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☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:Ilka Agricola

出品人:

页数:243

译者:Philip G. Spain

出版时间:2008-2-29

价格:USD 39.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821843475

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

数学
微分几何7
几何学
初等几何
数学
教育
学习
基础数学
平面几何
图形
定理
证明

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具体描述

Elementary geometry provides the foundation of modern geometry. For the most part, the standard introductions end at the formal Euclidean geometry of high school. Agricola and Friedrich revisit geometry, but from the higher viewpoint of university mathematics. Plane geometry is developed from its basic objects and their properties and then moves to conics and basic solids, including the Platonic solids and a proof of Euler's polytope formula. Particular care is taken to explain symmetry groups, including the description of ornaments and the classification of isometries by their number of fixed points. Complex numbers are introduced to provide an alternative, very elegant approach to plane geometry. The authors then treat spherical and hyperbolic geometries, with special emphasis on their basic geometric properties.

This largely self-contained book provides a much deeper understanding of familiar topics, as well as an introduction to new topics that complete the picture of two-dimensional geometries. For undergraduate mathematics students the book will be an excellent introduction to an advanced point of view on geometry. For mathematics teachers it will be a valuable reference and a source book for topics for projects.

The book contains over 100 figures and scores of exercises. It is suitable for a one-semester course in geometry for undergraduates, particularly for mathematics majors and future secondary school teachers.

《基础几何学》是一本旨在为读者构建扎实几何基础的权威性著作。本书内容严谨，逻辑清晰，从最基本的概念出发，逐步深入到复杂的定理与证明，确保每一位学习者都能在轻松理解的基础上，逐步提升几何思维能力。本书的编排遵循循序渐进的原则。开篇部分，我们将从几何学的基石——点、线、面——开始，详细阐述它们的定义、性质以及它们之间的基本关系。这里，我们不仅会介绍欧几里得几何中的经典概念，还会适时地引入现代数学中的一些相关视角，为读者建立起宏观的认识框架。我们会深入探讨直线的平行公理，并简要介绍非欧几何的存在，以此拓宽读者的视野，理解几何学的丰富性和多样性。接着，本书将聚焦于“角”这一关键概念。从角的定义、度量方式，到各种特殊角（如直角、锐角、钝角、周角、平角）的性质，再到角的计算与应用，本书都将给予详尽的讲解。读者将学习如何识别同位角、内错角、同旁内角等，并理解它们在判定平行线时的重要作用。同时，本书也会涉及角度的加减运算、角的平分线等内容，为后续学习打下坚实基础。 “三角形”作为几何学中最基础也是最重要的图形之一，在本书中占据了相当重要的篇幅。我们将从三角形的构成要素（三条边、三个角）出发，详细介绍各种三角形的分类：按边分类（等边三角形、等腰三角形、不等边三角形）和按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。在此基础上，我们将深入探讨三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和性质定理（内角和定理、外角定理）。本书将着重讲解勾股定理及其逆定理，并展示其在解决边长关系和判定直角三角形方面的强大应用。此外，我们还会介绍三角形的特殊线——高、中线、角平分线、垂直平分线，并探讨它们的交点（垂心、重心、内心、外心）的性质。读者将通过丰富的例题和习题，掌握三角形的各种计算与证明技巧。 “四边形”是本书的下一个重要章节。我们将在介绍四边形基本概念后，逐一深入探讨各种特殊的四边形。平行四边形作为四边形的基础，其性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补）和判定方法将被详细讲解。在此基础上，本书将重点分析矩形、菱形、正方形这三种特殊平行四边形，阐述它们各自独特的性质和判定条件，并结合实际问题展示它们的应用。此外，我们还将介绍梯形及其特例（等腰梯形），并分析它们的基本性质。本书将引导读者理解不同四边形之间的包含关系和转化，培养其分析复杂图形的能力。 “圆”作为一种优美且应用广泛的几何图形，本书也进行了深入的探讨。我们将从圆的定义、要素（圆心、半径、直径、弦、弧、扇形、弓形）开始，详细阐述圆的基本性质，如垂径定理、圆心角与圆周角的关系、弦与弧的关系等。本书将特别强调圆周角定理，并介绍其推论，例如半圆上的圆周角是直角。读者将学习如何计算圆的周长和面积，以及扇形和弓形的面积。此外，本书还将涉及切线性质，如切线与半径垂直，以及切线长定理。圆的几何性质在许多实际问题中都有广泛应用，例如在工程设计、建筑和导航等领域。 “多边形”的学习将进一步拓宽读者的几何知识面。本书将介绍正多边形的定义和性质，例如内角和公式、外角和公式，并探讨正多边形的对称性。我们将引导读者理解多边形可以被分割成三角形，从而利用三角形的性质来推导多边形的性质。为了帮助读者更好地掌握几何知识，本书在每个章节都精心设计了大量的例题和习题。例题的选择具有代表性，涵盖了各种类型的几何问题，并提供了详细的解题思路和步骤。习题的设计则由易到难，循序渐进，既有基础概念的巩固，也有综合运用能力的训练。本书的题目类型多样，包括选择题、填空题、解答题，以及一些开放性的探索性问题，旨在激发读者的学习兴趣和创新思维。本书还特别注重几何证明的训练。我们将从基础的证明方法入手，例如直接证明、反证法，并逐步引导读者学习如何进行逻辑推理，如何运用已知的定理和公理来构建严谨的证明过程。本书将提供一些经典几何定理的证明过程，供读者参考和模仿，并鼓励读者尝试独立完成几何证明。在语言风格上，本书力求简洁明了，通俗易懂。我们避免使用过于晦涩的专业术语，即便有，也会给出清晰的解释。图文并茂的设计，将大量的几何图形以清晰、准确的方式呈现给读者，有助于直观理解抽象的几何概念。同时，本书也穿插了一些关于几何学历史和应用的趣闻轶事，旨在让读者在学习几何知识的同时，也能感受到几何学的魅力和价值。《基础几何学》不仅是一本教材，更是一本帮助读者培养逻辑思维、空间想象能力和解决问题能力的宝贵资源。无论您是初次接触几何学的学生，还是希望巩固和提升几何知识的爱好者，本书都将是您理想的学习伴侣。我们相信，通过本书的学习，您将能够深刻理解几何学的精妙之处，并将其应用于未来的学习和实践之中。

作者简介

Ilka Agricola: Humboldt-Universität zu Berlin, Berlin, Germany,

Thomas Friedrich: Humboldt-Universität zu Berlin, Berlin, Germany

Translated by Philip G. Spain

目录信息

Cover 1
Title 2
Copyright 3
Contents 4
Preface to the English Edition 6
Preface to the German Edition 8
Chapter 1. Introduction: Euclidean space 14
Exercises 19
Chapter 2. Elementary geometrical figures and their properties 22
§2.1. The line 22
§2.2. The triangle 32
§2.3. The circle 58
§2.4. The conic sections 76
§2.5. Surfaces and bodies 90
Exercises 102
Chapter 3. Symmetries of the plane and of space 112
§3.1. Affine mappings and centroids 112
§3.2. Projections and their properties 118
§3.3. Central dilations and translations 121
§3.4. Plane isometries and similarity transforms 127
§3.5. Complex description of plane transformations 140
§3.6. Elementary transformations of the space E[sup(3)] 144
§3.7. Discrete subgroups of the plane transformation group 152
§3.8. Finite subgroups of the spatial transformation group 164
Exercises 169
Chapter 4. Hyperbolic geometry 180
§4.1. The axiomatic development of elementary geometry 180
§4.2. The Poincaré model 187
§4.3. The disc model 196
§4.4. Selected properties of the hyperbolic plane 198
§4.5. Three types of hyperbolic isometries 202
§4.6. Fuchsian groups 207
Exercises 217
Chapter 5. Spherical geometry 222
§5.1. The space S[sup(2)] 222
§5.2. Great circles in S[sup(2)] 224
§5.3. The isometry group of [sup(2)] 228
§5.4. The Möbius group of S[sup(2)] 229
§5.5. Selected topics in spherical geometry 231
Exercises 239
Bibliography 242
List of Symbols 248
Index 250
A 250
B 250
C 250
D 251
E 251
F 252
G 252
H 252
I 253
J 253
K 253
L 253
M 253
N 253
O 253
P 254
Q 254
R 254
S 255
T 255
V 256
W 256
Back Cover 257
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

最近我体验了《常微分方程解析方法》。这本书给我的感觉是“复古而经典”。它没有过多地依赖现代数值计算的工具，而是将重点完全放在了如何运用各种精妙的解析技巧去求解那些具有良好解析性质的微分方程。书中对各种积分因子法、变量代换法以及拉普拉斯变换的详细阐述，简直就是一本“解题秘籍”。作者的讲解风格就像一位经验丰富的老教授在炉边授课，娓娓道来，充满了对数学之美的赞叹。例如，在处理二阶线性常微分方程的齐次解和特解时，作者不仅给出了求解步骤，还深入探讨了每一步背后的物理或几何意义，让我明白了为什么某些替换会“神奇地”奏效。美中不足的是，在处理非线性方程组时，本书的介绍略显不足，似乎更偏爱那些可以通过“漂亮”技巧解决的问题。但即便如此，对于希望打下扎实解析基础，将来从事理论物理或工程建模的读者来说，这本书提供的工具箱是无可替代的，它教会你如何“驯服”那些看起来无序的动态系统。

评分☆☆☆☆☆

我最近翻阅的这本《概率论与数理统计：基础与应用》简直是为初学者量身定制的教科书。它的语言风格极其平实、亲切，几乎没有使用任何故作高深的术语来吓唬读者。书中大量的实例取材于日常生活和经济现象，比如彩票中奖的概率分析、股票价格的随机波动建模等等，这让原本枯燥的公式推导变得鲜活有趣起来。作者在介绍大数定律和中心极限定理时，没有急于给出严谨的数学证明，而是先通过大量的模拟实验和图形展示来建立读者的直观理解，这极大地降低了入门的心理门槛。我发现自己不再是被动地接受知识，而是主动地去探究“为什么会这样”。不过，对于那些追求数学严谨性的高阶读者来说，这本书可能略显“温柔”了。它更侧重于应用和理解，对于证明过程的细节探讨相对简化。但我相信，对于一个刚接触概率思维的工科生或管理学专业的学生而言，这本书绝对是开启理解随机世界的最佳桥梁，它教会我的不仅仅是计算方法，更是一种审慎的、基于数据思考问题的全新视角。

评分☆☆☆☆☆

关于这本《数据结构与算法分析（C++实现）》，我的印象是“实用至上，代码先行”。这本书的结构安排非常清晰：理论阐述后紧跟着就是详尽的C++代码实现和复杂度分析。它不像一些纯理论书籍那样停留在概念层面，而是直接将抽象的数据结构（如平衡二叉树、图的遍历算法）转化为可运行、可调试的代码块。我特别喜欢作者在分析算法效率时，总是能用非常直观的方式解释为什么某个操作的时间复杂度是$O(nlog n)$而不是$O(n^2)$，这些解释往往穿插在代码注释中，非常自然。对于正在准备技术面试或希望快速掌握编程实践的读者来说，这本书简直是福音。它甚至详细讨论了不同内存分配策略对算法实际运行时间的影响，这在很多教材中是被忽略的细节。唯一让我觉得可以改进的地方是，在讲解高级算法如网络流或计算几何时，图形示例略显单薄，需要读者自行在纸上描画才能完全理解其动态过程。但总体而言，它成功地架起了理论与工程实践之间的桥梁，是一本可以放在手边随时查阅的工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本《拓扑学入门》真是一次充满挑战但又极其令人振奋的阅读旅程。作者对抽象概念的处理方式非常巧妙，他没有一开始就抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是通过一系列精心设计的、直观的例子来引导读者进入这个奇妙的几何世界。我尤其欣赏它在讲解连通性和紧凑性这两个核心概念时所采取的渐进式方法。初次接触时，我会觉得这些抽象的描述似乎与现实世界相去甚远，但随着阅读的深入，特别是当书中展示了如何用这些概念来区分和分类不同的空间形态时，我仿佛醍醐灌顶。书中对度量空间的细致剖析，为后续进入更高级的微分几何打下了极其坚实的基础。不过，对于那些完全没有高等数学背景的读者来说，开篇关于集合论和函数空间的讨论可能会显得有些吃力，需要反复咀嚼。总的来说，它不是一本可以快速翻阅的书籍，更像是一份需要耐心陪伴的学术伙伴，每读完一个章节，都会有一种“原来如此”的豁然开朗感。它成功地将深奥的数学原理与清晰的几何直觉紧密地结合了起来。

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是这本《高级线性代数：结构与变换》。这本书的难度系数非常高，完全不像市面上那些侧重于计算技巧的教材。它将线性代数的视角从传统的向量空间和矩阵运算，一举提升到了更抽象的范畴理论和模论的高度。作者的论述逻辑链条极其紧密，几乎没有冗余的叙述，每一个定义、每一个定理的引入都像是精心布局的棋局中的关键一步。我花费了大量时间在理解特征值、特征向量的几何意义如何在高维空间中转化为更具结构性的信息上，特别是关于对角化和Jordan标准型的讨论，其深度远超我以往接触过的任何教材。书中对于算子理论的引入，更是让原本感觉平面的线性代数拥有了动态的、具有“运动”的物理意义。阅读过程中，我发现自己频繁地需要查阅前面的定义和引理，这说明作者对知识的组织达到了“极简主义”的境界，任何遗漏都会导致理解上的中断。这本书绝对是为数学专业研究生或有志于深入研究代数结构的人士准备的，它挑战的不仅仅是你的智力，更是你的数学思维的深度和广度。

评分☆☆☆☆☆