殊的二次型）不变的线性变换的群。我们将揭示其在经典力学（哈密顿力学）和量子力学中的关键作用，以及其独特的几何性质。 在介绍每个经典群族时，本书不仅会给出其代数定义，还会通过具体的几何实例和例子来强化读者的理解。我们将讨论这些群的生成元、李代数、以及它们作为李群的拓扑性质，为后续几何代数的引入打下基础。 第二部分：几何代数的概念与构造 几何代数是数学中的一个强大工具，它将向量代数、复数、四元数等概念统一在一个框架下，并能以一种几何直观的方式来处理几何对象和变换。本部分将系统地介绍几何代数的核心概念： 代数结构： 我们将从 Clifford 代数开始，这是几何代数的核心。重点介绍 Clifford 代数是如何通过一个二次型来构造的，以及其元素（多矢量）的几何解释。 代数运算： 几何代数中的基本运算，如外积（∧）和内积（∨），将得到详细的阐述。外积用于构造高维几何对象（如平面、体），而内积则提供了度量和角度的信息。 几何代数中的几何对象：本书将展示如何用几何代数的元素来表示点、线、平面、圆、球等基本几何对象，以及如何通过代数运算来处理它们之间的关系。 几何变换： 几何代数提供了一种简洁而强大的方式来表示和实现几何变换，如旋转、反射、缩放。我们将学习如何利用多矢量来表示这些变换，并通过代数运算来实现它们。特别是，我们将深入探讨“多矢量变换”（multivector transformations）的理论。 偶数代数与几何代数： 本部分还将探讨偶数代数（如复数、四元数）作为几何代数特定情况的特殊角色，以及它们在三维空间中的应用。 第三部分：经典群与几何代数的融合 这是本书的核心部分，我们将展示经典群如何自然地嵌入到几何代数的框架中，以及几何代数如何为理解经典群提供更深刻的洞察。 经典群的几何代数表示： 我们将探索如何使用几何代数的元素来表示经典群中的对称性。例如，如何用偶数代数中的元素（如复数或四元数）来表示旋转群 SU(2) 或 SO(3) 的元素。 几何代数中的二次型与经典群： 本书将深入研究几何代数中的二次型如何对应于经典群的定义。例如，欧几里得空间的二次型对应于正交群，而辛空间的辛形式则对应于辛群。 克利福德代数与经典群的联系： 将详细阐述克利福德代数如何提供一个统一的框架来理解不同经典群族。例如，Spin 群（Spin(n)）作为经典群的二重覆盖，在克利福德代数中扮演着重要角色。 几何代数在经典群研究中的应用： 我们将通过具体的例子，展示几何代数如何简化经典群的理论分析和计算。例如，如何利用几何代数来推导群的生成元、计算群的性质，以及研究群的表示理论。 高维几何与经典群： 几何代数能够轻松处理高维空间，本书将利用这一优势，探讨高维经典群的结构及其在多维几何中的意义。 结论 《经典群与几何代数》旨在揭示数学中两大重要分支之间的内在联系，为读者提供一种更强大、更统一的工具来理解几何与代数的相互作用。通过本书的学习，读者将能够： 深刻理解经典群的代数结构和几何意义。 掌握几何代数的基本概念、运算和应用。 认识到几何代数如何为经典群的研究提供全新的视角和简化方法。 培养利用几何代数解决几何和代数问题的能力。 本书适合数学、物理、工程等领域的学生和研究人员。对于那些希望深入理解对称性、几何变换以及它们在高维空间中行为的读者来说，本书将是一本不可多得的参考。

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老实说，这本书的阅读体验简直是一场智力上的马拉松，但绝对是值得的汗水。它的深度远超我预期的入门教材，更像是一本浓缩了数十年研究精髓的参考书。书中对某些核心定理的证明，特别是涉及到更高维度群论的部分，处理得极其巧妙，那种“原来如此”的顿悟感是其他教材难以比拟的。我记得有几个章节，作者用了非常规的视角去阐述一个经典结果，这迫使我不得不放下所有先前的固有观念，重新审视问题。这种挑战性的写作风格，虽然对读者的背景知识要求较高，但一旦消化吸收，带来的知识升华是惊人的。它不喂养你，而是教你如何自己去捕猎，这才是真正优秀的学术著作的标志。

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这本书的理论构建令人印象深刻，它成功地将看似分散的代数分支整合到了一个统一的几何框架下。在我看来，其最大的价值在于提供了“大图景”，帮助读者理解为什么某些看似不相关的概念会被放在一起讨论。作者在讲解过程中，频繁地回顾早期章节建立的基础，确保了读者不会在复杂的推导中迷失方向。这种自洽性和连贯性在处理如此庞大的数学体系时是极难做到的。我感觉自己不是在读一本教科书，而是在一位经验丰富的导师的指导下，一步步地拆解和重构整个数学大厦的底层逻辑。它要求你慢下来，去品味每一个定义和引理背后的深刻含义，而不是囫囵吞枣。

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我主要关注这本书中关于特定代数群表示论的部分。作者在处理有限群和李群的交叉地带时展现出了非凡的功力。书中关于特征标理论的论述，不仅仅停留在计算层面，而是深入到了其背后的代数几何意义，这对我目前的研究方向非常有启发性。我尤其欣赏作者对于特定例子（比如一些经典的简单群）的深入剖析，这些具体的案例将抽象的理论具象化，使复杂的结构变得可触摸、可分析。文字风格上，它有一种老派数学家的沉稳和精确，没有多余的修饰，每一个词都承载着精确的数学含义。对于已经有一定基础，想进一步深入到前沿研究的读者而言，这本书是必备的案头书，我经常需要反复查阅其中的引注和定义。

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这本书的排版和装帧都给人一种非常扎实的学术感，封面设计低调却又不失专业，一看就知道是面向严肃读者的。书中的理论推导过程详略得当，尤其是在引入新的概念时，作者总能提供清晰的背景介绍和直观的几何图像来辅助理解，这对于初次接触这些高级代数结构的人来说，无疑是一大福音。我特别欣赏作者在保持数学严谨性的同时，并没有让文字变得晦涩难懂。书中大量的例子和习题，尤其是那些需要结合几何直觉去思考的题目，极大地锻炼了读者的思维深度。阅读过程中，我发现这本书的逻辑结构非常清晰，章节间的衔接自然流畅，仿佛是带领读者进行一次精心规划的数学探险。它不仅仅是知识的罗列，更像是一本智慧的引导手册，让人在不知不觉中建立起对该领域宏观的认识。

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从一个应用数学工作者的角度来看，这本书的理论深度虽然令人敬畏，但其带来的思维工具的提升是无法估量的。它提供的不仅仅是具体的计算方法，更重要的是一种看待结构和对称性的全新视角。在阅读后期关于分类和构造的部分，我明显感受到作者试图引导读者从“已知”到“未知”的桥梁搭建艺术。行文之中，充满了对数学美学的追求，那些简洁优雅的证明，本身就是一种艺术享受。这本书的价值在于它迫使你跳出日常熟悉的欧几里得空间思维定式，去拥抱更高维、更抽象的结构。尽管阅读过程充满挑战，但每一次攻克一个难点，都会带来巨大的成就感，它无疑是一部具有里程碑意义的著作。

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