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☆☆☆☆☆

出版者:Chelsea Pub Co

作者:Edmund Landau

出品人:

页数:136

译者:

出版时间:2001-5

价格:USD 30.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821826935

丛书系列:AMS Chelsea Publishing

图书标签:

• 数学
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• 测度论
• 拓扑学
• 泛函分析
• 数列与级数

《数学原理：严谨的基石》 本书是一部深入探索数学理论根基的著作，它并非直接呈现分析学（Analysis）的经典定义、定理或证明，而是将读者引领至数学思想的源头，揭示构成现代数学大厦的那些至关重要且常常被忽视的“地基”。本书的主旨在于，理解数学学科的“为什么”和“如何”，而非仅仅罗列“是什么”。 我们将从数学的早期萌芽开始，追溯那些孕育了严谨性概念的古老智慧。从古希腊人对数的本质、几何形状的完美性以及逻辑推理的早期探索，到中世纪思想家对无限、连续性等概念的初步思考，本书将描绘一幅数学思想演进的宏大图景。这并非对历史事件的简单陈述，而是对那些塑造了我们今天理解数学方式的关键思想和方法的深入剖析。我们将审视毕达哥拉斯学派对数与宇宙关系的迷恋，欧几里得《几何原本》中公理化方法的威力，以及阿基米德在解决复杂几何问题时所展现出的早期微积分思想的雏形。 本书的重点将放在“证明”这一概念的哲学与实践层面。我们将探讨数学证明的本质是什么？它为何是数学区别于其他知识体系的关键？从直观的几何证明到抽象的代数论证，再到后来对逻辑严谨性的不断追求，我们将考察数学家们如何构建起坚不可摧的真理链条。我们还将深入探讨那些曾经困扰数学家的思想难题，例如芝诺的悖论，以及它们如何激发了对连续性和无穷小概念的更深层次思考。这些挑战不仅推动了数学的发展，也为我们理解数学的局限性与可能性提供了宝贵的视角。 接下来，我们将转向近代数学的黎明，特别是那些直接催生了现代数学分析基础的概念。我们将探讨牛顿和莱布尼茨在微积分发展过程中的思想贡献，以及当时围绕无穷小、极限等概念产生的激烈争论。本书不会直接教授积分或导数的计算方法，而是致力于阐明这些概念背后的逻辑结构和哲学含义。我们将审视柯西、魏尔斯特拉斯等数学家如何通过引入“ε-δ”语言等方法，为微积分提供了严格的定义，从而克服了早期微积分的模糊性，奠定了其作为一门精确科学的地位。这部分内容旨在揭示数学家们是如何通过概念的精炼和定义的严谨化，将曾经模糊不清的直觉转化为可以被严格证明的数学真理。 此外，本书还将触及集合论的兴起及其对数学基础的革命性影响。我们将探讨康托尔对无限集合的研究，以及他如何引入基数和序数的概念来区分不同“大小”的无穷。我们将审视这一理论带来的深刻哲学辩论，以及它如何成为现代数学许多分支的共同语言和基础。理解集合论的原理，对于把握现代数学的公理系统，例如策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）至关重要，而本书将侧重于阐释这些公理为何被提出，以及它们如何共同构成了我们今天所知的数学世界的基石。 本书还将讨论数学的公理化思想，特别是希尔伯特计划的意义。我们将探讨数学公理化的目标——建立一个完备、一致且可判定的数学体系——以及哥德尔不完备定理对这一目标的深刻影响。这些讨论将带领读者认识到数学的内在局限性，同时也彰显了数学家们在追求真理过程中的勇气和智慧。 总而言之，《数学原理：严谨的基石》并非一本用于学习分析学运算技巧的书籍。它是一次深入数学思维方式的探索之旅，是对那些支撑起整个数学大厦的抽象概念、严格证明和基础理论的全面审视。通过阅读本书，读者将能够深刻理解数学的内在逻辑、历史演进以及其作为一种思想体系所具有的独特魅力和力量。它旨在培养读者批判性思维和抽象推理能力，使他们能够更深入地理解数学的本质，并认识到数学在其他科学和哲学领域中的广泛影响。本书适合所有对数学的深层结构和思想哲学感兴趣的读者。

评分☆☆☆☆☆

PREFACE FOR THE STUDENT 1. Please don't read the Preface for the Teacher. 2. I will ask of you only the ability to read English and to think logically—no high school mathematics, and certainly no advanced mathematics. …… As a matter of fact, there would ...

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评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我，那种沉静而富有质感的蓝色，搭配烫金的《Foundations of Analysis》字样，散发出一种学术的庄重感，让我立刻对其内容充满了期待。拿到实体书的那一刻，纸张的触感也十分舒适，翻开扉页，精美的排版和清晰的字体，都预示着这是一本精心打磨的作品。我是一个对数学分析有着浓厚兴趣的初学者，一直希望能找到一本既严谨又不失引导性的入门读物，而《Foundations of Analysis》似乎正是我的理想选择。虽然我还没有深入阅读，但我相信，它一定能为我打下坚实的数学基础，引导我一步步走向更广阔的分析学世界。作者在序言中提到的“将抽象的概念具象化”的理念，更是让我跃跃欲试，期待着能够在这本书中找到理解分析学深层逻辑的钥匙。我尤其喜欢这种将理论根基层层剥离、逐一呈现的方式，这比那些上来就堆砌大量公式和定理的书籍更容易让人接受，也更能激发学习的内在动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计，虽然看似简单，却蕴含着作者的匠心独运。清晰的章节标题、醒目的定理和定义标记、以及恰到好处的公式居中显示，都让阅读体验变得更加愉悦。作者在引入新的数学符号时，都会有明确的解释和定义，避免了初学者因为不熟悉符号而产生的困惑。而且，书中对于一些重要的数学概念，作者会用不同的字体或加粗来强调，这有助于我在阅读时快速抓住重点。我发现，一本好的教科书，其排版设计也至关重要，它能够极大地影响学习的效率和舒适度。《Foundations of Analysis》在这方面做得非常好，它让我能够更加专注于内容本身，而不是被不友好的排版所干扰。

评分☆☆☆☆☆

《Foundations of Analysis》在对数学证明的严谨性方面，给我留下了深刻的印象。作者在给出每个定理的同时，都会附带一个完整且清晰的证明过程。他对于证明的每一个逻辑步骤都进行了详尽的解释，并且会强调在这个过程中所依赖的公理、定义或先前证明过的定理。这对于我这样初次接触严谨数学证明的学习者来说，简直是如同教科书般的范例。我发现，通过仔细研读这些证明，我不仅能够理解定理的内容，更能掌握数学证明的逻辑结构和写作规范。作者还会在证明中适时地插入一些“提示”或“注记”，指出证明的关键点或常见的误区，这极大地帮助我避免了在自己尝试证明时可能遇到的困难。

评分☆☆☆☆☆

《Foundations of Analysis》对于“数学证明”这一核心能力的培养，可以说是贯穿始终的。作者不仅仅是在演示证明，更是在教授如何进行证明。他会在证明的某些关键步骤停下来，详细分析为什么需要这样做，以及这样做能够达到什么目的。例如，在进行归纳证明时，他会清晰地解释基础步骤、归纳假设和归纳步骤各自的作用。我发现，通过模仿作者的证明风格，并尝试自己解决习题，我的逻辑思维能力和严谨性都得到了显著的提升。这本书让我明白，数学的精髓不仅仅在于公式和计算，更在于严谨的逻辑推导和清晰的证明过程。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格出乎我的意料，它没有像许多纯理论书籍那样冰冷刻板，而是充满了作者温和而清晰的引导。读着读着，我仿佛能够感受到作者在字里行间传递的那份对数学分析的热爱和对学生学习过程的体贴。即使是那些初学者可能会感到晦涩的定义和定理，在作者的笔下也变得生动起来。他善于运用类比和直观的例子，帮助读者理解那些抽象的概念，而不是仅仅停留在符号的海洋中。我特别欣赏作者在解释某个定理的证明过程时，那种层层递进的逻辑推理，每一步都清晰可见，并且会预先指出可能出现的难点，并给出相应的化解思路。这种“先入为主”的讲解方式，极大地降低了学习门槛，让我觉得分析学并非高不可攀，而是可以通过耐心和细致的学习来掌握的。这本书让我对学习分析学这件事本身，也多了一份亲切感和信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节安排和内容过渡做得非常自然流畅。作者在每一章的开头都会简要回顾上一章的内容，并指出本章将要学习的核心知识点，以及它们与之前内容的联系。这种清晰的结构和逻辑性的衔接，让我能够始终保持对学习主线的清晰认知，不会感到迷失。即使是跨越了多个章节的复杂证明，作者也会在中间进行适当的提示和总结，帮助读者将零散的知识点串联起来。我发现，阅读《Foundations of Analysis》的过程，就像是在攀登一座知识的高峰，每一步都踏实而坚定，并且能够清楚地看到自己正在不断接近顶峰。这种循序渐进的学习体验，极大地增强了我的学习信心。

评分☆☆☆☆☆

《Foundations of Analysis》在数学思想的启发性上，让我受益匪浅。除了严谨的理论推导，作者还善于引导读者去思考“为什么”以及“有什么意义”。他会在某些地方提出一些开放性的问题，鼓励读者去探索、去猜想，而不是被动地接受既定事实。例如，在探讨实数完备性时，他会引导读者思考为什么需要引入实数，以及实数与有理数在数轴上的直观差异。这种“授人以渔”的教学方式，让我不仅学会了分析学的具体内容，更重要的是培养了一种批判性思维和探索精神。我发现，很多数学概念在作者的引导下，都展现出了其内在的哲学意蕴，这使得学习过程充满了智识上的愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学史的穿插叙述方面，做得非常出色。在讲解某些核心概念时，作者会简要介绍这些概念的起源、发展以及背后重要的数学家们所做出的贡献。例如，在介绍微积分的基石——极限时，作者穿插了柯西、魏尔斯特拉斯等数学家如何一步步完善极限定义的艰辛历程。这种将知识的演变过程展现出来的做法，不仅增加了阅读的趣味性，更重要的是让我能够理解数学是如何在人类智慧的不断探索中形成的。我发现，了解这些历史背景，有助于我更深刻地理解这些概念的意义和价值，也让我对数学这门学科多了一份敬畏和热爱。这使得《Foundations of Analysis》不仅仅是一本教材，更是一部关于数学思想发展的生动画卷。

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本书的习题设计，是我认为它最具有价值的部分之一。不同于很多教辅材料中机械重复的计算题，《Foundations of Analysis》的习题更侧重于对概念的理解和对定理的灵活运用。每一章节的习题都经过精心挑选，它们既有巩固基础的题目，也有能够拓展思维的挑战性问题。我尤其喜欢那些需要证明或反驳的题目，它们迫使我去回顾和消化所学的知识，去构建完整的逻辑链条。作者在解答部分，对于部分难题的解析也十分到位，不仅给出了答案，更重要的是解释了思考的过程和关键步骤，让我能够从错误中学习，找到更优的解题策略。这种“学以致用”的设计，让学习过程变得更加充实和有成就感。

评分☆☆☆☆☆

《Foundations of Analysis》在概念的引入上，可以说做到了极致的细致。它没有直接跳到复杂的集合论或实数公理，而是从一些最基础的数学直觉出发，循序渐进地构建起分析学的宏大体系。作者对于“无穷”这个概念的处理，尤为精彩，他通过一系列引人入胜的思考过程，引导读者理解极限、收敛等核心概念的由来。我喜欢作者在讲解集合概念时，那种对不同类型集合性质的深入探讨，这不仅仅是数学上的严谨，更是一种思维方式的训练。他提出的各种思考题，也并非为了刁难读者，而是为了激发读者对知识点本身的深度思考，培养独立解决问题的能力。我发现，很多看似平常的数学事实，在作者的引导下，都展现出了其背后深刻的逻辑联系，这种“拨开迷雾见月明”的体验，是阅读这本书最大的乐趣之一。

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上帝创造了整数，其余都是地球人的工作。

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Please forget what you have learned in school; you haven't learned it. 数字和数学统统是建构的，开启神奇的脑洞，买回家供起来的

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many what, little why

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