第1章 數值分析與科學計算引論(1)
1.1 數值分析的對象、作用與特點(1)
1.1.1 數學科學與數值分析(1)
1.1.2 計算數學與科學計算(1)
1.1.3 計算方法與計算機(2)
1.1.4 數值問題與算法(2)
1.2 數值計算的誤差(3)
1.2.1 誤差來源與分類(3)
1.2.2 誤差與有效數字(4)
1.2.3 數值運算的誤差估計(7)
1.3 誤差定性分析與避免誤差危害(8)
1.3.1 算法的數值穩定性(9)
1.3.2 病態問題與條件數(10)
1.3.3 避免誤差危害(11)
1.4 數值計算中算法設計的技術(13)
1.4.1 多項式求值的秦九韶算法(13)
1.4.2 迭代法與開方求值(14)
1.4.3 以直代麯與化整為“零”(15)
1.4.4 加權平均的鬆弛技術(16)
1.5 數學軟件(17)
評注(18)
復習與思考題(19)
習題(19)
第2章 插值法(22)
2.1 引言(22)
2.1.1 插值問題的提齣(22)
2.1.2 多項式插值(23)
2.2 拉格朗日插值(23)
2.2.1 綫性插值與拋物綫插值(23)
2.2.2 拉格朗日插值多項式(25)
2.2.3 插值餘項與誤差估計(26)
2.3 均差與牛頓插值多項式(29)
2.3.1 插值多項式的逐次生成(29)
2.3.2 均差及其性質(30)
2.3.3 牛頓插值多項式(31)
2.3.4 差分形式的牛頓插值公式(32)
2.4 埃爾米特插值(35)
2.4.1 重節點均差與泰勒插值(35)
2.4.2 兩個典型的埃爾米特插值(36)
2.5 分段低次插值(39)
2.5.1 高次插值的病態性質(39)
2.5.2 分段綫性插值(40)
2.5.3 分段三次埃爾米特插值(40)
2.6 三次樣條插值(41)
2.6.1 三次樣條函數(41)
2.6.2 樣條插值函數的建立(42)
2.6.3 誤差界與收斂性(46)
評注(46)
復習與思考題(47)
習題(48)
計算實習題(50)
第3章 函數逼近與快速傅裏葉變換(51)
3.1 函數逼近的基本概念(51)
3.1.1 函數逼近與函數空間(51)
3.1.2 範數與賦範綫性空間(52)
3.1.3 內積與內積空間(53)
3.1.4 最佳逼近(56)
3.2 正交多項式(57)
3.2.1 正交函數族與正交多項式(57)
3.2.2 勒讓德多項式(59)
3.2.3 切比雪夫多項式(61)
3.2.4 切比雪夫多項式零點插值(63)
3.2.5 其他常用的正交多項式(65)
3.3 最佳平方逼近(67)
3.3.1 最佳平方逼近及其計算(67)
3.3.2 用正交函數族作最佳平方逼近(69)
3.3.3 切比雪夫級數(72)
3.4 麯綫擬閤的最小二乘法(73)
3.4.1 最小二乘法及其計算(73)
3.4.2 用正交多項式作最小二乘擬閤(76)
3.5 有理逼近(78)
3.5.1 有理逼近與連分式(78)
3.5.2 帕德逼近(80)
3.6 三角多項式逼近與快速傅裏葉變換(83)
3.6.1 最佳平方三角逼近與三角插值(84)
3.6.2 N點DFT與FFT算法(86)
評注(92)
復習與思考題(92)
習題(94)
計算實習題(95)
第4章 數值積分與數值微分(97)
4.1 數值積分概論(97)
4.1.1 數值積分的基本思想(97)
4.1.2 代數精度的概念(98)
4.1.3 插值型的求積公式(100)
4.1.4 求積公式的餘項(101)
4.1.5 求積公式的收斂性與穩定性(102)
4.2 牛頓-柯特斯公式(103)
4.2.1 柯特斯係數與辛普森公式(103)
4.2.2 偶階求積公式的代數精度(105)
4.2.3 辛普森公式的餘項(105)
4.3 復閤求積公式(106)
4.3.1 復閤梯形公式(106)
4.3.2 復閤辛普森求積公式(107)
4.4 龍貝格求積公式(109)
4.4.1 梯形法的遞推化(109)
4.4.2 外推技巧(110)
4.4.3 龍貝格算法(112)
4.5 自適應積分方法(113)
4.6 高斯求積公式(116)
4.6.1 一般理論(116)
4.6.2 高斯-勒讓德求積公式(121)
4.6.3 高斯-切比雪夫求積公式(123)
4.6.4 無窮區間的高斯型求積公式(124)
4.7 多重積分(126)
4.8 數值微分(128)
4.8.1 中點方法與誤差分析(128)
4.8.2 插值型的求導公式(130)
4.8.3 三次樣條求導(132)
4.8.4 數值微分的外推算法(132)
評注(133)
復習與思考題(134)
習題(135)
計算實習題(137)
第5章 解綫性方程組的直接方法(138)
5.1 引言與預備知識(138)
5.1.1 引言(138)
5.1.2 嚮量和矩陣(138)
5.1.3 矩陣的特徵值與譜半徑(139)
5.1.4 特殊矩陣(141)
5.2 高斯消去法(142)
5.2.1 高斯消去法(142)
5.2.2 矩陣的三角分解(146)
5.2.3 列主元消去法(148)
5.3 矩陣三角分解法(152)
5.3.1 直接三角分解法(152)
5.3.2 平方根法(156)
5.3.3 追趕法(159)
5.4 嚮量和矩陣的範數(161)
5.4.1 嚮量範數(161)
5.4.2 矩陣範數(164)
5.5 誤差分析(167)
5.5.1 矩陣的條件數(167)
5.5.2 迭代改善法(172)
評注(174)
復習與思考題(174)
習題(175)
計算實習題(178)
第6章 解綫性方程組的迭代法(180)
6.1 迭代法的基本概念(180)
6.1.1 引言(180)
6.1.2 嚮量序列與矩陣序列的極限(182)
6.1.3 迭代法及其收斂性(183)
6.2 雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法(187)
6.2.1 雅可比迭代法(187)
6.2.2 高斯-塞德爾迭代法(188)
6.2.3 雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代收斂性(190)
6.3 超鬆弛迭代法(193)
6.3.1 逐次超鬆弛迭代法(193)
6.3.2 SOR迭代法的收斂性(195)
6.3.3 塊迭代法(197)
6.4 共軛梯度法(202)
6.4.1 與方程組等價的變分問題(202)
6.4.2 最速下降法(203)
6.4.3 共軛梯度法（CG方法）(204)
評注(208)
復習與思考題(208)
習題(209)
計算實習題(211)
第7章 非綫性方程與方程組的數值解法(212)
7.1 方程求根與二分法(212)
7.1.1 引言(212)
7.1.2 二分法(213)
7.2 不動點迭代法及其收斂性(215)
7.2.1 不動點與不動點迭代法(215)
7.2.2 不動點的存在性與迭代法的收斂性(216)
7.2.3 局部收斂性與收斂階(218)
7.3 迭代收斂的加速方法(220)
7.3.1 埃特金加速收斂方法(220)
7.3.2 斯特芬森迭代法(221)
7.4 牛頓法(222)
7.4.1 牛頓法及其收斂性(222)
7.4.2 牛頓法應用舉例(224)
7.4.3 簡化牛頓法與牛頓下山法(225)
7.4.4 重根情形(226)
7.5 弦截法與拋物綫法(228)
7.5.1 弦截法(228)
7.5.2 拋物綫法(229)
7.6 求根問題的敏感性與多項式的零點(230)
7.6.1 求根問題的敏感性與病態代數方程(230)
7.6.2 多項式的零點(232)
7.7 非綫性方程組的數值解法(233)
7.7.1 非綫性方程組(233)
7.7.2 多變量方程的不動點迭代法(234)
7.7.3 非綫性方程組的牛頓迭代法(236)
評注(236)
復習與思考題(237)
習題(238)
計算實習題(239)
第8章 矩陣特徵值計算(241)
8.1 特徵值性質和估計(241)
8.1.1 特徵值問題及其性質(241)
8.1.2 特徵值估計與擾動(242)
8.2 冪法及反冪法(245)
8.2.1 冪法(245)
8.2.2 加速方法(248)
8.2.3 反冪法(251)
8.3 正交變換與矩陣分解(254)
8.3.1 豪斯霍爾德變換(254)
8.3.2 吉文斯變換(256)
8.3.3 矩陣的QR分解與舒爾分解(258)
8.3.4 用正交相似變換約化一般矩陣為上海森柏格矩陣(261)
8.4 QR方法(264)
8.4.1 QR算法(264)
8.4.2 帶原點位移的QR方法(266)
8.4.3 用單步QR方法計算上海森伯格矩陣的特徵值(268)
8.4.4 雙步QR方法（隱式QR方法）(272)
評注(274)
復習與思考題(274)
習題(275)
計算實習題(277)
第9章 常微分方程初值問題數值解法(279)
9.1 引言(279)
9.2 簡單的數值方法(280)
9.2.1 歐拉法與後退歐拉法(280)
9.2.2 梯形方法(282)
9.2.3 改進歐拉公式(283)
9.2.4 單步法的局部截斷誤差與階(284)
9.3 龍格-庫塔方法(286)
9.3.1 顯式龍格-庫塔法的一般形式(286)
9.3.2 二階顯式R-K方法(287)
9.3.3 三階與四階顯式R-K方法(288)
9.3.4 變步長的龍格-庫塔方法(290)
9.4 單步法的收斂性與穩定性(291)
9.4.1 收斂性與相容性(291)
9.4.2 絕對穩定性與絕對穩定域(293)
9.5 綫性多步法(297)
9.5.1 綫性多步法的一般公式(297)
9.5.2 阿當姆斯顯式與隱式公式(299)
9.5.3 米爾尼方法與辛普森方法(301)
9.5.4 漢明方法(302)
9.5.5 預測-校正方法(303)
9.5.6 構造多步法公式的注記和例(305)
9.6 綫性多步法的收斂性與穩定性(306)
9.6.1 相容性及收斂性(307)
9.6.2 穩定性與絕對穩定性(308)
9.7 一階方程組與剛性方程組(310)
9.7.1 一階方程組(310)
9.7.2 化高階方程為一階方程組(312)
9.7.3 剛性方程組(313)
評注(315)
復習與思考題(315)
習題(316)
計算實習題(318)
部分習題答案(320)
參考文獻(325)
· · · · · · (收起)