张量几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:多德森

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2009-6

价格:50.00元

装帧:

isbn号码:9787510004797

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

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《张量几何》—— 探寻空间结构与曲率之奥秘 《张量几何》是一部深入探索黎曼几何核心概念与精妙数学构造的学术专著。本书以张量分析为语言，以微分流形为舞台，细致剖析了弯曲空间所展现出的丰富几何性质，以及驱动这些性质的数学工具。它并非仅仅是概念的堆砌，而是力求呈现一种几何思维的训练，引导读者在抽象的数学世界中构建直观的理解。 本书的起点，是对于“空间”的重新定义。传统欧几里得空间以其平直与简便，在初等几何中占据主导地位。然而，物理学的深刻发展，从爱因斯坦的广义相对论到微分几何的前沿研究，无不指向一个事实：宇宙本身，以及许多重要的数学结构，都是由弯曲的空间所构成。要理解这些弯曲的空间，我们必须超越向量的束缚，引入更强大的工具——张量。 张量，作为多重线性映射的推广，能够以一种更本质、更全面的方式捕捉空间的几何信息。它不受坐标系的任意选择所影响，拥有内在的几何意义。本书的第一部分，便致力于为读者打下坚实的张量分析基础。我们会从张量的定义、运算（如张量积、收缩、转置等）入手，逐步深入到协变张量、逆变张量、混合张量等不同类型的张量。重点会放在如何利用张量来表示几何对象，例如度量张量，它扮演着定义空间距离和角度的关键角色。我们会详细探讨度量张量如何刻画空间的局部几何性质，以及如何通过度量张量计算曲率。 理解了张量这一语言，我们便能真正进入微分流形的奇妙世界。本书的第二部分，将详细阐述微分流形的拓扑与微分结构。我们首先会介绍拓扑空间的预备知识，为后续理解流形的“局部平坦性”打下基础。接着，我们将定义微分流形，强调其局部可以映射到欧几里得空间，并具备光滑的坐标变换。这一“局部光滑性”使得我们可以将微积分的强大工具应用于这些抽象的空间。我们会深入探讨切空间的概念，理解切向量如何在流形上表示速度或方向，以及切向量丛的结构。 接下来的核心内容，便是黎曼几何的精髓所在：联络与曲率。本书将花费大量篇幅来介绍联络的定义及其几何意义。联络，本质上是一种在流形上“平行移动”向量的方法。它允许我们在不依赖于特定坐标系的情况下，定义向量的“方向不变”的移动。这对于理解曲线的测地线（最短路径）至关重要。我们会详细探讨列维-奇维塔联络，它是度量张量唯一确定的无挠率联络，是黎曼几何的基石。 有了联络，我们便可以定义协变导数，它是张量在流形上变化的度量。通过协变导数，我们可以自然地引出曲率的概念。本书会详细阐述黎曼曲率张量，这是描述流形弯曲程度的最核心的几何量。我们会分析黎曼曲率张量的构成，以及它所蕴含的丰富信息。例如，里奇张量和斯卡拉曲率，作为黎曼曲率张量的收缩形式，它们在物理学（如广义相对论）和几何学中都有着极其重要的应用。我们会探讨等距曲面、恒定曲率空间（如球面、双曲空间）的几何性质，并以此来加深对曲率概念的理解。 本书还将涉及一些重要的几何对象和概念。例如，我们会讨论测地线的存在性与唯一性，以及它们与流形几何性质的关系。通过求解测地线方程，我们可以探索流形上的“直线”，以及它们如何勾勒出空间的形状。此外，本书还会触及一些更高级的主题，如外微分、霍奇定理的基本思想，以及它们在理解流形的拓扑与几何之间的联系中所扮演的角色。尽管这些主题可能会涉及更抽象的数学工具，但本书将努力以清晰的逻辑和适当的例子，引导读者逐步掌握。 《张量几何》的写作风格力求严谨而不失流畅，数学证明清晰透彻，同时穿插有丰富的几何直观解释和应用场景的提示。本书的读者群主要面向对微分几何、理论物理、数学物理等领域有浓厚兴趣的数学专业本科生、研究生以及相关领域的研究人员。掌握本书内容，将为读者在更广阔的数学和物理领域的研究打下坚实的基础，使他们能够更加自信地遨游于抽象而美妙的几何世界。 本书的结构设计，是从基本概念逐步深入到复杂理论，确保读者能够循序渐进地构建起对张量几何的理解。从对张量及其运算的熟练掌握，到对微分流形结构的透彻认识，再到对联络与曲率的深刻洞察，每一个环节都经过精心设计。例如，在介绍度量张量时，我们会通过计算曲率张量来展示度量张量如何直接影响空间的弯曲程度；在介绍联络时，我们会通过平行移动向量来直观地展现向量在弯曲空间中的“漂移”。 本书的价值不仅在于它所包含的知识体系，更在于它所传递的一种几何研究方法。它鼓励读者用张量的语言去思考几何问题，用微分的工具去分析空间的结构。通过反复的推导和计算，读者将逐渐培养出对抽象几何概念的敏感性，以及解决复杂几何问题的能力。 总而言之，《张量几何》是一部集理论深度、数学严谨与几何美感于一体的学术著作。它将带领读者踏上一段探索弯曲空间奥秘的旅程，理解支撑现代物理学和数学前沿的强大几何语言。希望本书能够成为广大几何爱好者和研究者们案头的良师益友。

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哇，这本书真是让人眼前一亮！我刚翻开《张量几何》的扉页，就被它那种深邃而又优雅的数学语言深深吸引了。首先，作者在开篇对几何概念的引入，简直是教科书级别的清晰明了，每一个定义、每一个定理的推导都像是精心编排的乐章，层层递进，让人在不知不觉中领悟了张量在微分几何中的核心地位。我尤其欣赏作者在处理高维空间中的曲线和曲面问题时所展现出的洞察力，那些原本在传统欧几里得几何中显得晦涩的直观概念，通过张量语言的重新表述，立刻变得生动起来，仿佛触手可及。读这本书的过程中，我感觉自己不再是那个被复杂公式困扰的学生，而更像是一个探索者，在作者的引导下，逐步揭开了空间结构背后那层神秘的面纱。那种豁然开朗的感觉，真是太美妙了！书中大量的图示和具体的例子，也极大地帮助理解了抽象的张量运算，使得这本书既有深度，又不失温度，非常适合初学者和希望深入了解微分几何的读者。

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这本书的写作风格极其严谨，字里行间都透露出作者深厚的学术功底。我特别留意了关于黎曼曲率张量的章节，那里的论述逻辑严密到令人赞叹。作者并没有急于给出最终的公式，而是花费了大量的篇幅，从度规张量、共变导数这些基本元素出发，步步为营地构建起整个理论框架。这种铺垫不是多余的重复，而是为后续更高级的讨论打下了坚实的基础。每一次公式的出现，都能清晰地看到它从更基本原理中推导出来的脉络，没有丝毫的跳跃感。读到后面，你会发现作者在处理一些看似不相关的几何概念时，总能巧妙地将它们统一到张量的框架下，展现出一种惊人的统一性。对于那些追求数学纯粹性和严密性的读者来说，这本书简直是福音，它不只是教你“怎么算”，更重要的是让你理解“为什么是这样”，这种对本质的追问，才是真正令人心悦诚服的地方。

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坦白说，最初我担心这本书会过于侧重理论的抽象性，但实际阅读体验完全超出了我的预期。作者在介绍张量分解、张量网络等现代应用领域时，展现出一种惊人的前瞻性和实用性。尽管核心是纯数学的几何结构，但作者总是能适时地穿插一些应用背景，例如在广义相对论中的具体体现，或者在数据科学中张量如何作为多维数组处理的例子。这种“理论与实践的无缝衔接”，让这本书的价值倍增。它不仅仅是一本学术专著，更像是一部面向未来的工具书。那些看似纯粹的几何性质，在作者的阐述下，立刻获得了解决实际问题的能力。我感觉自己手中的不再只是一堆公式，而是一套解决复杂问题的强大“瑞士军刀”，这种赋能感是很多同类书籍难以给予的。

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我通常对数学著作的阅读速度比较慢，但《张量几何》却有一种魔力，让我不自觉地加快了翻阅的节奏。它的叙事方式非常具有启发性，仿佛作者是一位经验丰富的向导，带着你穿梭于不同的几何场景之中。比如，书中对爱因斯坦场方程的几何解读，简直是神来之笔，它将原本晦涩的物理概念，用纯粹的张量语言重新翻译了一遍，使得物理学家和数学家都能从中找到共鸣。我特别喜欢作者在每一章末尾设置的“思考题”，它们往往不是那种死板的计算题，而是指向更深层次概念理解的开放性问题，激发了读者主动思考的欲望。这些问题迫使你跳出书本的限制，尝试用张量语言去描述你自己的观察，这对于巩固知识和培养数学直觉至关重要。这本书的排版也值得称赞，清晰的符号标记和合理的空间布局，让阅读过程非常舒适，极大地降低了阅读复杂数学文本的疲劳感。

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这本书的魅力还在于它对“视角”转换的强调。张量，顾名思义，就是描述事物在不同坐标系下保持不变的量。作者对此进行了非常深刻的哲学思考和数学演绎。他不断引导读者跳出固定的参考系，去理解物体本身的内在属性。这种叙事手法极大地拓宽了我的数学视野。以前我对坐标变换总是感到头疼，总觉得是在做无谓的计算，但读完这本书，我才真正理解了坐标变换背后的几何意义——那不是为了计算方便，而是为了凸显对象的不变性。书中对协变导数和外微分形式的精彩对比分析，尤其让我受益匪浅，它揭示了微分算子在不同几何背景下的统一行为。这使得我对“流形”这个概念的理解，从一个二维的、表面的认识，上升到了一个多维的、内在的结构理解，确实是一次非常深刻的智力洗礼。

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