具体描述
《从微分观点看拓扑(双语版)》由菲尔兹奖和沃尔夫奖得主J.W.Milnor所著，是一本蜚声国际数学界的经典之作。内容涉及光滑流形和光滑映射，Sard定理和Brown定理，映射的模2度，定向流形，向量场与Euler数，标架式协边，Pontryagin构造等。全书内容简要，短小精悍。
作者简介
John W.Milnor，著名美国数学家，菲尔兹奖（1962）和沃尔夫奖（1989）得主。美国科学院院士，1966年获得美国国家科学奖章。现任纽约州立大学石溪分校教授。在微分拓扑、K理论、动力系统等方面都有杰出的成就。他的写作风格深受读者欢迎，除本书外，还著有Mores Theory、Characteristic Classes等，都是公认的数学名著。
目录信息
1.1 切空间和导射 2
1.2 正则值 7
1.3 代数基本定理 8
第2章 Sard 定理和Brown 定理 10
2.1 有边流形 12
2.2 Brouwer不动点定理 13
第3章 Sard定理的证明 16
第4章 映射的模2度 20
第5章 定向流形 25
第6章 向量场与 Euler数 31
第7章 标架式协边和Pontryagin 构造 40
第8章 练习 49
附录 1维流形的分类 52
参考文献 55
索引 56
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读后感
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用户评价
这本书在处理“李群”（Lie group）和“李代数”（Lie algebra）的关系时，展现了作者深厚的功底。他没有仅仅将它们作为独立的数学对象来介绍，而是巧妙地揭示了它们之间的内在联系——李代数是李群在单位元处的“切空间”，它捕捉了李群的局部结构。通过对指数映射（exponential map）的详细解释，作者成功地将群的乘法运算与代数结构联系起来，这对于理解对称性在数学和物理中的作用至关重要。
评分在深入探讨“向量丛”（vector bundle）时，作者展示了非凡的洞察力。他将向量丛比作“捆绑”在流形上的“纤维”，这种直观的类比，使得“总空间”、“基空间”以及“纤维”之间的关系一目了然。书中对“向量丛的截面”（section of a vector bundle）的讨论，特别是对“切丛”（tangent bundle）的分析，让我领略到微分的本质——它反映了函数在空间上的局部变化趋势。作者通过对切丛的性质的深入分析，引出了诸如“流形上向量场的积分曲线”等概念，这些都为理解流形的动力学行为提供了关键的工具。
评分这是一本需要反复品读的书，每一次阅读都能发现新的细节和更深的含义。作者的数学语言精炼而准确，逻辑严谨而富有洞察力。书中的图示也非常精美，有效地辅助了对抽象概念的理解。我特别欣赏作者在处理一些“棘手”问题时，所展现出的耐心和清晰度。例如，他对“流形上的积分”的讨论，以及如何通过“外微分”（exterior differentiation）将积分与微分的性质联系起来，都给我留下了深刻的印象。这本书不仅是一次智力的挑战，更是一场令人愉悦的数学探索之旅。
评分不得不提的是，作者在书中对“德拉姆上同调”（De Rham cohomology）的阐述。这部分内容是我学习拓扑学以来最清晰的一次。作者并没有回避其抽象性，而是通过对封闭形式和精确形式的深入剖析，以及德拉姆引理的有力证明，将微分形式与拓扑不变量巧妙地联系起来。我惊叹于作者如何通过微积分工具，就能够计算出流形的拓扑性质，例如欧拉示性数。书中对“积分几何”的引入，也为理解德拉姆上同调提供了一个全新的视角，这种多角度的阐释，让我在理解复杂概念时少走了许多弯路。
评分我被书中关于“纤维丛”的章节深深吸引。作者以一种近乎艺术的方式，将原本抽象的概念具象化，比如利用“麻花辫”的类比来解释主丛的结构，这种直观的引入极大地降低了理解门槛，同时也激发了我进一步探索的兴趣。书中对联系（connection）的讨论，更是让我看到了微分学在研究流形上向量场行为时的强大力量。通过协变导数，我们可以“平行地”移动向量，这种“平行”的概念在非欧几何中尤为重要，而作者则通过清晰的例子，例如在球面上的平行移动，揭示了路径依赖性带来的“全异性”（holonomy），这无疑是拓扑和几何相结合的绝妙体现。
评分我被书中关于“辛几何”（symplectic geometry）的介绍深深吸引。作者以一种非常清晰且富有吸引力的方式，将辛形式引入到对流形的研究中。他不仅解释了辛形式的代数性质，如闭合性和非退化性，更重要的是，他通过实际例子，如相空间中的运动，展示了辛几何在经典力学中的重要应用。这种将抽象数学工具与具体物理现象相结合的叙述方式，让我对这门学科的理解跃上了一个新的台阶，也让我看到了数学在探索自然规律方面的强大力量。
评分这是一本绝对令人着迷的数学著作，它巧妙地将微分的严谨性与拓扑的直观性融为一体，在我看来，这本书不仅仅是内容的堆砌，更是一次对数学思想的深度挖掘和升华。从开篇作者就展现出的那种对抽象概念的驾驭能力，让我不禁赞叹。书中对光滑流形、切空间、向量场等基本概念的引入，并非是生硬的定义堆砌，而是通过精妙的比喻和清晰的逻辑链条，引导读者一步步进入这个美妙的数学世界。我尤其欣赏作者处理“曲率”这一概念的方式，它不再是仅仅一个数字的计算，而是被赋予了丰富的几何意义，通过微分的语言，我们得以窥探曲面在局部是如何弯曲的，这种洞察力对于理解更复杂的几何结构至关重要。
评分这本书的写作风格非常讲究逻辑的递进和概念的层层剥离。例如，在讲解“微分同胚”后，作者紧接着探讨了“度量”（metric）的概念，并通过引入“黎曼流形”（Riemannian manifold）的概念，展示了如何在流形上进行长度和角度的测量。他对“测地线”（geodesic）的定义和性质的分析，以及如何通过度量来计算曲率，都让我对“几何”的理解不再局限于平面，而是扩展到了更广阔的曲面和高维空间。
评分令我印象深刻的是，作者在书中对“不变性”（invariance）的探讨。他通过引入“作用”（action）的概念，并分析在不同变换下的不变量，例如在流形上的“李导数”（Lie derivative），清晰地展示了微分与对称性之间的深刻联系。这种对不变性的关注，贯穿了整本书的始终，也让我对数学对象的本质有了更深的理解——那些在各种变换下保持不变的性质，往往是其最核心的特征。
评分这本书的叙述风格非常独特，它既有严谨的数学证明，又不乏生动的语言和富有启发性的思考。我特别喜欢作者在讲解“微分同胚”（diffeomorphism）时所使用的例子，通过一系列的变换，展现了不同流形之间在局部上的等价性，这让我对“拓扑”的理解更加深刻——它关注的是那些在连续变形下保持不变的性质。同时，作者也借此引入了“微分流形”的概念，强调了光滑性和局部欧几里得结构的结合，这为之后讨论微分几何的许多高级概念奠定了坚实的基础。
评分长得像圣诞老爷爷的书真的强。。。
评分内容是最经典的微分拓扑理论
评分书固然写得不错，信息量极大。但我还真是对拓扑感到毫无任何兴趣。
评分要是国内能编出这种教材就好了呜呜呜呜
评分要是国内能编出这种教材就好了呜呜呜呜
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