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出版者:

作者:上海高校《高等数学》编写组 编

出品人:

页数:199

译者:

出版时间:2007-6

价格:11.20元

装帧:

isbn号码:9787532388912

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 微分方程
• 解析几何
• 数学教材

《高等数学 中册》 内容概览 本书是《高等数学》系列中的第二卷，在深入探究了微积分的基本概念与运算之后，本册将目光投向更广阔的数学领域，为读者构建起严谨而全面的高等数学知识体系。本卷的重点在于多变量函数的微积分，以及由此衍生的向量微积分和微分方程等关键分支。 第一部分：多变量函数的微积分 本部分为全书的基石，着重于将单变量微积分的理论推广到多维空间。 多变量函数的概念与极限： 我们将首先定义多变量函数，并探索其在多维空间中的行为。这包括理解函数的定义域、值域，以及多维空间中的点集和区域。紧接着，我们将严谨地定义多变量函数的极限，并介绍相关的计算方法和判断准则，为后续的微分运算奠定基础。 偏导数与方向导数： 理解多变量函数在不同方向上的变化率是至关重要的。本部分将引入偏导数的概念，即函数沿着坐标轴方向的变化率，并学习如何计算和解释它们。在此基础上，我们将进一步推广到方向导数，它描述了函数在任意给定方向上的变化率。 梯度、散度与旋度： 梯度是描述函数增长最快方向的向量场，它在最优化问题中有着广泛应用。散度和旋度则是描述向量场局部性质的重要工具，它们在流体力学、电磁学等领域扮演着核心角色。我们将详细讲解这些概念的定义、性质和几何意义。 全微分与高阶偏导数： 全微分是多变量函数微分的推广，它能够刻画函数在一点附近的线性近似。本部分还将探讨高阶偏导数，并介绍 Clairaut 定理等重要结论，它们对于理解函数的光滑性和开展更复杂的分析至关重要。 隐函数定理与反函数定理： 这两个定理是多变量微积分中的经典成果，它们为求解方程组和研究函数的局部可逆性提供了强大的理论工具。我们将深入剖析这两个定理的证明思路和应用场景。 多元函数的极值问题： 类似于单变量函数，多元函数也存在极值。本部分将介绍如何利用偏导数和海森矩阵来寻找多元函数的局部极值和全局极值，并探讨条件极值问题（拉格朗日乘数法）。 第二部分：重积分 重积分是多变量微积分的又一重要分支，它能够计算多维区域上的体积、质量、质心等物理量。 二重积分： 我们将从二重积分开始，学习如何计算平面区域上的积分。这包括直角坐标系下的计算方法，以及如何通过坐标变换（例如极坐标变换）来简化积分。我们还将介绍二重积分的几何意义，如计算曲顶曲面下的体积。 三重积分： 类似地，我们将推广到三维空间，学习计算空间区域上的三重积分。这包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算方法。三重积分在计算空间物体的体积、质量、质心等方面具有广泛应用。 曲线积分与曲面积分： 本部分将引入更一般的积分形式。曲线积分用于计算沿曲线的“累加量”，例如功的计算。曲面积分则用于计算通过曲面的“流量”或“总和”，例如电场线穿过曲面的总积分。我们将学习计算不同类型的曲线积分和曲面积分，并理解它们在物理学中的应用。 第三部分：向量微积分 向量微积分将微积分的理论与向量场相结合，是研究空间中连续变化量的有力工具。 向量场： 首先，我们将引入向量场的概念，它将向量与空间中的每一点关联起来，例如速度场、力场等。 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式： 这三个公式是向量微积分中的核心定理，它们将不同类型的积分联系起来，极大地简化了计算并揭示了深刻的物理意义。格林公式连接了平面区域上的二重积分和其边界上的曲线积分。高斯公式（散度定理）连接了空间区域上的三重积分和其边界曲面上的曲面积分。斯托克斯公式连接了曲面上的曲面积分和其边界曲线上的曲线积分。我们将详细阐述这些公式的内容、证明思路以及在物理和工程中的重要应用。 第四部分：微分方程初步 微分方程描述了变量之间的导数关系，在科学研究和工程实践中无处不在。 微分方程的基本概念： 我们将介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性等基本概念。 常见类型微分方程的求解方法： 本部分将重点讲解一些常见的一阶和二阶微分方程的求解方法，例如可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程等。 常系数线性微分方程： 对于系数为常数的线性微分方程，我们将学习其通解的求解方法，包括特征方程法和待定系数法等。 微分方程的应用： 最后，我们将简要介绍微分方程在描述自然现象中的应用，例如人口增长模型、衰变过程、振动系统等，以增强读者对数学模型应用的理解。 通过本册的学习，读者将能够熟练掌握多变量函数的微积分技巧，理解并运用重积分、曲线积分和曲面积分来解决实际问题，并初步接触微分方程的求解与应用。本书旨在为读者打下坚实的数学基础，为后续更深入的数学学习和科学研究做好准备。

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这本《高等数学 中册》的印刷质量实在让人有些摸不着头脑。内页的纸张摸起来有点偏薄，拿在手里总感觉像是快要散架了一样，尤其是在翻阅到一些需要反复查阅的章节时，总担心不小心就把书页给撕坏了。装订方面也显得有些草率，有些页码之间的过渡并不顺畅，感觉像是匆忙赶工出来的产品。更让人不舒服的是，油墨的印制似乎不太均匀，有些地方的字符边缘有些模糊不清，这对于需要精确理解数学符号和公式的学习者来说，无疑是一个不小的困扰。比如在看微分中值定理那一块时，那些复杂的函数表达式，稍微有一点点模糊，就可能导致理解上的偏差，需要花费额外的时间去核对和辨认。我甚至怀疑是不是拿到了一个盗版的或者品控不佳的版本。希望出版社在后续的发行中能更加注重细节，毕竟高等数学的学习本身就要求严谨，书籍的物理形态至少应该做到清晰可靠，而不是让读者在学习知识的同时，还要时刻提防书籍本身的质量问题。这种体验，说实话，大打折扣。

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章节内容的逻辑衔接处理得相当老练，体现了作者深厚的教学功底。从多元函数的偏导数到方向导数，再到梯度的引入，每一步的概念递进都安排得丝丝入扣，让你在不知不觉中就掌握了从一维到多维空间的微积分思想的扩展。尤其值得称赞的是，作者在解释“为什么需要引入多重积分”这个动机时，没有采用那种生硬的、直接给定义的做法，而是通过回顾定积分在求面积和体积上的局限性，自然而然地引出了二重积分的必要性。这种“以问题为导向”的叙述方式，极大地激发了我主动探索的欲望，而不是被动地接受知识。相比于我以前看过的几本教材，这本书在理论的阐述上显得更为流畅和人性化，仿佛有一位经验丰富的导师在你耳边耐心讲解，而不是冷冰冰的公式堆砌。这种行文的韵味，是很多理工科教材所缺乏的，也正是我愿意一直翻下去的动力所在。

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这本书的习题设计，简直像是一场智力上的“过山车”。前半部分的基础巩固练习，难度设置得恰到好处，循序渐进地引导你理解新概念，每一步推导都像是被温柔地牵着手，让人信心倍增。然而，一旦进入到综合应用题或者那一小撮“挑战自我”的压轴题时，画风突变，难度系数瞬间飙升了好几个档次。我记得有道关于定积分的几何应用题，光是读懂题目的文字描述，就耗费了我大半个小时，更别提中间那些需要巧妙转换坐标系或者使用分部积分法的复杂步骤了。感觉作者似乎是故意设计了一些“陷阱”，让那些只满足于死记硬背公式的学生寸步难行。虽然这种高强度的训练对于培养解决复杂问题的能力无疑是有益的，但对于基础稍弱的同学来说，可能会产生强烈的挫败感，甚至开始怀疑自己是否真的适合学习高等数学。希望作者能在难度梯度上再做一些微调，增加一些过渡性的桥梁题，让学习过程更加平滑一些。

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我个人对这本书的“拓展阅读”部分给予高度评价，这部分内容真正体现了“高等”二字的价值所在。很多传统教材往往止步于讲解核心定理和应用，对于这些理论是如何从更深层次的数学体系中衍生出来的，往往一带而过。而这册中册却花了相当的篇幅，穿插讲解了如“隐函数定理的严格证明思路”以及“格林公式在场论中的初步应用”。这些内容虽然不属于考试的必考范畴，但它们极大地拓宽了我的视野，让我认识到微积分不仅仅是求导和积分的计算工具，它背后蕴含着深刻的拓扑和分析思想。阅读这些拓展部分时，我感觉自己不再是一个单纯的计算者，而更像是一个数学探索者，开始思考“为什么”而不是仅仅停留在“怎么做”。这对于培养未来的科研思维至关重要，很多时候，跳出课本的限制去理解学科的边界，比掌握一堆公式更有价值。

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这本书的符号系统和表达习惯，说实话，需要适应一段时间，特别是对于习惯了国内传统教材表达方式的读者来说。作者似乎更偏爱某些欧洲大陆学派的符号约定，这导致我在对照不同文献或查阅资料时，经常需要花费时间去进行“符号翻译”。例如，对于某些向量场的表示，这本书所用的记法与我之前接触到的略有出入，初次见面时确实造成了一点小小的认知混乱。虽然这可能反映了作者追求某种国际标准的统一性，但从教学效果的角度来看，这种差异性无疑增加了学习的初期门槛。我花了大约一周的时间才完全适应这种新的符号语言体系，期间有不少次因为符号混淆而导致对例题的理解出现偏差。如果能够在书的开篇设置一个清晰的“符号约定”对照表，或者在首次出现新符号时给出更明确的脚注说明，相信能让初学者过渡得更加顺利和高效，减少不必要的认知负担。

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