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出版者:Springer Verlag

作者:Cornell, Gary/ Silverman, Joseph H. (EDT)

出品人:

页数:353

译者:

出版时间:1986

价格:$ 101.69

装帧:HRD

isbn号码:9780387963112

丛书系列:

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《算术几何：探寻数与形的深邃联系》 在这本深度探索的著作中，我们将踏上一段跨越数百年数学智慧的旅程，揭示数论与代数几何之间令人惊叹的共鸣。本书并非对某一本具体著作的介绍，而是旨在勾勒出“算术几何”这一宏大而迷人的数学分支的核心思想、发展脉络及其在现代科学中的重要地位。 算术几何，正如其名，是将数的性质——那些我们熟悉的整数、有理数，甚至更抽象的数域——与几何对象的结构——曲线、曲面、高维流形等——紧密联系起来的学科。它源于对丢番图方程的研究，这些方程寻求整数解，其几何表现就是代数簇上点的坐标。例如，费马大定理——“xⁿ + yⁿ = zⁿ 当 n > 2 时没有非零整数解”——就是数论与代数几何完美结合的经典范例。要证明这个看似简单的数论猜想，数学家们不得不发展出极其深刻的几何工具和理论。 本书将首先带领读者回顾算术几何的早期萌芽。从古希腊对圆锥曲线的研究，到丢番图对不定方程的系统性探索，再到费马对数论问题的直觉洞察，这些都为算术几何的诞生奠定了基础。我们将探讨二次互反律如何揭示了素数之间的深刻联系，以及域论的发展如何为研究更广泛的数系统提供了语言。 随后，我们将聚焦于20世纪算术几何的黄金时代。代数几何的革命性发展，特别是韦伊（Weil）对代数簇的定义和范畴的建立，为数论问题提供了全新的视角。我们将深入理解光滑流形、簇上的上同调理论，以及这些工具如何被用来解决丢番图方程。黎曼猜想的算术模拟——韦伊猜想——将作为核心讨论点之一。这个猜想将素数分布的奥秘与代数簇上的菌子（zeta function）的零点位置联系起来，其证明是现代数学的伟大成就。 本书的另一重要组成部分是对“算术曲线上函数域的类数”（class number of function fields）的研究。这个看似抽象的概念，实则蕴含着深刻的算术信息。我们将探讨黑克（Hasse）-德恩（Davenport）定理、德恩（Davenport）-海尔布隆（Heilbronn）定理等重要结果，以及它们如何揭示了数域与函数域之间的对偶性。 本书还将深入探讨“模形式”（modular forms）在算术几何中的作用。模形式是一类具有特殊对称性的函数，它们与数论中的各种问题，如二次型的计数、椭圆曲线的性质等，有着千丝万缕的联系。我们将简要介绍模形式的构造，以及它们如何通过所谓的“L-函数”与算术对象关联起来。谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture），后被证明为谷山-志村定理，它断言了所有有理数域上的椭圆曲线都与模形式相关联，这一猜想的最终证明不仅解决了费马大定理，更彻底改变了我们对数与形的理解。 现代算术几何的发展更是日新月异。我们将触及恩斯（Enriques-Kodaira）分类，代数几何中的“几何结构”，以及它们在算术方面的体现。伽罗瓦表示（Galois representations）作为连接数论与代数几何的桥梁，其重要性不言而喻。我们将简要介绍伽罗瓦表示如何编码了代数簇上的基本群信息，以及如何用于研究方程的解的性质。 此外，本书还将概述算术几何在相关领域的应用，包括密码学（如基于椭圆曲线的公钥密码系统）、理论物理（如弦理论中的某些概念）、以及计算机科学中的算法设计。这些应用充分证明了算术几何作为一门基础数学理论的强大生命力。 本书的语言将力求清晰且严谨，通过丰富的例子和直观的解释，帮助读者理解那些深奥的概念。我们将避免过于技术性的细节，而是着重于揭示算术几何的核心思想和逻辑。无论您是数学专业的学生、研究人员，还是对数学充满好奇的爱好者，本书都将为您提供一个深入了解算术几何世界的绝佳入口，带领您领略数与形的和谐之美，以及隐藏在数字背后的深刻几何结构。通过本书，您将体会到数学的统一性，以及不同领域之间思想碰撞所产生的奇妙火花。

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《算术几何》这本书，是一次令人难忘的数学探索之旅。它所构建的算术与几何交融的世界，充满了令人惊叹的抽象之美和逻辑力量。我被书中对于“域”（fields）的概念的推广，以及如何将这些域的概念应用到几何对象上，这一过程所深深吸引。作者通过对“伽罗瓦理论”（Galois theory）在数论和几何中的应用的详尽讲解，揭示了对称性在理解数学结构中的重要作用。书中对“理想”（ideals）的讨论，以及它们如何在环论（ring theory）和代数几何中扮演着关键角色，这部分内容让我对代数结构有了全新的认识。作者在行文中，极其善于在抽象的数学语言和相对直观的数学思想之间找到平衡点。他不会让你迷失在纯粹的符号海洋中，而是会时不时地抛出一些发人深省的问题，引导你去思考这些数学工具背后的本质意义。例如，书中在探讨某些数域上的“黎曼-罗赫定理”（Riemann-Roch theorem）时，其精妙之处让我惊叹不已。我必须说，这本书的阅读门槛确实不低，许多概念需要反复推敲才能融会贯通。但正是这种挑战，让我更加珍惜每一次理解的瞬间。它不仅仅是在学习“算术几何”这个特定的数学分支，更是在学习一种严谨的思考模式，一种对数学真理不懈追求的精神。

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《算术几何》这本书，在我阅读过程中，逐渐成为一本让我着迷且敬畏的数学经典。它所构建的算术与几何之间的桥梁，远比我想象的要宏伟和精妙。我特别沉浸在书中关于“算术簇”（arithmetic varieties）的理论框架中，作者如何将数论中的“整数”概念，通过抽象的几何语言进行系统化的抽象和推广，这为理解许多数论问题提供了全新的视角。书中对“模形式”（modular forms）的详尽阐述，以及它们如何与椭圆曲线等几何对象产生深刻的联系，是我觉得最令人兴奋的部分。这就像是在揭示一个隐藏在数学世界深处的秘密花园。作者在行文中，极其注重概念的清晰度和逻辑的严谨性，每一章节的论述都如同一环紧扣一环的链条，将复杂的数学思想层层递进地展现出来。我印象深刻的是书中对“迹公式”（trace formulas）的介绍，它们在连接数论与几何的桥梁上起到了至关重要的作用，而本书对这些公式的应用进行了非常深入的探讨。尽管本书的难度不低，我时常需要投入大量的时间和精力去消化其中的内容，但每一次的理解和突破都给我带来巨大的满足感。它不仅仅是在教授“算术几何”的知识，更是在培养一种探究数学本质的精神，一种对抽象世界的好奇与热爱。

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《算术几何》这本书，在我看来，是一部数学思想的精深之作，它巧妙地将数论的严谨与几何的直观融为一体。从阅读的第一页起，我就被其独特的视角所吸引。作者以一种宏大的叙事方式，阐释了算术与几何之间那层古老而又深刻的联系。我尤其着迷于书中对于“代数簇”的概念的引入，以及如何将其应用于研究整数性质的这一过程。这就像是打开了一个通往全新数学领域的门户。书中对“模形式”与“椭圆曲线”之间关系的深入探讨，是我觉得最具启发性的部分，它展示了数学不同分支之间意想不到的和谐与统一。作者在解释这些高深概念时，并非一味地堆砌公式，而是善于运用类比和直观的几何解释，帮助我们在脑海中构建起抽象世界的具象图像。例如，书中关于“谷山-志村猜想”的论述，虽然只是本书庞大体系中的一部分，却足以让人惊叹于数学家们构建如此宏伟理论的智慧和毅力。我时常需要反复推敲书中的每一个论断，每一个证明，以求达到更深的理解。这本书的挑战性毋庸置疑，但正是这种挑战，才使得克服困难后的成就感更加显著。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的训练，它教会我如何去审视数学的深层结构，如何去寻找不同领域之间的内在联系，以及如何去欣赏数学的优雅与美丽。

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《算术几何》这本书，在我阅读过程中，逐渐成为一本让我着迷且敬畏的数学经典。它所构建的算术与几何之间的桥梁，远比我想象的要宏伟和精妙。我特别沉浸在书中关于“算术簇”的理论框架中，作者如何将数论中的“整数”概念，通过代数几何的语言进行系统化的抽象和推广，这为理解许多数论问题提供了全新的视角。书中对“模形式”的详尽阐述，以及它们如何与椭圆曲线等几何对象产生深刻的联系，是我觉得最令人兴奋的部分。这就像是在揭示一个隐藏在数学世界深处的秘密花园。作者在行文中，极其注重概念的清晰度和逻辑的严谨性，每一章节的论述都如同一环紧扣一环的链条，将复杂的数学思想层层递进地展现出来。我印象深刻的是书中对“高阶L函数”（higher L-functions）的介绍，它们在数论中扮演着极其重要的角色，而本书对这些函数的性质和应用进行了非常深入的探讨。尽管本书的难度不低，我时常需要投入大量的时间和精力去消化其中的内容，但每一次的理解和突破都给我带来巨大的满足感。它不仅仅是在教授“算术几何”的知识，更是在培养一种探究数学本质的精神，一种对抽象世界的好奇与热爱。

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《算术几何》这本书给我带来的震撼，远不止于知识的增长，更在于它彻底改变了我对数学的认知方式。在阅读之前，我曾以为数学不过是一系列计算和定理的堆砌，但这本书让我看到了数学更深层的、更具哲学性的维度。作者在开篇就为我们构建了一个宏大的图景，将算术（整数的性质）与几何（形状和空间的性质）这两个看似独立的领域，通过抽象的代数工具紧密联系在一起。我特别着迷于书中对于“算术簇”（arithmetic varieties）的介绍，这是一个将数论中的“整数”概念推广到几何对象上的概念，其背后蕴含的思想极其深邃。通过对这些算术簇的研究，我们可以发现许多关于整数性质的深刻洞察，这简直就像是为我们打开了一扇通往整数世界内在秘密的大门。书中引用了大量经典的数论问题，并展示了如何运用算术几何的语言来解决它们，例如费马大定理（Fermat's Last Theorem）的证明，虽然本书并未完全展开其全部细节，但对其中涉及到的关键思想，如椭圆曲线与模形式的联系，进行了非常精辟的阐述，让我对这个数学史上的伟大成就有了更全面的理解。作者在叙述过程中，极其注重逻辑的严谨性和概念的清晰性，每一章节都像是一块精心打磨的基石，为后续更复杂的理论打下坚实的基础。即使是在处理一些非常抽象的概念时，作者也能够巧妙地融入一些历史背景和思想发展脉络，使得阅读过程并非枯燥乏味，反而充满了探索的乐趣。坦白说，这本书的难度是显而易见的，我时常需要花费数小时来理解一个引理的证明，但每一次的突破都给我带来巨大的喜悦。它不仅仅是一本书，更像是一位耐心的导师，引导我一步步深入数学的殿堂，领略其博大精深的魅力。

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《算术几何》这本书，对于我而言，更像是一部数学思想的史诗，它将数论的深邃与几何的直观完美地结合在一起。我被书中对于“代数数论”（algebraic number theory）与“代数几何”（algebraic geometry）之间的深刻联系所深深吸引。作者以一种极其系统的方式，展示了如何利用代数几何的语言来研究整数的分布和性质，这其中涉及到的“黎曼猜想”（Riemann Hypothesis）的一些相关概念，虽然点到为止，却足以激发读者对这些未解之谜的浓厚兴趣。书中对“希尔伯特模形式”（Hilbert modular forms）的详尽阐述，以及它们如何与数论中的某些猜想产生深刻的联系，是我觉得最具启发性的部分。这就像是在揭示一个隐藏在数学世界深处的秘密花园。作者在解释这些高深概念时，并非一味地堆砌公式，而是善于运用类比和直观的几何解释，帮助我们在脑海中构建起抽象世界的具象图像。我时常需要反复推敲书中的每一个论断，每一个证明，以求达到更深的理解。这本书的挑战性毋庸置疑，但正是这种挑战，才使得克服困难后的成就感更加显著。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的训练，它教会我如何去审视数学的深层结构，如何去寻找不同领域之间的内在联系，以及如何去欣赏数学的优雅与美丽。

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《算术几何》这本书，对于我而言，更像是一次对数学思想深邃边界的探索之旅。它所描绘的算术与几何交融的世界，充满了令人惊叹的抽象之美与逻辑的力量。我被书中对于“模p表示”（mod p representations）和“迹公式”（trace formulas）的介绍所吸引，这些工具在连接数论与几何的桥梁上起到了至关重要的作用。作者以一种非常系统的方式，展示了如何利用代数几何的语言来研究整数的分布和性质，这其中涉及到的“黎曼-罗赫定理”在数域上的推广，更是让我对数学的普适性有了更深刻的认识。书中对“阿贝尔簇”（abelian varieties）的深入分析，以及它们与代数数论中的某些猜想之间的联系，是我觉得最具启发性的部分。作者在解释这些高度抽象的概念时，并非一味地使用晦涩的符号，而是会辅以恰当的类比和直观的解释，帮助读者建立起概念的图像。然而，本书的挑战性依然显著，许多证明和论述需要读者具备扎实的代数几何和数论基础。我时常需要停下来，反复研读某一段文字，或者查阅一些辅助材料，才能真正理解作者所要表达的精髓。但正是这种挑战，使得每一次的豁然开朗都显得尤为珍贵。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的锤炼，它教会我如何去拆解复杂的问题，如何去寻找不同数学分支之间的内在联系，以及如何去欣赏数学的优雅与深刻。

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《算术几何》这本书，宛如一位经验丰富的向导，带领我在抽象数学的广袤世界中进行了一次令人难忘的探险。从翻开第一页起，我就被其独特的视角深深吸引。它并非仅仅罗列定义和定理，而是以一种更加叙事性的方式，阐释了算术与几何之间那层古老而又神秘的联系。书中对于“域”（fields）的概念的推广，以及如何将这些域的概念应用到几何对象上，是我觉得最有启发性的部分之一。作者通过对伽罗瓦理论（Galois theory）在数论和几何中的应用的详尽讲解，揭示了对称性在理解数学结构中的重要作用。我记得其中关于“理想”（ideals）的讨论，以及它们如何在环论（ring theory）和代数几何中扮演着关键角色，这部分内容让我对代数结构有了全新的认识。书中也触及了许多现代数学研究的前沿领域，例如黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的一些相关概念，虽然点到为止，却足以激发读者对这些未解之谜的浓厚兴趣。作者在行文中，极其善于在抽象的数学语言和相对直观的数学思想之间找到平衡点。他不会让你迷失在纯粹的符号海洋中，而是会时不时地抛出一些发人深省的问题，引导你去思考这些数学工具背后的本质意义。例如，书中在探讨某些数域上的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch theorem）时，其精妙之处让我惊叹不已。我必须要说，这本书的阅读门槛确实不低，许多概念需要反复推敲才能融会贯通。但正是这种挑战，让我更加珍惜每一次理解的瞬间。它不仅仅是传授知识，更是塑造一种解决问题的思维方式，培养一种对数学内在秩序的敏锐感知。

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《算术几何》这本书，在我看来，更像是一部数学界的史诗，它将几个世纪以来数学家们在探索整数世界与几何形态之间奥秘的智慧与努力，以一种极其精炼和深刻的方式呈现出来。我被书中对于“代数簇”（algebraic varieties）的介绍所深深吸引，尤其是作者如何将数论中的“整数点”（integer points）的概念，通过抽象的几何语言来描述和分析。这就像是为我们打开了一扇窗，让我们能够从全新的角度去审视那些最古老、最基本的数学对象。书中对“希尔伯特模形式”（Hilbert modular forms）的讨论，让我领略到它们在数论问题中的强大威力，以及它们与代数数域之间那种令人惊叹的和谐统一。作者在解释这些复杂的概念时，总能巧妙地穿插一些历史故事和思想演变的片段，这使得阅读过程既富有智识上的挑战，又充满了人文的温度。我尤其欣赏书中在处理证明过程时，那种对细节的极致追求。每一个步骤，每一个推理，都经过了深思熟虑，力求做到无可挑剔。例如，书中在推导某些数域上的zeta函数（zeta functions）的性质时，其严谨性令人叹服。虽然我需要不断地回溯和查阅相关资料来跟上作者的思路，但这种艰辛的付出所带来的收获也是巨大的。这本书让我明白，真正的数学理解并非一蹴而就，而是需要耐心、毅力和深入的思考。它不仅仅是在学习“算术几何”这个特定的数学分支，更是在学习一种严谨的思考模式，一种对数学真理不懈追求的精神。

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刚刚读完《算术几何》（Arithmetic Geometry），合上书页的那一刻，一种复杂而又深刻的满足感油然而生。这本书绝非一本轻松的读物，它如同精心雕琢的艺术品，需要读者投入大量的时间和精力去细细品味。初拿到这本书时，其厚重的篇幅和严谨的标题就预示着这是一场智识的盛宴，而非一次漫不经心的浏览。在翻阅的过程中，我常常需要停下来，反复思考作者提出的每一个论断，每一个证明，甚至每一个符号的含义。书中穿梭于代数数论、代数几何以及复分析等多个领域，仿佛一条由抽象概念 woven 而成的精致链条，将看似不相关的数学分支巧妙地连接起来。我尤其被其中对于模形式（modular forms）和椭圆曲线（elliptic curves）的深入探讨所吸引，作者以一种近乎诗意的笔触，描绘了这些数学对象内在的深邃联系，以及它们如何在数论问题中扮演核心角色。例如，其中关于谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）的论述，虽然只是这本书庞大体系中的一部分，却足以让人惊叹于数学家们构建如此宏伟理论的智慧和毅力。作者在解释这些高深概念时，并非一味地堆砌公式，而是善于运用类比和直观的几何解释，帮助读者在脑海中构建起抽象世界的具象图像。尽管如此，本书的挑战性依然不容小觑，许多地方需要读者具备扎实的数论和代数几何基础才能完全理解。但正是这种挑战，才使得克服困难后的成就感更加显著。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的训练，它教会我如何去审视数学的深层结构，如何去寻找不同领域之间的内在联系，以及如何去欣赏数学的优雅与美丽。对于任何一位在数学领域寻求更深层次理解的读者而言，《算术几何》都将是一次无与伦比的体验。

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