Knots and Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:David W. Farmer

出品人:

页数:101

译者:

出版时间:1995-11

价格:USD 22.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821804513

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 拓扑学
• 数学
• 几何学
• 结理论
• 曲面
• 低维拓扑
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• 学习资料

拓扑学的魅力：从流形到几何结构 本书深入探讨了现代数学中一个迷人且基础的领域：拓扑学。它将读者从基础概念引导至高等理论，重点关注流形、纤维丛以及它们在几何学和代数中的深刻联系。本书旨在为本科高年级学生和初级研究生提供一个全面而严谨的导论，同时也会吸引那些希望拓宽数学视野的研究人员。 第一部分：基础与直觉的构建 本书的开篇聚焦于拓扑学的基本工具和直觉的培养。我们从集合论的视角出发，引入拓扑空间的概念，强调开集、闭集、邻域以及收敛性的重要性。我们详细考察了具体的拓扑结构，例如度量空间（Metric Spaces）及其诱导拓扑，通过距离的概念为抽象的拓扑结构提供了一个直观的立足点。 随后，我们将探讨连接性的核心概念：连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。连通性的讨论不仅仅停留在路径连通上，我们深入分析了分离公理（如 $T_1, T_2$ 空间，即豪斯多夫空间），它们是后续研究光滑结构的关键前提。紧致性则通过 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）和更一般的定义，展示了它在函数空间和连续映射中的强大作用。 第二部分：连续形变与同伦理论 拓扑学的一个核心目标是区分在连续形变下保持不变的性质。本部分致力于构建代数拓扑的基石——同伦理论。我们首先定义连续映射和同胚（Homeomorphism），明确什么是“拓扑等价”。 随后，我们引入同伦（Homotopy）的概念，将两个连续映射视为可以连续形变的。这是理解空间“洞”的关键。我们构造了基本群（Fundamental Group, $pi_1(X)$），作为一个空间中环路保持原位或能收缩为一点的代数不变量。书中详细推导了圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群，并运用Van Kampen定理计算了一些复合空间的 $pi_1$，例如楔形和环面。 为了处理更高维度的“洞”，本书引入了高阶同伦群 $pi_n(X)$。我们讨论了纤维丛上的截面问题，并引出了重要的同伦的Hurewicz定理，它将代数不变量与拓扑结构联系起来。 第三部分：流形与微分结构 本书的重心之一是流形（Manifolds）的研究。流形是局部具有欧几里得空间结构的拓扑空间，它们是研究几何对象的语言。我们从一维流形（曲线）和二维流形（曲面）开始，逐步过渡到 $n$ 维流形。 讨论重点包括： 1. 拓扑流形的定义与例子： 辨析球面、环面、射影空间等经典例子。 2. 嵌入定理： 探讨一个流形如何在更高维空间中被嵌入而不自交（如Whitney嵌入定理的讨论）。 3. 向量丛与纤维丛： 定义切丛（Tangent Bundle）作为流形结构的核心，并介绍法丛和一般的纤维丛结构。这些概念为理解流形上的微积分奠定了基础。 在流形的基础上，我们进一步引入了可定向性（Orientability）的概念，并讨论了Möbius带和Klein瓶的独特性质。 第四部分：同调论与欧拉示性数 为了更系统地识别空间中的“洞”，本书介绍了同调论（Homology Theory）。同调论提供了一种比基本群更强大的代数不变量，它对空间变形具有更好的“同伦不变性”。 我们从单纯复形（Simplicial Complexes）开始，构建链复形（Chain Complexes）和链群。通过边界算子（Boundary Operator）的定义，我们引入了同调群 $H_n(X)$，它们衡量了“$n$ 维的空腔”的存在性。书中详细展示了如何计算 $mathbb{R}^n$、球面 $mathbb{S}^n$ 以及环面的同调群。 作为同调论在低维空间中的应用，本书花了专门章节讨论二维流形的分类。我们证明了紧致连通流形是通过其欧拉示性数（Euler Characteristic $chi$）和可定向性来完全分类的。这部分内容优雅地统一了拓扑学中的多个关键概念。 第五部分：微分流形与黎曼几何的桥梁（选读） 最后，本书触及了拓扑学向微分几何过渡的领域。我们定义了微分结构（Differentiable Structure），引入图集（Atlas）和光滑转换，使得在流形上可以进行微积分运算。 我们讨论了光滑向量场，并介绍了李导数和微分形式（Differential Forms）的基础概念。这些工具为后续学习经典的德拉姆上同调（De Rham Cohomology）以及更深入的黎曼几何提供了必要的代数和分析预备知识。 通过本书的学习，读者将掌握分析空间结构的基本语言，理解如何运用代数工具（群、向量空间）来量化拓扑性质，并为探索微分几何、代数几何以及理论物理中的应用打下坚实的基础。本书的侧重点在于理论的严谨性与几何直觉的培养的平衡。

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从结构上看，这本书给了我一种非常新颖的阅读体验。它不像我之前读过的许多书籍那样，有着清晰的章节划分和逻辑性的推进。相反，这本书的结构显得更加自由和有机，仿佛是作者内心世界的自然流淌。这种结构上的“不羁”，并没有让我感到混乱，反而让我觉得它更贴近现实的复杂性和多面性。我能感觉到作者在编排这些内容时，有着自己独特的考量，每一个部分的出现，看似随意，实则都巧妙地呼应着其他部分。阅读的过程就像是在解开一个复杂的谜题，你需要将分散的线索一一串联起来，才能逐渐窥见全貌。这种阅读方式对我来说是一种挑战，但也是一种乐趣。我发现自己会不由自主地去寻找隐藏在字里行间的联系，去猜测作者的意图。这本书并没有试图去迎合读者的阅读习惯，而是以一种更加自主的方式，邀请读者进入作者构建的独特叙事空间。对我而言，这是一种非常值得尝试的阅读经历，它拓展了我对书籍结构和叙事可能性的理解。

评分☆☆☆☆☆

我被这本书所传递出的某种“力量”所吸引。尽管无法具体描述，但我能感受到作者在文字中注入了某种深刻的情感和见解。它并非那种直接灌输式的说教，而是通过一种更加含蓄、更加引人入胜的方式，将这些思想传递给读者。我发现自己会在读到某些段落时，心头一震，仿佛被某种 unseen 的力量所触动。这种力量可能来自于书中对某种普遍人性的深刻洞察，也可能来自于作者对某个议题的独特视角。我喜欢这种能够引发我内心共鸣的书籍，它们让我觉得自己并非孤单一人在思考和感受。这本书没有给我一个明确的“道理”，但它却在我心中播下了思考的种子，让我对很多事情有了新的认识。我能感觉到作者在写作过程中，一定经历了深刻的思考和体验，这些都凝聚在文字之中，并以一种非常自然的方式流露出来。这本书给我带来的，是一种潜移默化的影响，它悄悄地改变了我看待世界的一些方式。

评分☆☆☆☆☆

我最近读完了一本让我回味无穷的书，虽然我无法透露书中的具体内容，但我可以分享一下它带给我的整体感受。这本书给我的第一印象是它如同一幅精心编织的挂毯，由无数细微的线索交织而成。我能感觉到作者在构建这个世界时，投入了巨大的心血，每一个细节似乎都经过了反复的推敲和打磨。它并非那种一眼就能看透的直白故事，而是需要读者主动去探索、去感受其中的层次感。阅读的过程就像是在迷宫中行走，时而豁然开朗，时而又陷入沉思，但正是这种不确定性和探索性，让我的阅读体验充满了惊喜。书中的叙事手法也非常独特，它不像传统的线性叙事那样平铺直叙，而是采用了更加跳跃、更加碎片化的方式，这反而让我对书中的人物和事件产生了更强的好奇心，迫切地想要将这些碎片拼凑起来，理解作者想要传达的深层含义。我能感觉到作者在文字的运用上非常讲究，那些看似不经意的词句，往往蕴含着意想不到的深意，需要反复咀嚼才能品味出其中的韵味。总之，这是一本需要耐心和投入的书，但一旦你沉浸其中，它所带来的阅读回报是巨大的。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最深刻的印象是它所营造出的那种独特的氛围。阅读过程中，我常常感觉自己仿佛置身于一个既熟悉又陌生的世界，那种感觉很难用语言来准确描述。作者在塑造这个世界时，似乎非常注重细节的刻画，无论是环境描写，还是人物的心理活动，都显得格外真实而细腻。我能感觉到作者在运用文字时，如同一个高明的艺术家，用色彩和光影来描绘出触动人心的画面。书中的情节发展并非总是按照我预期的方向前进，常常会有出人意料的转折，这让我始终保持着高度的警惕和期待。让我印象深刻的是，这本书并没有给我一个明确的“好”或“坏”的界定，而是让读者在阅读的过程中，自己去思考、去判断。它更像是一面镜子，映照出我内心深处的某些想法和情感。我发现自己会在阅读的间隙，停下来思考书中的一些观点，甚至会和朋友们讨论这些引发我思考的部分。这本书的魅力就在于它的开放性和启发性，它没有给出标准的答案，而是鼓励读者去寻找属于自己的答案。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格给我留下了深刻的印象。它没有使用过于华丽或晦涩的辞藻，但却有着一种奇妙的魔力，能够将平凡的事物描绘得栩栩如生。我能感觉到作者在遣词造句上非常考究，每一个词语的选用似乎都恰到好处，既有力量又不失细腻。有时候，我会停下来反复阅读某一个句子，去体会其中蕴含的韵味。书中的对话也写得非常生动，人物的语言风格各不相同，仿佛能够听到他们真实的声音。这种语言上的“精准”和“生动”，让我在阅读过程中，对书中描绘的世界和人物产生了强烈的代入感。它不像某些书籍那样，读起来感觉像是隔着一层纱，而是能够直接触及我的心灵。我能感觉到作者对文字有着非常深厚的功底，他能够用最简洁的语言，传达出最丰富的情感和思想。这本书的语言，本身就是一种艺术，它让我更加珍视文字的力量。

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这本教材对于pure math的头脑来说是很有趣的游戏 但对知识点的解释太少了 大部分都是丢下一个问题让你自己去想

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