高等数学 下册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:朱弘毅 编

出品人:

页数:242

译者:

出版时间:2007-10

价格:13.60元

装帧:

isbn号码:9787532390793

丛书系列:

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• 高等数学
• 数学
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《数学的乐章：初等数论与组合学的奇妙旅程》 本书将带领您走进一个充满智慧与逻辑的数学世界，聚焦于两个经典且极富魅力的数学分支——初等数论与组合学。我们摒弃了微积分、线性代数等传统高等数学的繁复推导，转而探索那些扎根于整数性质和计数原理的数学之美。 第一篇：初等数论的奥秘——整数的和谐与规律 在第一篇中，我们将从最基础的整数概念出发，逐步深入探索其丰富的内在规律。 整除性与同余： 我们将从最基本的整除关系开始，理解素数、合数、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）等核心概念。我们将学习欧几里得算法，一种优雅而高效的求GCD的方法，并探讨其在实际问题中的应用，例如分数化简和求解线性丢番图方程。随后，我们将引入同余的概念，它如同为整数世界搭建了一个周期性的舞台，使得我们可以研究模运算的性质。我们将探索同余方程组的求解，包括中国剩余定理，它能够解决一系列看似独立但又相互关联的同余问题，这在密码学和计算机科学中有重要的意义。 数论函数与算术函数的性质： 我们将认识一类特殊的函数——数论函数，它们将整数映射到整数，例如欧拉函数 $phi(n)$（小于或等于n且与n互质的正整数的个数），它在群论和密码学中扮演着核心角色。我们将深入研究其性质，并学习如何计算它。此外，我们还将探讨其他重要的算术函数，如除数函数 $sigma_k(n)$（n的k次幂的约数之和）和莫比乌斯函数 $mu(n)$，并了解它们在数论恒等式中的作用。 素数的分布与性质： 素数，作为数学中最基本的构建块，其分布的奥秘一直吸引着数学家。我们将学习素数定理的初步思想，虽然不进行严格证明，但会理解素数在大数中出现的密度规律。我们将探讨一些著名的素数猜想，如哥德巴赫猜想，虽然尚未被证明，但它们激发了无数的研究。我们还会了解一些简单的素数判定方法和分解算法，以及它们在密码学中的基础应用，例如RSA算法的安全性就依赖于大素数分解的困难性。 平方剩余与二次互反律： 我们将踏入平方剩余的领域，研究哪些整数可以表示为另一个整数的平方模一个数。我们将引入勒让德符号和雅可比符号，这些工具能够简洁地表示平方剩余的存在性。我们将重点介绍二次互反律，这是数论中最深刻、最美丽的定理之一，它揭示了不同素数模下的平方剩余之间的精妙关系，是解决二次同余方程的关键。 第二篇：组合学的魅力——计数、排列与结构的艺术 在第二篇中，我们将转向组合学的世界，它是一门研究离散结构和计数问题的学科，充满了巧思和创意。 基本计数原理： 我们将从最直观的加法原理和乘法原理开始，学习如何系统地解决各种计数问题。这些基本原理是构建更复杂计数模型的基础。 排列与组合： 我们将深入学习排列（有序选择）和组合（无序选择）的概念，理解它们之间的区别和联系。我们将熟练运用阶乘、组合数（二项式系数）等公式，并解决一系列实际问题，例如从一组物品中选取若干个有多少种不同的方式，或者安排人员的顺序有多少种可能。 二项式定理与多项式展开： 我们将学习二项式定理，它提供了一种简洁的方式来展开 $(a+b)^n$ 形式的表达式，并揭示了组合数在多项式系数中的重要性。我们将探讨二项式系数的各种恒等式，以及它们在代数和概率论中的应用。 容斥原理： 当直接计数困难时，容斥原理提供了一种强大的间接计数方法。我们将学习如何利用容斥原理来计算满足某些属性的元素的个数，例如求解错排问题（每个人都拿不到自己原本的物品）或计算不与任何给定数互质的数的个数。 生成函数： 生成函数是一种强大的计数工具，它将离散的序列与连续的函数联系起来。我们将学习如何构造和运用生成函数来解决复杂的组合问题，例如求解递推关系和计算特定事件发生的概率。 鸽笼原理： 鸽笼原理是一个看似简单却极其有用的原理，它告诉我们如果把太多的物品放入太少的盒子，那么至少有一个盒子会包含多个物品。我们将学习如何运用鸽笼原理来证明一些非平凡的数学命题，在各种数学领域都有着出人意料的应用。 图论初步： 我们将对图论进行初步的介绍，理解图是由顶点和边组成的数学结构，它被广泛用于表示关系和网络。我们将探讨一些基本的图概念，如连通性、度数以及简单的图遍历算法（如广度优先搜索和深度优先搜索），并了解它们在解决实际问题中的应用，例如路线规划和网络连接。 本书旨在培养读者严谨的数学思维、解决问题的能力以及对数学内在逻辑美的欣赏。我们强调通过大量的例子和练习来巩固所学知识，并鼓励读者独立思考，将数学工具应用于各种情境。希望这本书能成为您探索数学世界，特别是初等数论与组合学领域的一份珍贵指南。

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在章节内容的组织逻辑上，我感觉作者似乎在努力平衡“广度”与“深度”之间的矛盾，但最终效果却稍显失衡。比如，在处理某些核心理论时，它给出了非常详尽的论证，占据了大量的篇幅，这自然是好事。但与此同时，一些被认为是现代数学中非常重要的分支或新的研究方向，在书中却仅仅被提及了一两页，像是一个匆匆打上的脚注。这让我在阅读时产生了一种时间错位感——这本书似乎是基于一个相对经典但略微陈旧的课程体系来构建的。如果能对这些新兴的交叉领域给予更均衡的篇幅，哪怕只是增加一些选读的注解或者案例，我想这本书的现时价值和对学生前沿视野的培养会大大提升。现在读起来，总感觉像是在品尝一道经典的佳肴，美味无比，但菜单上少了几个令人期待的创新菜式。

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从阅读的持久性和重复翻阅的需求来看，这本书的“可读性”还有待商榷，它更偏向于一本“工具书”而非“教科书”。这里的“可读性”并非指语言的晦涩，而是指其作为学习辅助材料的便利程度。例如，关键术语的定义和核心公式的提炼，虽然散布在正文中，但并没有一个清晰、易于检索的汇总结构。如果能有一个统一的符号索引或者在章节末尾提供一个“本章核心公式速查表”，对于考前复习或者遇到具体问题需要快速定位知识点时，将会节省大量时间。目前的结构要求读者必须从头到尾地梳理内容才能找到所需信息，这在时间和效率都非常宝贵的学习阶段，无疑增加了额外的负担。它是一座藏满宝藏的图书馆，但缺乏一份清晰的地图，让你必须挨个书架去寻找你需要的孤本。

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这本书的装帧设计倒是挺吸引人的，封面用的是那种略带磨砂质感的纸张，手感温润，颜色搭配也比较沉稳，符合教材应有的那种学术气息。不过，当我真正翻开内页时，心情就有些复杂了。首先是字体和排版的选择，虽然清晰度毋庸置疑，但整体给我的感觉就是中规中矩，缺乏一点点让人眼前一亮的创新。对于一本需要长时间面对的教材来说，视觉上的舒适度真的很重要，感觉这个方面可以再下点功夫打磨。特别是那些公式的呈现，虽然准确无误，但如果能用更现代化的排版方式来区分重点和辅助说明，阅读体验或许能更上一层楼。我注意到章节之间的过渡还算平滑，但一些关键概念的引入部分，似乎略显仓促，对于初次接触这些高级内容的读者来说，可能需要反复琢磨才能真正领会作者的意图。总的来说，这本书在“看起来”这个环节算是交了合格的分，但离“让人爱不释手”还有一段距离，更像是一个可靠但略显严肃的知识载体。

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说实话，我这本书的某些章节在抽象概念的处理上，着实让我体会到了“高等”二字的重量。比如涉及到泛函分析或者拓扑空间的部分，作者的处理方式偏向于严格的数学证明，推导过程是严密无懈可击的，但对于我这种更偏向应用型思维的学习者来说，缺乏足够的直观解释和生活中的类比。我理解数学的本质在于严谨，但如果能提供更多“为什么是这样”而不是仅仅“它是这样”的阐述，对于构建知识体系会更有帮助。很多时候，我感觉自己像是在跟着一个极其专业的导游在探索一座宏伟的迷宫，他知道每一个转角的历史和结构，但却没有告诉我这座迷宫的整体布局是用来做什么的。期望在后续的复习中，我能找到一些外部资源来弥补这种直观性上的缺失。这绝对不是说内容错误，而是说叙事方式上，少了一些“铺垫”和“情景化”的努力，使得理解的门槛被无形中抬高了不少。

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这本书的习题部分，简直就是一场智力的“残酷考验”。我必须承认，有些练习题的难度设置确实能检验出一个人对知识的掌握深度，尤其是一些综合性的、需要跨章节整合知识才能解决的难题，它们的存在无疑是推动学习进步的强大动力。然而，问题在于，难度梯度分布似乎有些不均匀。前面基础巩固型的题目量相对充足，让人感觉信心倍增；可一旦进入到深化理解和创新应用阶段，题目类型就骤然收紧，而且很多题目的背景设定非常晦涩，初看起来完全不知道该从哪个定理入手。更让人沮丧的是，对于那些最具有挑战性的题目，书后提供的解答往往只是一个最终结果，缺乏详细的解题思路剖析。这就像一场高手之间的对弈，你只看到了最后的结果，却不知道棋局是如何一步步演变到那个局面的，这对自我纠错和学习效率的提升是极大的阻碍。

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