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出版者:Spring

作者:Thorpe, John A.

出品人:

页数:253

译者:

出版时间:1979

价格:USD 90.34

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387903576

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

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探索几何学的基本原理：一本深入浅出的导论 本书旨在为读者提供一个全面而易于理解的微分几何学入门。我们将从最基础的概念出发，逐步深入，揭示空间结构的奥秘，以及它们如何通过微积分的强大工具得以刻画和分析。 第一部分：流形的基本构建 我们首先将引入流形（Manifolds）的核心概念。不同于我们熟悉的欧几里得空间，流形允许我们描述更复杂、弯曲的几何对象，例如球体、环面，甚至是宇宙的形状。我们将学习如何用局部坐标系来“摊平”这些弯曲的表面，使其在局部区域内看起来像平坦的欧几里得空间。通过图册（Atlas）的概念，我们将在全局范围内建立起这些局部描述之间的联系。 在这个过程中，拓扑学（Topology）的基础知识将是重要的铺垫。我们将简要回顾拓扑空间（Topological Spaces）、开集（Open Sets）、闭集（Closed Sets）、连续映射（Continuous Maps）等概念，理解它们如何帮助我们描述空间的连接性和连续性。 第二部分：微分结构与光滑性 微分几何的精髓在于将微积分的工具应用于几何对象。因此，我们将引入光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，这意味着我们不仅可以描述形状，还能在流形上进行微分运算。我们将学习可微映射（Differentiable Maps），以及如何在流形上定义切空间（Tangent Spaces）。切空间是理解流形局部行为的关键，它包含了所有可能的“方向”或“速度”信息。 我们将深入研究向量场（Vector Fields），它们如同在流形上描绘的“箭头”，指示着每个点的方向和大小。向量场是分析流形动力学行为的重要工具，例如描述粒子在弯曲空间中的运动轨迹。 第三部分：曲率的度量 几何学的核心在于度量和比较。本书将重点阐述联络（Connection）的概念，它是我们如何在流形上“平行移动”向量的规则。联络允许我们定义协变导数（Covariant Derivative），进而衡量向量在沿着曲线移动时如何变化。 基于协变导数，我们将迎来曲率（Curvature）的引入。曲率是衡量一个空间偏离欧几里得平直性的根本指标。我们将学习里奇曲率（Ricci Curvature）和数量曲率（Scalar Curvature），它们揭示了空间的内在弯曲程度。特别是黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor），它包含了关于空间在所有方向上弯曲的全部信息。理解曲率对于理解从行星轨道到黑洞性质等众多自然现象至关重要。 第四部分：测地线与几何性质 测地线（Geodesics）是弯曲空间中最“直”的路径，类似于平面上的直线。我们将学习如何通过变分法来刻画测地线，并理解它们在几何中的重要作用。测地线不仅是连接两点的最短路径（在一定条件下），更是理解流形结构的天然“骨架”。 本书还将探讨曲面（Surfaces）的微分几何。我们将深入研究第一基本形式（First Fundamental Form），它用于度量曲面上的长度和角度；以及第二基本形式（Second Fundamental Form），它用于度量曲面的法曲率（Normal Curvature）和主曲率（Principal Curvatures），从而揭示曲面的局部弯曲性质，例如高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。 第五部分：微分形式与积分 为了更深入地分析流形上的几何和拓扑性质，我们将引入微分形式（Differential Forms）。微分形式是多重线性函数，它们允许我们对流形进行积分，并推广微积分中的基本定理。我们将学习外微分（Exterior Derivative），它是微积分中导数的自然推广，并且在微分形式的运算中扮演着核心角色。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的推广将是本书的一个亮点。它将微积分中的牛顿-莱布尼茨公式、高斯散度定理和斯托克斯定理统一在一个简洁而强大的框架下，揭示了微分形式在不同维度上的积分之间的深刻联系。 目标读者 本书适合以下读者： 对数学有浓厚兴趣，希望深入理解空间几何本质的大学生。 物理学（特别是广义相对论、粒子物理学）的研究者，需要扎实的微分几何基础。 计算机图形学、机器人学等领域的从业人员，希望提升对复杂空间建模和处理的能力。 任何对数学之美和宇宙结构奥秘感到好奇的读者。 学习本书的收获 通过学习本书，您将： 掌握描述和分析弯曲空间的基本工具。 理解曲率的物理和几何意义。 能够运用微积分的强大能力来研究几何问题。 为深入学习更高级的几何学和拓扑学打下坚实基础。 培养一种全新的、更深刻的看待空间的方式。 本书力求语言清晰，例证丰富，并通过循序渐进的方式引导读者逐步掌握微分几何学的核心思想。我们相信，通过探索本书的内容，您将开启一段令人兴奋的几何学之旅。

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从纯粹的数学美学角度来看，这本《拓扑学基础》提供了一个近乎完美的视角来理解空间的概念是如何被抽象和推广的。它没有急于进入代数拓扑的复杂结构，而是专注于点集拓扑的内在逻辑。我尤其欣赏作者如何将“紧致性”这个看似简单的概念，通过不同的等价定义（如有限可被开复盖等价）层层剥开，展示其在不同背景下的强大威力。书中的几何直观的引入是其一大亮点，它通过对流形概念的初步介绍，将抽象的邻域和连续映射与我们熟悉的欧几里得空间联系起来，使得理论不至于悬空。这种由具体到抽象，再由抽象回归到新的具体的循环论证方式，极大地增强了读者的洞察力。它教会你的不仅仅是证明，更是一种思考“空间本质”的哲学方法，让人在阅读完后，看任何数学对象都会不由自主地去探寻其底层的拓扑结构。

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我曾尝试用这本讲述“抽象代数导论”的书来备战研究生入学考试，结果发现它在难度设置上存在严重的失衡。前半部分关于群论的介绍，特别是对同态、商群以及第一同构定理的阐述，逻辑清晰，例子丰富，即便是我这样对抽象数学不太熟悉的背景，也能较快地建立起基础认知。然而，一旦进入环和域的部分，书籍的难度陡然上升，作者似乎假设读者已经完全掌握了模（module）的概念，对域扩张和伽罗瓦理论的引入也显得过于仓促和跳跃。许多关键的定理缺乏详细的动机阐述，直接给出了证明，这使得那些非数学专业的学生在遇到Galois对应时，会感到前所未有的挫败感。它更像是一本写给已经有扎实代数基础的本科高年级学生的参考书，而非一本真正意义上的“导论”——它成功地展示了代数的深度，但却牺牲了对初学者的友好性和学习曲线的平滑过渡。

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我以一个研究应用数学的博士生的视角来看，这本书在内容的广度和深度上，表现得中规中矩，甚至可以说有些保守了。它确实涵盖了现代分析学的基本框架，比如巴拿赫定力和开映射定理的经典证明都有涉及，但它似乎在“为什么我们要关心这些”的问题上回答得不够有力。对于已经熟悉拓扑学基础的读者而言，这本书的某些章节显得冗长，大量的篇幅被用来解释那些在其他更综合的分析教材中一笔带过的预备知识。我希望看到更多关于算子理论在非线性问题中如何应用的讨论，或者至少引入一些 Banach 空间理论在优化问题中的现代应用案例，而不是仅仅停留在对抽象结构本身的展示上。它的结构更像是上世纪中叶的经典教材，严谨有余，而缺乏对当前研究热点的回应。如果你是自学，它是一个安全的港湾；但如果你是带着解决前沿问题的目标来阅读，你可能会觉得它少了一点“锐气”和必要的驱动力去探索更深层次的结构。

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这本书的排版和装帧质量简直令人发指，完全配不上它所承载的数学思想的精妙。纸张的质感粗糙，字体在某些复杂的积分符号和希腊字母的交错处显得模糊不清，这极大地影响了阅读体验。更不用提公式的排布了，很多关键的步骤被压缩得非常局促，导致在试图追踪一个复杂推导的逻辑链条时，眼睛经常需要来回跳跃，极大地干扰了思维的连贯性。我不得不承认，内容本身在介绍测度论与勒贝格积分的联系时，逻辑是严密的，作者对收敛性的处理非常到位，尤其是对单调收敛定理和支配收敛定理的区分和应用，讲解得十分细致。然而，光是适应这种令人疲惫的视觉环境，就消耗了我大量的精力，使得我不得不频繁地停下来休息。一本严肃的数学著作，不应在最基本的呈现媒介上如此草率，这无疑是扼杀了读者对其中美妙理论的享受。

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这本《泛函分析导论》简直是为那些想在数学世界中站稳脚跟的初学者量身定做的。作者的叙述方式极其清晰，仿佛一位经验丰富的老师在黑板前手把手地引导你走过每一个复杂的概念。它没有急于展示那些华丽的、令人生畏的定理证明，而是将重点放在了对核心思想的直观理解上。比如，在介绍范数空间时，它会用大量的具体例子来剖析“距离”和“大小”在抽象空间中的含义，而不是直接抛出定义。读这本书最大的感受就是“扎实”，它不像一些进阶书籍那样试图在有限的篇幅内塞入所有前沿内容，而是耐心地打磨基础——从 $ell^p$ 空间到 Hilbert 空间，每一步都走得稳健而清晰。特别值得称赞的是，它在处理线性算子和有界性时，引入了大量物理和几何上的类比，这使得原本枯燥的代数操作瞬间鲜活了起来，让人能够真正体会到泛函分析的强大应用潜力，而不是仅仅停留在符号的堆砌。对于任何想要进入偏微分方程、概率论或者量子力学领域的读者来说，这本书绝对是一个不可或缺的垫脚石。

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微分几何教材

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I like the written style of this book.

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work on properties of hypersurfaces in higher dimensional Euclidean space; view the last coordinate as the graph of function with other coordinates as inputs; good preparation for working on surfaces in non-Euclidean space. Solutions available at: http://users.cecs.anu.edu.au/~xzhang/reading/dg_thorpe.html