具体描述
《微分几何及其在力学中的应用》是作者根据多年来为北京大学力学系研究生和高年级本科生讲授同名课程的讲稿编写而成的，书中系统介绍了微分几何的基础知识。全书共分为六章：第一章介绍了向量和张量的基本性质；第二章给出了欧氏空间中曲线与曲面的几何；第三章引入了流形的概念及若干性质，如向量的Lie导数的性质；第四章介绍了流形上的微分形式和外微分运算，并给出了几个重要定理的证明；第五章介绍了Lie群与Lie代数的性质，特别是在不变量理论中的应用；第六章介绍了动力系统与Symplectic几何的理论及其在力学中的应用。每章末配有适量的习题，便于读者选用。
《微分几何及其在力学中的应用》叙述简明易懂、逻辑严谨、条理清晰，注重分析及应用，着重在所介绍内容和力学理论的联系上举一些例子，如应变和Lie导数的关系、协调方程、Hamilton力学的几何理论等等。
《微分几何及其在力学中的应用》可作为高等院校力学专业研究生或高年级本科生学习微分几何知识的教材，也可供从事与力学相关专业的教学和研究的教师和科研工作者参考。
作者简介
目录信息
1.1 N维实向量空间
一、向量与坐标
二、坐标变换
1.2 对偶空间
一、线性函数与对偶空间
二、对偶空间中的坐标变换
三、力学中的对偶空间
1.3 欧氏空间与伪欧氏空间
一、欧氏空间
二、欧氏空间的自对偶性质
三、伪欧氏空间
1.4 张量
一、张量的定义
二、欧氏空间中的张量
三、张量代数
1.5 张量的反称化和外积
一、张量的反称化，外形式
二、向量的外积
三、Hodge星算子
1.6 几类特殊张量和它们的性质
一、二阶张量与特征值
二、Levi-Civita符号
习题一
第二章欧氏空间中的曲纹坐标
2.1 曲纹坐标与活动标架
一、曲纹坐标
二、活动标架
三、活动标架的微商
2.2 绝对微商
一、协变导数
二、逆变导数
三、张量的绝对微商
四、正交曲线坐标与非完整系
五、张量的物理分量
六、几个常见的微分算子
七、两点张量场
2.3 欧氏空间中的曲线
一、曲线的参数方程与弧长
二、Frenet公式
三、曲线的密切性质
四、例子与应用——曲杆的弯曲
2.4 曲面论
一、欧氏空间的子流形
二、曲面与曲面的弯曲性质
三、曲面论的基本方程
四、Gauss方程与Codazzi方程
五、曲面上的曲线，测地曲率与测地线
六、曲面上的曲线坐标网
2.5 曲面的无限小弯曲
一、曲面的弯曲变形与无限小弯曲
二、卵形曲面的刚硬性
2.6 几种特殊曲面
一、直纹面与可展曲面
二、旋转曲面
三、平行曲面，曲面的焦曲面
四、伪球面与Sine-Gordon方程
五、Backlund变换
2.7 欧氏空间的变换群
一、变换群
二、线性变换群够□(n，□)
三、线性变换群的某些特殊子群
四、变换群与其切空间的关系
五、欧氏空间中的保角变换
习题二
第三章 流形与Riemann流形
3.1 流形
一、流形的定义
二、流形上的坐标
3.2 流形的切空间
一、切空间与切丛
二、余切空间与余切丛
三、流形上的张量
3.3 子流形与Riemann流形
一、流形间光滑映射的诱导映射
二、子流形 三、Riemann流形
四、Riemann流形中向量的平行
3.4 Riemann曲率张量
一、曲率张量的引进
二、曲率张量的性质
三、曲率张量的缩并
3.5 Riemann流形与力学系统
一、有限自由度系统的运动方程
二、变形张量的协调方程
习题三
第四章 外微分与stokes定理
4.1 外微分
一、微分形式
二、外微分
三、若干例子
4.2 Stokes定理
一、流形上的积分
二、Stokes定理
三、Stokes定理的若干应用
4.3 Poincare逆定理
一、闭形与恰当形
二、Poincare逆定理
三、Poincare逆定理在全局成立的充分条件
四、流形上的对偶关系
4.4 Lie导数
一、流形上的向量场
二、Lie导数
三、Lie导数的性质
4.5 Frobenius定理
一、预备讨论
二、Frobenius定理
三、外微分方程与Frobenius定理的第二种形式
四、Frobenius定理的应用
习题四
第五章 Lie群与Lie代数
5.1 基本概念
一、Lie群
二、Lie群核
三、Lie代数
四、变换诱导的切向量变换
5.2 Lie群与Lie代数
一、Lie群的Lie代数
二、单参数Lie群
三、Taylor展式
5.3 Lie群的同态和同构
一、代数系统的同态、同构和自同构
二、Lie代数的矩阵表示
5.4 不变量
一、不变量的定义
二、微分不变量
三、Killing向量场
四、积分不变量
5.5 Lie-Backlund变换
一、Lie-Backlund变换
二、Lie-Backlund变换对微分方程的应用
三、Backlund变换
5.6 与变换群有关的某些力学问题
一、不变量嵌入法
二、量纲分析与相似性理论
三、算子与分离变量
习题五
第六章 动力系统的几何理论
6.1 Symplectic几何与多自由度的Hamilton动力系统
一、相空间及其度量
二、Poisson括弧
三、Symplectic几何与Hamilton动力系统
四、Hamilton-Jacobi方程
6.2 Birkhoff系统
一、Birkhoff方程
二、Birkhoff方程的性质
6.3 动力系统
一、动力系统
二、微分动力系统所确定的流
三、随参数变化的动力系统
6.4 动力系统的等价和等价类
一、动力系统的等价
二、线性动力系统在奇点邻近的等价
三、非线性动力系统在奇点邻近的等价
四、非自治系统的等价
五、动力系统的稳定性
6.5 什么是分岔
一、分岔的定义
二、中心流形
三、自治系统含参数解的分岔
6.6 关于线性非自治系统的等价类问题
一、引言
二、预备讨论
三、线性非自治系统的等价类
名词索引
参考文献
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
这本书的理论深度令人印象深刻，尤其是对张量分析和黎曼几何的讲解，简直是教科书级别的典范。作者似乎非常注重基础的严谨性，从最基本的流形概念出发，逐步构建起微分几何的宏伟框架。对于那些希望深入理解广义相对论或现代分析力学的人来说，这本书无疑是一个绝佳的起点。它没有过多地纠缠于过于表面的计算技巧，而是将重点放在了概念的澄清和数学工具的构造上。阅读过程中，我时常需要停下来反复揣摩那些几何直觉是如何与代数表达完美契合的，这对于培养深厚的数学物理直觉至关重要。例如，关于联络和曲率的章节，作者的处理方式极为精妙，将抽象的数学定义与具体的物理意义紧密地联系起来，让人茅塞顿开。这种对核心思想的把握，使得这本书即便是面对最复杂的现代物理问题，也能提供坚实的理论支撑。我特别欣赏它对微分形式和外代数在物理学中应用的详尽阐述，这无疑是掌握高级理论物理的关键钥匙。
这本书的作者显然是一位在理论物理和纯数学之间架设桥梁的巨匠，他的视野非常开阔。与其他专注于单一领域（比如只讲拓扑学或只讲经典力学）的书籍不同，这本书成功地将一个统一的数学框架植入到了经典物理学的核心骨架之中。我最欣赏的是它处理守恒定律的方式，用微分形式的语言重新表述了诺特定理的精髓，这提供了一种全新的、更具内在美感的视角来看待我们熟悉的物理定律。这种视角上的提升，是任何仅停留在牛顿或欧拉-拉格朗日方程层面的教材无法给予的。它让人开始以一种“几何语言”去思考物理，而不是简单地应用代数公式。这本书需要的不仅仅是智力上的努力，更是一种思维模式的转变，它要求读者放弃旧有的、基于坐标系的依赖，转而拥抱内在的不变量和整体的结构。读完此书，你会发现自己看待整个物理世界的方式都隐约发生了一些根本性的变化。
从一个实际应用者的角度来看，这本书在“力学中的应用”这一块，虽然有提及，但分量相对较轻，更像是对几何工具的一种预演和铺垫，而不是直接的案例分析集锦。作者花了大量的篇幅来确保读者对微分几何的语言感到舒适，这无疑是好事，但对于那些急切想看到如何用这些工具解决拉格朗日量、哈密顿量或者经典场论中遇到的具体难题的读者来说，可能需要更多的“桥梁”。我希望看到更多关于刚体动力学如何在流形上描述，或者如何用辛几何语言来重构泊松括号的详细推导。这本书更像是提供了一套极为精良的“工具箱”，而打开这个工具箱，你需要自己去寻找并组装适用的工具来解决你的具体问题。它教会了你如何制造最锋利的锯子，但没告诉你去砍哪棵树。因此，这本书更适合作为高级研究生教材或参考书，而不是一本初学者友好的入门读物。
这本书的排版和图示设计简直是一场灾难，这严重影响了阅读体验。在如此复杂的概念面前，清晰、准确的图形辅助至关重要，但本书中很多关键的几何构造图模糊不清，甚至有些地方的符号使用也显得混乱，让人一度怀疑自己是否理解错了定义。我尤其在试图理解曲率张量在三维空间中的可视化表示时，因为缺乏高质量的插图而走了不少弯路。这实在令人沮丧，因为其理论内容本身是如此的精妙和深刻，却被这种粗糙的物理呈现方式所拖累。对于微分几何这种高度依赖空间想象力的学科，印刷质量和图示的清晰度直接决定了学习的效率。我强烈建议后续再版时，务必投入资源对视觉材料进行彻底的革新，否则很多读者可能会在这些不必要的障碍前望而却步，实在可惜了如此宝贵的知识财富。
我得说，这本书的侧重点似乎更偏向于纯数学的严密性，而不是实际应用的“工具书”性质。如果你是那种期待能快速查阅到特定力学问题如何套用某个公式来解决的读者，你可能会感到有些失望。它更像是一次漫长而细致的学术旅行，带你领略微分几何的壮丽风光，而不是提供快速到达目的地的捷径。每一次推导都力求完整无遗，每一个定理的证明都经过了细致的打磨，这在学术著作中是难能可贵的品质，但也意味着阅读速度会比较慢。我花了好几周时间才啃完关于测地线方程和变分原理的部分，主要原因在于作者在构建这些几何图像时所花费的篇幅实在太大了。不过，一旦你沉下心来，你会发现这种扎实的基础训练，远比零散的技巧积累更有价值。它培养的是一种“看透本质”的能力，让你在面对任何新的物理模型时，都能迅速捕捉到其背后的几何结构。
作者貌似蜜蜂的采撷大量名著，但是对于读者来说更多的是享受那不是时常遇见的经典评述。发人深省的公式让人在短时间里复习了微分几何的基础知识。三个月后2014.5.28 发现用微分几何来翻译力学中的语言没有想到那么简练和清晰。李群在这里写的很清晰，作用就是寻找不变量，就是单参数同胚群。外形式：线性空间----r阶逆变张量；《物理学家用微分几何》的简写本
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作者貌似蜜蜂的采撷大量名著，但是对于读者来说更多的是享受那不是时常遇见的经典评述。发人深省的公式让人在短时间里复习了微分几何的基础知识。三个月后2014.5.28 发现用微分几何来翻译力学中的语言没有想到那么简练和清晰。李群在这里写的很清晰，作用就是寻找不变量，就是单参数同胚群。外形式：线性空间----r阶逆变张量；《物理学家用微分几何》的简写本
