几何与分析（第I卷） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:季理真 编

出品人:

页数:542

译者:

出版时间:2010-9

价格:88.00元

装帧:

isbn号码:9787040302721

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• 微分几何7
• 几何学
• 数学分析
• 微积分
• 拓扑学
• 实分析
• 函数论
• 高等数学
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• 几何分析
• 数学

《几何与分析（第I卷）》内容概述 本书《几何与分析（第I卷）》旨在为读者提供一个严谨而全面的数学基础，特别是集中于代数几何和微分几何两大核心领域。全书分为两大部分，第一部分深入探讨代数几何的基本概念与工具，第二部分则专注于微分几何的精髓，为进一步学习更高级的数学分支奠定坚实的基础。 第一部分：代数几何的基础 代数几何是数学中一个充满活力且深刻的领域，它通过代数的方法研究几何对象。本书的第一部分将带领读者从最基础的概念开始，逐步构建起对这一领域的理解。 簇（Varieties）的概念： 我们将从多项式方程组的解集出发，引入簇这一核心概念。读者将学习如何定义和理解几何对象在代数意义下的表达。我们将详细阐述仿射簇（Affine Varieties）和射影簇（Projective Varieties）的区别与联系。对于仿射簇，我们将考察由理想定义的簇，并深入理解理想与簇之间的对应关系（希尔伯特零点定理，Hilbert's Nullstellensatz）。接着，我们将讨论射影空间的结构，以及射影簇的定义。这部分将帮助读者理解，看似复杂的几何图形，实则可以用简单的多项式方程来精确刻画。 理想（Ideals）与环（Rings）： 代数几何的核心工具是环和理想。我们将介绍交换代数中与簇相关的关键概念，如多项式环、理想的定义、生成元、商环以及素理想和极大理想。读者将学习到，理想不仅定义了簇的几何结构，也反映了簇的代数性质。我们将详细解释希尔伯特零点定理，这是连接代数与几何的关键桥梁，它表明了理想与簇之间存在着一种一一对应的关系。通过理解理想的性质，我们能够更深入地分析簇的结构，例如其维数、连通性等。 几何对象的性质： 在理解了簇的基本定义后，我们将进一步探讨其重要的几何性质。 维数（Dimension）：我们将介绍代数簇的维数概念，它通常由基点（主链）的数量来定义，并探讨不同类型的维数（例如 Krull 维数）之间的关系。理解维数对于刻画几何对象的“大小”和“复杂度”至关重要。 连通性（Connectedness）：我们将学习代数簇的连通分量，并理解代数簇如何被分解为若干个不可约的（irreducible）部分。不可约簇是代数几何研究的基本单元。 光滑性（Smoothness）：我们将引入簇的光滑点和奇异点（singular points）的概念。光滑点是“表现良好”的点，它们局部上看起来像一个欧几里得空间，而奇异点则可能包含尖点、自交点等复杂的几何特征。我们将学习如何通过雅可比矩阵（Jacobian matrix）来识别奇异点。 有理映射（Rational Maps）与同态（Morphisms）：我们将定义簇之间的同态，它们是代数簇之间的“良好”映射，类似于态射。在此基础上，我们将引入有理映射，它们在某些点可能没有定义，但它们在研究簇之间的关系时同样非常重要。 环面（Schemes）的初步介绍： 为了处理更一般的代数几何对象，我们将对环面的概念进行初步的介绍。环面是代数簇的推广，它允许我们在非代数闭域上进行研究，并且能够处理更复杂的结构，例如非交换代数结构。我们将概述 Grothendieck 的开创性工作，以及环面在现代代数几何中的重要性，但我们将主要集中在理解环面作为“局部上是仿射”的对象的思想。 第二部分：微分几何的基石 微分几何研究光滑流形（smooth manifolds）上的几何性质，并将微积分的工具应用于几何问题。本书的第二部分将带领读者进入这个迷人的领域。 光滑流形（Smooth Manifolds）： 我们将从光滑流形的定义出发，这是微分几何的研究对象。读者将学习如何用局部坐标卡（charts）来描述一个光滑流形，以及如何定义流形上的光滑函数和光滑映射。我们将强调流形在局部上“看起来像”欧几里得空间，但在全局上可以拥有非常复杂的拓扑结构。我们将通过一些经典的例子，如球面（sphere）、环面（torus）等，来加深理解。 切空间（Tangent Spaces）与向量场（Vector Fields）： 切空间是微分几何中最重要的概念之一。我们将定义在流形上一点的切空间，它是由通过该点的所有曲线的切向量组成的向量空间。读者将学习到，切空间提供了一种在局部上“线性化”流形的方法。接着，我们将引入向量场，它们是流形上每一点都赋予一个切向量的“平滑”函数。向量场是研究流形动力学和几何结构的重要工具。我们将讨论向量场的运算，例如李括号（Lie bracket）。 微分形式（Differential Forms）： 微分形式是在流形上进行积分和分析的关键工具。我们将介绍 $k$ 阶微分形式的概念，它们可以看作是 $k$ 个向量的“函数”，并且在输入向量时表现出一定的“光滑性”和“反对称性”。读者将学习到外微分（exterior differentiation）运算，它是微分形式上的一个基本运算，并且满足一个重要的链式法则。我们将强调外微分在定义闭形式（closed forms）和精确形式（exact forms）中的作用，并简要介绍德拉姆定理（de Rham theorem）的思想，它连接了微分形式的拓扑信息。 曲率（Curvature）的概念： 曲率是度量空间弯曲程度的关键概念。我们将介绍黎曼流形（Riemannian manifolds）的概念，即在流形上定义了一个度量（metric），允许我们测量长度、角度和体积。在此基础上，我们将引入曲率张量（curvature tensor），例如里奇曲率（Ricci curvature）和斯卡拉曲率（scalar curvature）。这些概念将帮助我们理解流形的几何性质，例如它是在“弯曲”还是“平坦”。我们将举例说明正曲率、负曲率和零曲率流形所表现出的不同几何特性。 测地线（Geodesics）： 测地线是流形上的“直线”概念的推广，它们是连接两点最短（局部上）的路径。我们将学习如何定义测地线，以及它们如何由流形上的度量所决定。我们将探讨测地线的存在性和唯一性，并简要介绍指数映射（exponential map），它将切空间映射到流形上的点，并与测地线密切相关。 本书旨在以一种清晰、循序渐进的方式呈现这些复杂的概念，并通过大量的例子和习题来帮助读者巩固理解。我们相信，通过对《几何与分析（第I卷）》的学习，读者将能够建立起扎实的数学基础，为未来深入探索代数几何、微分几何以及其他更广泛的数学领域做好充分准备。

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初翻阅时，我立刻被其中引人入胜的引言所吸引。作者以一种非常宏大且富有哲理的视角，探讨了纯粹数学的本质，将“几何”与“分析”这两个看似疏远的领域，置于一个统一的认知框架下进行审视。这种开篇的叙事手法，并非那种枯燥的公式堆砌，而是更像一场高水平的学术对话，让人感觉自己不是在阅读教科书，而是在聆听一位大师的独白。他用非常精妙的比喻，阐释了极限概念在不同几何结构中体现出的深刻联系。虽然我个人对其中提及的某些拓扑学基础概念还不够熟悉，但作者的解释节奏把握得极好，总能在关键时刻穿插一个历史典故或者一个直观的几何构想，瞬间打通思维的阻塞点。这本书的叙述风格是典雅而富有韵律感的，阅读过程本身就是一种智力上的享受，它成功地激发了我对数学深层结构的好奇心。

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这本书的难度梯度设置得相当有层次感，这对于自学者来说简直是福音。开头的章节，比如基础集合论和欧几里得空间的初步探索，写得极其详尽和细致，即便是数学基础稍弱的读者，也能通过那些细致的步骤推导跟上节奏。每当引入一个新的复杂概念，比如勒贝格测度或者黎曼几何的局部性质，作者都会先用一个简洁的、可操作性的定义来锚定，然后再逐步构建其严密的逻辑框架。我特别欣赏的是，它在理论推导中穿插了大量“思考题”而非简单的练习题。这些思考题往往不是直接让你计算什么，而是引导你去探索某个定理的边界条件，或者思考某个假设成立的必要性，迫使读者进行深层次的批判性思考，而不是机械地套用公式。这种教学方法的深度和广度，远超我以往接触过的任何教材。

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这本书的包装设计着实吸引眼球，封面上那深邃的蓝色调，配上极简的几何图形排版，散发着一种古典而又前沿的气息。我拿到手时，首先注意到的是它厚重的质感，纸张的克重和印刷的清晰度都达到了专业书籍的水准。内页的排版布局非常考究，文字的行间距和段落间距拿捏得恰到好处，即便是面对那些密集的公式和定理推导，眼睛也不会感到过分疲劳。章节之间的过渡处理得非常平滑，似乎作者花费了大量心思在阅读体验上。不过，我也注意到一些小瑕疵，比如在某些插图的边缘，油墨似乎略有扩散，虽然不影响理解，但在这种级别的出版物中，还是略感遗憾。总体来说，从触感和视觉感受上，这本书无疑是一部值得收藏的精装著作，它在形式上的严谨性，已经为即将到来的内容深度做了很好的铺垫，让人对接下来的学习充满了期待。这本书本身就像一个精心打磨的数学物件，充满了一种沉静的力量。

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阅读这本书的过程中，我发觉它不仅仅是知识的传递，更像是一本数学思想的“方法论”指南。作者在处理每一个定理的证明时，都展现出一种极高的审美追求——追求简洁、优雅和彻底。比如，在处理某些微分方程的解的存在性与唯一性时，作者展示了如何从最基本的公理出发，层层剥茧，最终导出结论，整个证明过程如同精密的机械运作，每一步都不可或缺，且逻辑严密得令人心折。这种对“美”的追求，体现在对反例的审慎讨论中，作者从不避讳讨论某个定理在特定边界条件下失效的可能性，这恰恰体现了数学研究的真实面貌：严谨性是生命线。读完关于函数空间收敛性的章节后，我感觉自己对抽象空间的理解进入了一个全新的境界，那种“豁然开朗”的感觉是其他书籍难以给予的。

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从装帧和内容布局的专业性来看，这本书显然面向的是高阶的研究者或博士生群体。它在引用和参考文献的处理上体现了极高的学术规范性，每一条重要的外部理论引用都有明确的出处标注，方便读者进行更深入的文献追溯。我注意到它在讨论偏微分方程的正则性理论时，引用了近十年来最前沿的几篇顶级期刊论文，这表明编撰团队对该领域的最新进展保持着高度的关注。唯一的遗憾是，由于其内容的极度前沿性，部分高级主题的讨论深度，虽然严密，但对于初次接触该领域的读者来说，可能需要反复查阅辅助资料才能完全消化。总而言之，这本书的价值在于它提供了一条通往数学前沿研究的、铺设精良的“高速公路”，它需要的不是一个随便翻阅的读者，而是一个准备好投入大量精力去攀登高峰的探险者。

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