数学分析专题选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海交大

作者:贾高

出品人:

页数:135

译者:

出版时间:2009-9

价格:19.00元

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isbn号码:9787313059161

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好的，根据您的要求，我将为您撰写一本名为《微积分进阶与应用》的图书简介。这本书将聚焦于传统微积分的深化、现代分析工具的引入，以及这些工具在解决实际问题中的应用，与您提到的《数学分析专题选讲》的侧重点形成差异。 微积分进阶与应用 ——从基础理论到现代建模的桥梁 作者： [此处留空或使用虚构的专业人士姓名] 出版社： [此处留空或使用虚构的学术出版社名称] 内容简介 《微积分进阶与应用》旨在为已经掌握标准微积分（单变量和多变量微积分基础）的读者提供一个深入理解核心概念、拓宽分析视野并掌握现代应用工具的进阶平台。本书并非对基础知识的重复叙述，而是聚焦于那些在传统初级教材中往往被简化或略过，但在更高层次的数学研究和工程应用中至关重要的理论深度和技术细节。全书结构严谨，从基础的函数空间和度量概念出发，逐步过渡到更抽象的分析框架，并穿插大量对实际问题的建模与求解实例。 全书共分为五大部分，共计十五个章节，涵盖了从拓扑基础到泛函分析的初步探索，以及在偏微分方程和概率论中的关键应用。 --- 第一部分：深度回顾与拓扑基础的引入（第1章至第3章） 第1章：实分析的严谨性与极限的再审视 本章首先对实数系统的完备性、序列收敛与柯西序列的概念进行更深层次的探讨，重点阐述了开集、闭集、紧集在 $mathbb{R}^n$ 空间中的精确定义及其在函数性质（如连续性和一致收敛性）证明中的关键作用。我们将深入分析各种“病态”函数的构造，以此揭示直觉与数学严谨性之间的差异。特别关注魏尔斯特拉斯逼近定理的详细证明及其在函数插值理论中的意义。 第2章：度量空间与函数空间的概念 微积分的推广需要一个更具弹性的基础结构。本章引入度量空间的概念，用距离函数取代绝对值，使得收敛性、开闭集的定义可以自然地推广到任意集合上。在此基础上，我们将初步探讨有限维向量空间的性质，并首次引入范数的概念。重点对比了 $ell^p$ 范数族与欧几里得范数在几何直觉上的差异。 第3章：连续性与一致性的深化 超越点态收敛，本章集中讨论一致收敛在积分和微分运算中的交换顺序问题。我们将详细分析黎曼积分的局限性，并引入勒贝格积分的初步思想（仅限于有界函数和简单函数），解释为何勒贝格积分在处理极限操作时更为稳健，为后续函数空间上的积分理论打下基础。 --- 第二部分：多元微积分的现代工具（第4章至第7章） 第4章：微分的推广：弗雷歇与盖托导数 本书摒弃了传统中值定理的机械计算，转而关注在更高维空间中定义可微性的严格框架。我们将详细阐述弗雷歇导数的精确定义，并引入更具几何意义的盖托导数，对比二者在一般函数空间中的等价性与区别。重点分析雅可比矩阵的几何解释及其在坐标变换中的核心地位。 第5章：隐函数定理与逆函数定理的几何视角 本章不再将隐函数定理视为孤立的定理，而是将其置于微分流形的局部构造背景下考察。重点在于理解其在判定函数局部可逆性时的微分准则，并提供多种基于收缩映射原理和临界点理论的替代性证明。 第6章：向量场、线积分与格林公式的深刻内涵 本章深入探讨线积分和面积分，关注其在物理学中势能、功与流体动力学中的意义。详细分析格林公式、斯托克斯公式和散度定理的几何直觉，特别是它们如何统一了不同维度上的微分与积分关系。着重讲解如何利用这些公式简化高维曲面积分的计算。 第7章：积分的推广：勒贝格积分的初步应用 在多元函数背景下，本章首次系统地引入多重积分的Fubini定理，并讨论其在处理非矩形区域积分时的适用条件，重点分析积分次序交换的严格条件。 --- 第三部分：级数、傅里叶分析与正交性（第8章至第10章） 第8章：傅里叶级数与函数空间的内积 本书将傅里叶级数视为函数空间中的“正交分解”工具。在引入内积空间的概念后，傅里叶系数被自然地解释为函数向量在正交基上的投影。重点分析狄利克雷条件与收敛性的关系，以及傅里叶级数在求解常微分方程中的实际应用。 第9章：傅里叶变换及其在信号处理中的基础 从周期函数过渡到非周期函数，本章系统推导傅里叶变换的定义、基本性质及卷积定理。本书将傅里叶变换视为一种“基准变换”，而非简单的积分工具，强调其在将微分运算转化为代数乘法中的核心作用。 第10章：希尔伯特空间导论 本章是本书分析强度的体现。在度量空间和范数空间的基础上，正式引入完备的内积空间——希尔伯特空间。重点讨论投影定理和Riesz表示定理，展示了正交投影的唯一性，并说明了傅里叶级数是希尔伯特空间中函数正交分解的典范案例。 --- 第四部分：偏微分方程的分析方法（第11章至第13章） 第11章：拉普拉斯方程与热传导问题的稳态解 本章聚焦于椭圆型偏微分方程。从物理背景出发，推导拉普拉斯方程，并利用分离变量法求解特定边界条件下的齐次问题。着重分析拉普拉斯方程的极值原理在确保解的唯一性中的关键作用。 第12章：波动方程与能量守恒 针对双曲型偏微分方程，本章详细分析一维波动方程的达朗贝尔公式，该公式清晰地展示了信息（波的扰动）的传播速度，强调了初始条件对解的决定性影响。 第13章：热传导方程与时间依赖性 讨论抛物型偏微分方程。重点分析热传导方程的最大值原理（与拉普拉斯方程的差异化分析），以及奇解和光滑性的传播——即初始条件的任何不连续性如何随着时间推移而被“平滑化”。 --- 第五部分：变分法与优化（第14章至第15章） 第14章：泛函与欧拉-拉格朗日方程 本章将微积分的思想推广到“函数空间”上，引入泛函的概念。以最短路径问题、悬链线问题为例，推导欧拉-拉格朗日方程，这是现代物理学中最小作用量原理的数学核心。 第15章：变分法的应用实例与基础优化 本章将变分法与约束优化联系起来，讨论如何利用拉格朗日乘子法（从连续到离散的桥梁）来求解带约束的泛函极值问题，并展望了最速降线问题的分析。 本书的特点与目标读者 本书的写作风格力求清晰、深入且具有启发性。它避免了对初级概念的冗余解释，而是将笔墨集中于证明的结构、概念的推广性以及理论与实际问题的连接。 目标读者： 1. 数学、物理、工程学、计算机科学等专业的高年级本科生及研究生。 2. 希望系统性地从基础微积分过渡到现代分析、泛函分析或偏微分方程领域的自学者。 3. 需要深入理解诸如傅里叶分析、变分法等高级分析工具的科研人员和工程师。 通过对度量空间、希尔伯特空间和基础泛函理论的系统性介绍，本书旨在为读者构建一个坚实的分析学地基，使他们不仅“会计算”，更能深刻理解“为什么能这样计算”。本书强调的是结构与一致性，是通往更高级数学领域的关键阶梯。

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这本书的装帧设计挺有意思的，封面采用了比较朴素的深蓝色调，配上烫金的字体，给人一种沉稳、专业的视觉感受。初次翻开时，我注意到纸张的质感相当不错，不是那种很容易反光的纸，阅读起来眼睛不容易疲劳。排版方面，作者的用心程度是显而易见的，公式和文字的间距处理得恰到好处，即便是复杂的积分和微分方程，也能清晰地分辨出各个部分。不过，我个人觉得，如果在某些关键定理的推导过程中，能多加一些图示辅助说明，可能对理解抽象概念会更有帮助。毕竟，数学分析的某些部分，尤其是涉及多变量微积分和拓扑学基础时，几何直观的缺失确实会让人感觉有些吃力。总的来说，作为一本深入学习的参考书，它的物理呈现质量是值得肯定的，阅读体验算得上舒适，为接下来的知识探索打下了良好的物质基础。

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我花了一整周的时间仔细研读了关于级数收敛性判别法的那几个章节，深感作者在梳理理论脉络上的功力。他并非简单地罗列定理和公式，而是将它们置于一个更宏大的分析体系中进行讲解。例如，在处理狄利克雷判别法和阿贝尔判别法时，作者巧妙地引入了“部分和的界限”这一核心思想，使得原本枯燥的证明过程变得富有逻辑的层次感。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的“逐步深化”的策略，总是在基础定义之后紧跟着一个“反例”或者一个“特殊情况分析”，这有效地避免了初学者对概念的片面理解。唯一的不足可能在于，对于那些希望快速回顾知识点的读者来说，可能需要更精炼的摘要或思维导图式的总结，当前的内容密度略高，对于快速查阅某些特定公式的效率略有影响，但论及深度挖掘，这本书无疑是极其详实的。

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我特别关注了书中关于勒贝格积分基础的介绍部分，因为这通常是本科阶段分析课的一个分水岭。这本书处理得相当有条理，它没有直接跳跃到$sigma$-代数和测度的复杂定义上，而是先从简单函数开始，一步步过渡到可测函数。作者在定义测度时，引入了“外测度”作为铺垫，这种由浅入深的构造过程，极大地降低了理解“测度”这一抽象概念的认知门槛。最让我感到惊喜的是，作者在讲解“几乎处处”收敛和“依测度”收敛的区别时，所举的例子极具代表性，清晰地展示了它们在不同测度空间下的行为差异。这本书的价值在于，它不满足于“教会你怎么做”，更致力于“让你明白为什么要这样做”。如果说这本书有什么不足，那就是篇幅略显庞大，对于时间有限的读者来说，要想完整消化其中的所有细节，需要投入相当大的精力，但正是这份厚重，保证了其内容的全面性和深度。

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这本书在处理“一致收敛性”这个核心难点时，展现出了极高的教学艺术。通常在大学教材中，一致收敛性的讲解往往是公式的堆砌，读者很容易混淆一致连续性、一致可积性和一致可微性之间的微妙关系。然而，这本书通过精心构造的“ $epsilon-N$ 语言的陷阱”实例，生动地展示了为什么逐点收敛不足以保证极限运算的有效性。我发现自己以前在理解该概念时的一些模糊地带，在阅读完作者对“均匀度量”的阐释后豁然开朗。作者似乎非常清楚学生在哪个知识点上容易“卡壳”，并提前设置好了应对的“桥梁”。如果说有什么可以提升的地方，或许是在应用层面，比如在求解某些常微分方程的解的存在性与唯一性时，能多提供一些真实的物理或工程背景下的例子，那就更加完美了，纯粹的理论探讨虽然严谨，但有时确实需要现实的锚点来巩固理解。

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从行文风格来看，这本书的语言非常严谨，几乎没有使用任何带有感情色彩的词汇，这对于一本严肃的数学著作来说是必需的。每一个句子都像一个逻辑严密的陈述，推导过程紧凑而无懈可击。我发现自己不得不放慢阅读速度，因为稍不留神，可能就会错过一个至关重要的限定条件——比如某个函数的导数是否要求是连续的，或者某个点集是否必须是紧集。这种对细节的极致追求，使得这本书非常适合作为准备高阶考试或者进行深入研究的参考资料。然而，正是这种极致的严谨，使得它在作为初次接触该领域时的入门读物时，显得有些“高冷”。对于那些更偏爱启发式教学风格的读者来说，这本书可能需要搭配其他更具亲和力的教材一同使用，才能达到最佳的学习效果。它更像是一位经验丰富的导师的笔记，而非一位耐心的启蒙教师的讲义。

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