Finite and Infinite Primes for Rings and Fields pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:David K. Harrison

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1966-06

价格:USD 15.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821812686

丛书系列:

图书标签:

Prime numbers
Ring theory
Field theory
Algebraic number theory
Infinite primes
Finite fields
Galois theory
Algebraic structures
Commutative algebra
Ideal theory

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具体描述

环与域上的素数：有限与无限作者： [此处留空，作者姓名应在此处] 出版社： [此处留空，出版社名称应在此处] 出版年份： [此处留空，出版年份应在此处] --- 内容简介：本书深入探讨了代数数论和抽象代数的核心领域，专注于环与域结构中素数概念的推广与细致分析。它并非简单地复述经典素数理论在整数上的应用，而是致力于构建一个严谨的框架，用以理解素性概念在更广泛的代数结构中如何演变、保持何种特性，以及如何作为理论的基石。全书结构清晰，逻辑严密，从基础的环论概念出发，逐步过渡到更高级的主题。它首先回顾了环的定义、理想（特别是素理想与极大理想）的性质，为后续的讨论奠定了必要的代数基础。作者没有将重点停留在对已熟知概念的简单罗列，而是立即将读者的注意力引向域的扩张理论，特别是代数数域的背景。本书的核心贡献在于对“素性”概念的系统性考察。在整数环 $mathbb{Z}$ 中，素数具有唯一的分解性质。然而，当我们将视角转向更一般的环，例如多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）或更复杂的代数整数环时，这种唯一性便受到了挑战。本书详尽地分析了唯一分解整环（UFD）的条件，并阐述了不可约元素与素元素之间的微妙关系。在UFD中，二者等价，但本书清晰地展示了在非UFD环中，这种等价性如何瓦解，并提供了大量的反例来佐证这一点。在域扩张的部分，本书将重点放在了代数数域 $mathbb{Q}(alpha)$ 的整数环 $mathcal{O}_K$ 上。在这里，整数的“素数”被推广为理想的素性，即素理想。读者将发现，在 $mathcal{O}_K$ 中，一个有理素数 $p$ 的行为是极其复杂的：它可能保持不变（惰性），可能分解成多个不同的素理想的乘积（分歧），或者在某些特殊情况下（如 $p=2$ 在 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 中），其行为遵循更精细的规则。本书通过详细介绍德德金（Dedekind）环的概念，解释了为什么在这些结构中，理想的唯一分解取代了元素的唯一分解，并用严谨的代数语言证明了这种分解的必然性与唯一性。本书对初学者可能略显抽象，因为它要求读者对群论、环论和域论有扎实的预备知识。它假定读者已经熟悉了基本的同构定理、域的扩张（如伽罗瓦扩张），并且能够处理抽象的代数证明。在分析了理想的素性之后，本书转向了环论中至关重要的完备化过程。作者探讨了在局部化环中，素理想的结构如何被“放大”和“聚焦”。通过对 $p$ 进整数环 $mathbb{Z}_p$（作为 $mathbb{Z}$ 在素理想 $(p)$ 处的局部化）的深入剖析，本书展示了完备化如何将局部性质的分析从全局结构中剥离出来，这对于理解$p$-adic分析和更高级的数论分支至关重要。本书还包含了关于因子化问题的深入讨论，特别是在代数函数域的背景下。虽然侧重于代数整数环，但作者也简要地将这些概念映射到了函数域上，以展示素性理论的普适性。在函数域的框架下，素因子（对应于不可约多项式）的性质得到了重述，这为读者提供了一个将代数数论与代数几何联系起来的初步视角。此外，本书还花费了一定的篇幅讨论了主理想域（PID）的特性，并将其与UFD进行了对比。它明确界定了当一个环同时是PID和UFD时，其素元素和不可约元素之间的等价性是如何自然而然地成立的，并以此为基础，详细推导了高斯引理以及在多项式环上的唯一因子化性质。本书的风格是高度技术性的，不适合寻求快速入门的读者。每一章都充满了详细的定义、定理和证明。作者在撰写过程中，力求逻辑链条的完整性，避免使用模糊的描述，尤其是在涉及范、迹、判别式等工具来分析整数环结构时，其严谨性是毋庸置疑的。对于那些希望在代数数论研究中打下坚实基础，并深入理解素性概念在抽象代数体系中含义的数学工作者和研究生而言，本书提供了一份不可或缺的、深刻的参考资料。它揭示了素性背后的深刻结构，远超出了初等算术的范畴。