第一章 嚮量與張量
1.1 N維實嚮量空間
一、嚮量與坐標
二、坐標變換
1.2 對偶空間
一、綫性函數與對偶空間
二、對偶空間中的坐標變換
三、力學中的對偶空間
1.3 歐氏空間與僞歐氏空間
一、歐氏空間
二、歐氏空間的自對偶性質
三、僞歐氏空間
1.4 張量
一、張量的定義
二、歐氏空間中的張量
三、張量代數
1.5 張量的反稱化和外積
一、張量的反稱化，外形式
二、嚮量的外積
三、Hodge星算子
1.6 幾類特殊張量和它們的性質
一、二階張量與特徵值
二、Levi-Civita符號
習題一
第二章歐氏空間中的麯紋坐標
2.1 麯紋坐標與活動標架
一、麯紋坐標
二、活動標架
三、活動標架的微商
2.2 絕對微商
一、協變導數
二、逆變導數
三、張量的絕對微商
四、正交麯綫坐標與非完整係
五、張量的物理分量
六、幾個常見的微分算子
七、兩點張量場
2.3 歐氏空間中的麯綫
一、麯綫的參數方程與弧長
二、Frenet公式
三、麯綫的密切性質
四、例子與應用——麯杆的彎麯
2.4 麯麵論
一、歐氏空間的子流形
二、麯麵與麯麵的彎麯性質
三、麯麵論的基本方程
四、Gauss方程與Codazzi方程
五、麯麵上的麯綫，測地麯率與測地綫
六、麯麵上的麯綫坐標網
2.5 麯麵的無限小彎麯
一、麯麵的彎麯變形與無限小彎麯
二、卵形麯麵的剛硬性
2.6 幾種特殊麯麵
一、直紋麵與可展麯麵
二、鏇轉麯麵
三、平行麯麵，麯麵的焦麯麵
四、僞球麵與Sine-Gordon方程
五、Backlund變換
2.7 歐氏空間的變換群
一、變換群
二、綫性變換群夠□(n，□)
三、綫性變換群的某些特殊子群
四、變換群與其切空間的關係
五、歐氏空間中的保角變換
習題二
第三章 流形與Riemann流形
3.1 流形
一、流形的定義
二、流形上的坐標
3.2 流形的切空間
一、切空間與切叢
二、餘切空間與餘切叢
三、流形上的張量
3.3 子流形與Riemann流形
一、流形間光滑映射的誘導映射
二、子流形 三、Riemann流形
四、Riemann流形中嚮量的平行
3.4 Riemann麯率張量
一、麯率張量的引進
二、麯率張量的性質
三、麯率張量的縮並
3.5 Riemann流形與力學係統
一、有限自由度係統的運動方程
二、變形張量的協調方程
習題三
第四章 外微分與stokes定理
4.1 外微分
一、微分形式
二、外微分
三、若乾例子
4.2 Stokes定理
一、流形上的積分
二、Stokes定理
三、Stokes定理的若乾應用
4.3 Poincare逆定理
一、閉形與恰當形
二、Poincare逆定理
三、Poincare逆定理在全局成立的充分條件
四、流形上的對偶關係
4.4 Lie導數
一、流形上的嚮量場
二、Lie導數
三、Lie導數的性質
4.5 Frobenius定理
一、預備討論
二、Frobenius定理
三、外微分方程與Frobenius定理的第二種形式
四、Frobenius定理的應用
習題四
第五章 Lie群與Lie代數
5.1 基本概念
一、Lie群
二、Lie群核
三、Lie代數
四、變換誘導的切嚮量變換
5.2 Lie群與Lie代數
一、Lie群的Lie代數
二、單參數Lie群
三、Taylor展式
5.3 Lie群的同態和同構
一、代數係統的同態、同構和自同構
二、Lie代數的矩陣錶示
5.4 不變量
一、不變量的定義
二、微分不變量
三、Killing嚮量場
四、積分不變量
5.5 Lie-Backlund變換
一、Lie-Backlund變換
二、Lie-Backlund變換對微分方程的應用
三、Backlund變換
5.6 與變換群有關的某些力學問題
一、不變量嵌入法
二、量綱分析與相似性理論
三、算子與分離變量
習題五
第六章 動力係統的幾何理論
6.1 Symplectic幾何與多自由度的Hamilton動力係統
一、相空間及其度量
二、Poisson括弧
三、Symplectic幾何與Hamilton動力係統
四、Hamilton-Jacobi方程
6.2 Birkhoff係統
一、Birkhoff方程
二、Birkhoff方程的性質
6.3 動力係統
一、動力係統
二、微分動力係統所確定的流
三、隨參數變化的動力係統
6.4 動力係統的等價和等價類
一、動力係統的等價
二、綫性動力係統在奇點鄰近的等價
三、非綫性動力係統在奇點鄰近的等價
四、非自治係統的等價
五、動力係統的穩定性
6.5 什麼是分岔
一、分岔的定義
二、中心流形
三、自治係統含參數解的分岔
6.6 關於綫性非自治係統的等價類問題
一、引言
二、預備討論
三、綫性非自治係統的等價類
名詞索引
參考文獻
· · · · · · (收起)