The Geometry of Four-Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:S. K. Donaldson

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:1990-10-25

价格:USD 90.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198535539

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何7
• 【教材】
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《四维流形的几何学》：探索抽象空间的深邃奥秘 引言 数学的宏伟殿堂中，四维流形无疑是最具挑战性、也最令人着迷的领域之一。它们是理解我们宇宙几何结构以及更抽象空间形态的关键。本书《四维流形的几何学》深入探讨了这一迷人领域，揭示了四维空间中那些与我们熟悉的低维世界截然不同的奇特属性。它不仅为研究者提供了严谨的理论框架和强大的分析工具，更向数学爱好者们展现了一个充满惊喜和洞见的抽象宇宙。 本书核心内容概述 《四维流形的几何学》并非一本简单的教科书，它更像是一次精心策划的探索之旅，带领读者一步步深入四维流形的复杂世界。本书的主旨在于建立一套系统性的方法来理解和分类四维流形，重点关注它们的拓扑结构、微分几何性质以及它们之间相互关联的深刻联系。 拓扑学基础与分类问题: 本书的开篇便为读者构建了坚实的拓扑学基础。我们将从流形的基本定义出发，逐步引入四维流形特有的概念，例如定向性、边界、光滑结构等。一个核心的焦点将是“分类问题”，即我们能否将所有四维流形区分开来，找到某种“基本积木”来构建所有可能的四维流形。这一问题在低维拓扑学中已有相当成熟的答案（如二维曲面和三维流形），但在四维空间中，其复杂性呈指数级增长。本书将详述一系列强大的拓扑不变量，这些不变量如同流形的“指纹”，能够帮助我们区分不同的四维流形。我们将深入研究经典的拓扑不变量，如基本群、同调群、同伦群，并重点介绍与四维空间特有结构相关的指标，例如在微分同胚分类中起着至关重要作用的某些同调群。 微分几何视角下的四维流形: 拓扑分类固然重要，但四维流形的“形状”和“曲率”也是其本质属性。本书将引入微分几何的语言，将四维流形看作是光滑的、局部近似于欧氏空间 $R^4$ 的空间。我们将探讨黎曼度量的概念，以及度量如何赋予流形局部长度、角度和曲率的概念。这将引出对里奇曲率、斯奇曲率张量等关键几何量的分析。理解这些曲率的分布，能够帮助我们揭示四维流形的局部几何行为，例如是否存在紧致的、曲率为常数的四维流形（如四维球面），以及它们是如何嵌入到更高维度的空间中的。本书还将深入探讨“截面曲率”和“主曲率”在描述四维流形几何性质中的作用，以及它们如何影响流形的整体形状。 辛几何与复几何的交叉: 四维流形在数学的多个分支中扮演着重要角色，其中辛几何和复几何与四维流形的联系尤为紧密。本书将介绍辛流形的概念，即具有一个特殊的二形式（辛形式）的流形。在四维空间中，辛流形具有许多独特的性质，例如它们总是可定向的。我们将探讨辛流形中的一些基本概念，如辛结构、泊松括号以及辛变换。同时，我们也会涉足复几何的领域，探讨具有凯勒结构的四维流形。凯勒流形是辛流形和复流形相结合的特殊例子，在理论物理（特别是弦理论）和代数几何中有着极其重要的应用。本书将阐述凯勒结构的定义、性质以及一些典型的凯勒四维流形，例如卡拉比-丘流形。 共形几何与整体结构: 除了局部几何性质，本书还将关注四维流形的整体结构。共形几何研究的是在保持角度不变的变换下流形的性质。在四维空间中，共形变换的行为与低维空间有显著的不同。我们将探讨共形结构的定义，以及共形不变的几何量。此外，本书还将关注四维流形的“整体”性质，例如连通性、紧致性、可定向性等。我们还会探讨一些重要的拓扑构造，如联络、曲率的整体计算（例如高斯-博内定理在四维空间中的推广）以及它们与流形拓扑之间的深层联系。 模型与实例: 理论的讲解离不开具体的例子。《四维流形的几何学》将引入一系列重要的四维流形模型和实例，以加深读者的理解。我们将从最基础的欧氏空间 $R^4$ 和四维球面 $S^4$ 开始，逐步介绍更复杂的例子，例如： 四维环面 $T^4$： 最简单的紧致、可定向、零曲率的四维流形。 四维球面包 $S^4$： 具有常数正曲率的四维流形。 纤维丛： 例如，单位切束 $TS^n$ 在 $n=4$ 时的行为。 卡拉比-丘流形： 具有零辛曲率的凯勒流形，在弦理论中扮演核心角色。 K3 曲面： 一个特殊的、与四维球面同胚的复曲面，具有丰富的几何和拓扑性质。 辛4-流形： 例如，复射影平面 $mathbb{CP}^2$ 上的辛结构，以及各种纤维丛的辛结构。 通过对这些实例的详细分析，读者将能更直观地理解抽象理论的概念，并学会如何运用所学的工具来研究新的四维流形。 研究方法与前沿方向: 本书不仅介绍四维流形的现有理论，还将引导读者了解当前的研究方法和前沿方向。我们将探讨一些经典的证明技巧，例如通过手术构造流形、利用代数拓扑工具进行分类，以及运用微分几何方法计算不变量。同时，我们还将概述一些活跃的研究领域，如： 四维流形之间的度量和微分同胚分类。 辛流形与凯勒流形的结构及其应用。 低维流形理论（特别是三维流形）与四维流形理论的联系。 与物理学（如弦理论、广义相对论）交叉的四维流形研究。 嵌入和淹没问题： 将低维流形嵌入到四维空间中，或将四维流形嵌入到更高维空间中的问题。 本书的价值与受众 《四维流形的几何学》是一部内容丰富、论证严谨的著作，适合以下读者群体： 高等数学专业的研究生和研究人员： 本书为几何拓扑、微分几何、辛几何、代数几何等领域的研究者提供了一个系统而深入的参考。 对抽象数学充满兴趣的爱好者： 对于已经具备一定数学基础（如本科高年级或基础研究生水平）的数学爱好者，《四维流形的几何学》将是一次极具挑战性和启发性的阅读体验。它将带领读者领略数学的深邃魅力，认识到抽象空间的美妙与复杂。 理论物理学家： 许多理论物理学的分支，特别是弦理论、量子场论和广义相对论，都依赖于四维流形的几何结构。本书将为这些领域的物理学家提供必要的数学工具和背景知识。 结语 四维流形的几何学是一个充满未解之谜的广阔领域。本书《四维流形的几何学》旨在为读者打开一扇通往这个神秘世界的窗户，提供必要的知识和工具，去探索那些超越我们直观理解的抽象几何形态。通过本书的学习，读者将能更深刻地理解数学的本质，并可能从中获得启发，投身于这一迷人领域的进一步探索。

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这本书带给我的最大启发，并不在于学会了某个具体的计算技巧，而是在于它对我理解“结构”这个概念的重塑。它不仅仅是关于“四维”的几何性质，更是关于如何用数学语言去精确捕捉和描述那些我们肉眼无法感知的空间特性。它挑战了我对于“空间”的直觉认知，迫使我去思考，当维度增加到四时，哪些我们习以为常的性质会崩溃，哪些新的、奇特的可能性又会涌现出来。每一次翻阅，都像是在进行一次心智上的“降维打击”——将复杂的现实问题简化为纯粹的、可操作的数学结构。读完之后，我发现自己看待现实世界中复杂系统的眼光都发生了一些微妙的变化，开始不自觉地去寻找其背后的内在“流形”和“联络”，这种思维方式的拓展，其价值远超书本本身的价格。

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从装帧和印刷质量来看，出版社显然也明白这本书的受众群体对实体书的偏好。纸张的质感非常厚实，不易反光，即便是长时间在台灯下伏案疾书，眼睛的疲劳感也相对减轻。更值得称赞的是，公式的排版简直是艺术品。那些复杂的积分符号、上下标以及希腊字母的组合，都被安排得井井有条，清晰可辨，这在处理涉及大量微分算子的文本时，是多么重要的一项指标啊。我之前遇到过一些排版拙劣的教材，光是辨认一个公式的结构就要花费大量时间，大大削弱了阅读的流畅性。这本书则完全没有这个问题，它将阅读的“摩擦力”降到了最低，让读者的注意力可以完全集中在数学的内在美感之上，而不是被外部形式所干扰。

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我花了很长时间才真正消化完前三章的内容，过程中最大的感受是，这本书的“野心”之大。它似乎试图在一个统一的框架下，将拓扑学、微分几何和代数拓扑中的多个核心议题串联起来。这种跨越不同分支的整合能力，是很多专注于单一领域的书籍所不具备的。它不是简单地堆砌已知的结果，而是力图揭示隐藏在这些表象之下的深层联系。阅读体验就像是站在一个巨大的展览馆中央，四周陈列着无数精美的艺术品（定理和猜想），而作者则扮演着导览员的角色，耐心地指出它们之间错综复杂的历史渊源和美学共性。当然，这种广度也意味着它在某些极其细分的领域，其深度可能不如那些“小而美”的专著，但对于想要建立一个全面、系统化认知结构的读者来说，这种鸟瞰全局的视角是至关重要的。

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这本书的封面设计实在太引人注目了，那种深邃的蓝色调配上抽象的几何图形，立刻就让人联想到高维空间的复杂与美妙。我当初买下它，很大程度上是被这种视觉冲击力所吸引，希望它能带我领略一番数学世界的奇妙。然而，当我真正翻开书页，投入到那些密密麻麻的符号和定理之中时，我才意识到，这绝不是一本能轻松阅读的“休闲读物”。它更像是一份精心绘制的航海图，指引着那些已经熟知基本罗盘和星象学的探险家们，去征服未知的海洋。对于一个初涉拓扑学门槛的人来说，这本书就像是直接把我扔进了一场关于黎曼曲率和纤维丛的暴风雨里，每一个概念的引入都建立在极其扎实的前置知识之上。我不得不经常停下来，翻阅其他更基础的参考资料，才能勉强跟上作者的思路。这种阅读体验是挑战性的，但也充满了发现的乐趣——每攻克一个难点，那种豁然开朗的感觉，简直无与伦比，仿佛自己真的触摸到了更高维度的结构本质。

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这本书的行文风格，怎么说呢，用“严谨到近乎冷酷”来形容或许有些贴切。作者似乎对读者的基础储备抱有极高的期望，几乎没有进行任何冗余的解释或类比。每一个证明步骤都如同精密的机械构造，环环相扣，逻辑链条坚不可摧。我尤其欣赏它在处理那些极度抽象的概念时所展现出的清晰度——即便细节繁复，但整体框架始终保持着令人惊叹的简洁。这迫使我必须全神贯注，不能有丝毫的走神，否则一个眼神的涣散，可能就会错过连接前后内容的那个关键的“桥梁”。这种不容妥协的学术态度，让这本书在专业领域内无疑具有极高的参考价值，它不是在“教”你，而是在“展示”给你，一个由数学家所构建的、自洽且宏伟的逻辑世界。对于那些需要精确引用或深入研究特定定理的学者而言，这无疑是一份宝贵的、未经稀释的原始资料。

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