Difference Methods for Singular Perturbation Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Shishkin, Grigory I./ Shishkina, Lidia P.

出品人:

页数:393

译者:

出版时间:

价格:1003.00 元

装帧:

isbn号码:9781584884590

丛书系列:

图书标签:

• 奇异扰动
• 差分方法
• 数值分析
• 偏微分方程
• 边界层
• 渐近展开
• 数值解
• 科学计算
• 数学物理
• 数值方法

好的，这是一本关于非线性偏微分方程数值解法与应用的图书简介，其内容聚焦于现代计算数学与工程实际的交叉领域，旨在为研究人员、工程师及高年级学生提供一套全面、深入的理论框架与实用工具。 --- 图书名称：非线性偏微分方程数值解法与应用 图书简介 《非线性偏微分方程数值解法与应用》 是一部系统性地探讨处理复杂非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）的数值方法的专著。在当代科学与工程领域，从流体力学、材料科学到金融数学和生物建模，大量的核心问题最终都归结为求解具有高度复杂性的非线性偏微分方程组。然而，对于绝大多数实际问题，解析解是不可得的，因此，开发高效、稳定且精确的数值算法成为解决这些问题的关键瓶颈。 本书的核心目标在于弥合经典数值分析理论与处理尖端非线性问题的实际需求之间的鸿沟。我们没有聚焦于特定类型的方程（如奇异摄动问题），而是构建了一个涵盖广泛、具有普适性的框架，用于理解和实施求解一般形式非线性偏微分方程的数值技术。 理论基石与核心内容 全书结构清晰，从基础的数学工具开始，逐步深入到前沿的算法设计与实现。 第一部分：基础理论回顾与数值分析预备知识 本部分首先对非线性偏微分方程的适定性（Well-posedness）、存在性（Existence）和唯一性（Uniqueness）进行必要的背景回顾，强调其在数值模拟中的重要性。接着，我们详细梳理了必要的函数空间理论，特别是Sobolev空间和相关范数的性质，这是理解高阶精度方法稳定性的数学基础。 在数值方法方面，我们系统地介绍了有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）在线性问题中的基本构造、离散化误差分析（如一致性和稳定性理论），并特别强调了针对非线性项的特殊处理技巧。 第二部分：时间离散化与非线性问题的解耦 处理依赖于时间的非线性演化方程是本书的重点之一。我们深入探讨了处理时间导数的各种方法： 1. 全离散化（Fully Discretized Methods）：分析基于经典显式（如前向欧拉）和隐式（如后向欧拉）方法的稳定性限制。对于隐式方法，我们详述了非线性代数方程组的求解。 2. 半离散化（Semi-Discretized Methods）：重点介绍龙格-库塔（Runge-Kutta）方法的构建，特别是针对对精度要求极高或时间尺度差异巨大的问题的隐式Runge-Kutta方法及其误差分析。 3. 代数系统处理：牛顿迭代族方法：鉴于非线性方程组的求解难度，本书将大量的篇幅用于分析牛顿法（Newton's Method）及其各种变体，包括准牛顿法（Quasi-Newton Methods）如BFGS的推广，以及如何有效地构建和求解雅可比矩阵（Jacobian Matrix）。我们详尽讨论了雅可比矩阵的稀疏化、预条件化（Preconditioning）以及如何将其与迭代求解器（如Krylov子空间方法）高效结合。 第三部分：空间离散化与高精度技术 本部分聚焦于空间域的离散化技术，特别是超越标准二阶精度的现代方法： 1. 高阶有限差分法：系统介绍如Padé近似、紧致差分（Compact Schemes）等技术，如何通过巧妙的差分算子构造来提高精度，同时保持计算效率。 2. 广义有限元方法（Generalized FEM）：探讨了标准的$h$-精化和$p$-精化策略。特别关注在网格不规则或解具有高梯度区域（但不一定是奇异层）时，如何通过自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）策略来优化计算资源分配。 3. 谱方法与径向基函数方法：作为高精度方法的代表，我们介绍了傅里叶谱方法和切比雪夫配置法，讨论了它们在周期性边界条件下的超高精度优势，并探讨了处理非均匀区域时的局限性与克服方法。 第四部分：复杂物理系统的耦合与多尺度建模 现代工程问题往往涉及多个物理过程的耦合，例如流固耦合（FSI）或热-力耦合。本书将非线性偏微分方程的数值解法扩展到以下实际应用场景： 1. 隐式/显式耦合策略：分析了完全隐式耦合、迭代子迭代（Sub-iterations）以及分区（Partitioning）方法在处理强耦合系统时的稳定性与收敛性。 2. 多尺度问题的处理：探讨了如何利用多尺度模型降阶技术（如本征多尺度方法，IMS）与数值解法相结合，避免在小尺度细节上进行昂贵的全局网格划分。 3. 不适定问题的正则化：在某些物理模型中，方程本身可能在特定条件下变得不适定（Ill-posed）。我们介绍Tikhonov正则化等技术，并讨论如何将其嵌入到非线性迭代框架中，以获得稳定的数值近似。 读者对象与特色 本书的特色在于其普适性和计算深度。它不依赖于特定摄动参数的展开，而是提供了一套通用的、可扩展的算法工具箱，用于处理任何光滑非线性偏微分方程。 本书适合： 计算数学、应用数学的研究生和博士后研究人员。 从事计算流体力学（CFD）、计算固体力学（CSM）及计算物理的工程师和科学家。 希望深入理解现代数值算法背后数学原理的软件开发者。 通过详尽的理论推导、严格的误差分析，以及对实际计算挑战的深刻洞察，《非线性偏微分方程数值解法与应用》 致力于成为该领域内一本权威的、具有长期参考价值的工具书。读者将不仅学会如何应用现有算法，更能掌握根据具体工程问题设计和优化新型数值方案的能力。

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