Introduction to the Calculus of Variations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Dacorogna, Bernard

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2008-12

价格:408.00元

装帧:

isbn号码:9781848163348

丛书系列:

图书标签:

• Calculus of Variations
• Mathematical Analysis
• Optimization
• Differential Equations
• Applied Mathematics
• Functional Analysis
• Variational Methods
• Mathematical Physics
• Engineering Mathematics
• Continuum Mechanics

好的，这是一份关于一本名为《无穷小分析导论》（Introduction to the Calculus of Variations）的图书简介，内容详尽，旨在涵盖该领域的核心概念，同时避免提及您提供的特定书名或任何AI生成痕迹。 --- 图书简介：《无穷小分析导论》 一、 概述与定位 本书旨在为读者提供一个全面而严谨的无穷小分析（Calculus of Variations）入门指南。无穷小分析，这一数学分支，致力于寻找函数空间中的极值函数，是连接经典变分法、最优控制理论、微分几何与数学物理学的关键桥梁。本书从基础概念出发，逐步深入到现代变分理论的核心工具与应用，力求使读者在掌握严格数学论证的同时，领悟变分原理在解决实际物理与工程问题中的强大威力。 本书的结构设计兼顾了理论的深度与教学的清晰度。对于那些初次接触变分法的读者，我们提供了坚实的分析基础；对于有一定基础的研究者，书中收录的现代发展与先进技术，也将是宝贵的参考资料。我们特别强调了从欧拉-拉格朗日方程的推导到更复杂的约束优化问题的系统性梳理。 二、 核心内容模块 本书内容划分为以下几个主要部分： 第一部分：变分问题的基本框架与奠基 本部分首先介绍了变分法的基本概念，即如何定义泛函（Functionals），以及如何寻找使泛函取极值的函数。 1. 泛函的引入与基础概念： 详细阐述了泛函作为从函数空间到实数集的映射的定义。讨论了常见的泛函类型，例如长度泛函、面积泛函以及能量泛函。 2. 变分法的基础——变分与一阶条件： 引入了变分（Variation）的概念，它是对函数微小扰动的度量。通过类比经典微积分中的求导，我们推导了函数取极值的必要条件——欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange, E-L）方程。这一推导过程细致入微，包含了对变分计算技巧的详细展示。 3. 边界条件与端点固定问题： 讨论了在函数定义域端点固定的情况下，E-L方程的求解。并随后探讨了端点自由（Natural Boundary Conditions）的情况，展示了自然边界条件是如何从变分原理中自然导出的。 4. 一阶积分不变式与守恒律： 引入了诺特定理（Noether's Theorem）的变分形式，探讨了系统对称性与守恒量之间的深刻联系，例如能量守恒、动量守恒等，这些是物理学中变分法的基石。 第二部分：二阶条件与稳定性分析 仅仅满足一阶必要条件（E-L方程）并不意味着找到了极小值，可能只是一个鞍点或极大值。本部分专注于二阶条件的分析，以确保找到的是局部极小值。 1. 二次泛函与二阶变分： 引入了泛函的二阶变分（或称为Hessian的泛函类比）。 2. 勒让德条件（Legendre Condition）： 详细介绍了判定解是否为局部极小值的必要条件。 3. 雅可比条件（Jacobi Condition）与变分方程： 引入了伴随方程（Adjoint Equation）——雅可比方程。通过分析该方程的零点，我们确定了哪些解段可以避免出现“焦点”（Focal Points），从而确保了极值解的局部存在性与稳定性。 第三部分：约束变分问题与拉格朗日乘子法 在许多实际问题中，我们寻找的函数不仅需要满足微分方程，还需要满足积分或代数约束。 1. 积分约束下的变分法： 详细介绍了如何使用拉格朗日乘子法来处理积分约束。这导致了扩展的欧拉-拉格朗日方程的产生。 2. 等周问题（Isoperimetric Problems）： 作为约束问题的经典范例，本书对等周问题进行了深入分析，特别是二维平面上的等周不等式，以及其在几何上的意义。 3. 等式约束与不等式约束： 进一步探讨了更一般的约束形式，包括在函数空间中应用KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件的变分对应物。 第四部分：直接法与函数空间理论 为了证明极值解的存在性，我们需要引入更强大的分析工具，特别是函数空间理论。 1. 黎曼函数空间（Sobolev Spaces）的初步介绍： 简要介绍必要的泛函分析背景，特别是Sobolev空间的定义及其重要性，为后续的严格性讨论做准备。 2. 直接法（Direct Method）的应用： 解释了如何利用能量最小化原理和函数空间的完备性（如弱收敛）来证明极值解的存在性，即使无法直接求出解析表达式。 3. 黎曼曲率与测地线： 将变分法与黎曼几何联系起来，讨论了测地线作为两点间“最短路径”的变分本质。 第五部分：现代进展与初步应用 本部分将理论与现代前沿问题相结合。 1. 最优控制理论的联系： 将变分法视为最优控制的基础。引入庞特里亚金最大值原理（Pontryagin's Maximum Principle），这是对经典变分法在控制理论中进行推广的关键工具。 2. 非光滑变分问题： 讨论了当泛函的目标函数或约束不光滑时（例如包含绝对值或最大/最小运算），如何使用次梯度（Subgradient）等工具来处理这些非光滑优化问题。 三、 教学特色与目标读者 本书结构严谨，推导详尽，旨在培养读者的理论洞察力与解决实际问题的能力。 理论深度与广度兼备： 从基础的欧拉-拉格朗日方程到现代的最优控制与非光滑分析，覆盖了变分法的全景图。 丰富的例题与习题： 每章末尾均配有设计精良的习题，从基础计算到开放性研究问题不等，帮助读者巩固所学知识。 跨学科的应用视角： 实例选材涵盖了经典力学（最小作用量原理）、几何学（最短曲线）、弹性力学以及基础的控制工程问题。 目标读者： 本书适合高等院校数学系、物理系、工程学院的高年级本科生、研究生，以及从事理论物理、应用数学、控制科学和计算科学的研究人员和工程师。读者需具备实分析、常微分方程和基础泛函分析的知识背景。 ---

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