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出版者:Chapman & Hall

作者:Lawrence C. Washington

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2003-05-28

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781584883654

丛书系列:

图书标签:

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《椭圆曲线》 本书深入探讨了数学中一个迷人且强大的分支——椭圆曲线。我们将从基础概念出发，逐步构建起对这些看似简单却蕴含深刻数学结构的理解。 第一部分：基础构建 二次曲线的几何直觉： 在我们正式进入椭圆曲线之前，会先回顾并巩固对二次曲线（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的几何理解。通过可视化和代数描述，建立对曲线概念的直观认识。 射影几何初步： 为了更全面地理解椭圆曲线的性质，我们将引入射影几何的基本思想。这包括无穷远点、齐次坐标以及射影平面上的基本定理，例如帕斯卡定理。这些工具将帮助我们理解在“无穷远”处发生的相交行为，并使椭圆曲线的群律更加自然。 代数几何的语言： 引入多项式方程和代数簇的概念，为研究椭圆曲线提供坚实的代数基础。我们将学习如何使用代数方法来描述和分析几何对象，理解多项式方程的解集构成的代数簇。 第二部分：椭圆曲线的定义与性质 韦尔斯特拉斯方程： 本书的核心将围绕韦尔斯特拉斯方程展开，这是定义椭圆曲线的标准形式：$y^2 = x^3 + ax + b$。我们将详细分析不同参数 $a$ 和 $b$ 对曲线形状和性质的影响，特别是判别式 $Delta = -16(4a^3 + 27b^2)$ 的作用，它区分了光滑椭圆曲线和奇异曲线。 光滑性与奇异点： 深入探讨光滑椭圆曲线的定义，以及何种情况下会出现尖点或双节点等奇异点。理解奇异点的存在如何影响曲线的代数性质和几何行为。 点的集合与无穷远点： 将椭圆曲线看作是射影平面上的一个代数簇。引入无穷远点 $O$，并证明它在椭圆曲线的阿贝尔群结构中扮演着重要的角色。 第三部分：椭圆曲线上的阿贝尔群律 几何加法法则： 这是椭圆曲线理论中最引人注目的部分之一。我们将通过几何构造来定义椭圆曲线上的点加法。给定曲线上的两个点 $P$ 和 $Q$，连接它们的直线会与曲线相交于第三点 $R'$。通过 $R'$ 关于 $x$ 轴的对称点，我们得到 $P+Q$。我们还会详细推导这个几何加法的代数公式。 群的公理验证： 证明椭圆曲线上的点（包括无穷远点）在上述加法运算下构成一个阿贝尔群。我们将逐一验证群的封闭性、结合律、单位元（无穷远点）、逆元以及交换律。 点的阶与周期性： 探讨椭圆曲线上的点的阶，即 $nP = O$ 的最小正整数 $n$。研究有限域上的椭圆曲线时，我们将重点关注其点的个数，以及点群的结构（例如，同构于 $Z_m imes Z_n$）。 第四部分：不同域上的椭圆曲线 复数域上的椭圆曲线： 研究复数域 $mathbb{C}$ 上的椭圆曲线，其结构与紧黎曼曲面（环面）密切相关。我们将介绍复数域上椭圆曲线的模 j 函数，它能够唯一地刻画一个复数域上的复同构类。 有限域上的椭圆曲线： 这是椭圆曲线理论在密码学等领域广泛应用的关键。我们将学习如何在有限域 $mathbb{F}_q$ 上定义和计算椭圆曲线上的点。理解有限域的性质对椭圆曲线点集大小（或称“阶”）至关重要。 模形式与椭圆曲线的联系（初步）： 简要介绍模形式与椭圆曲线之间的深刻联系，例如著名的谷山-志村猜想（现已证明为定理），它将所有椭圆曲线与模形式联系起来，是数论中的一个里程碑。 第五部分：应用与展望 椭圆曲线密码学 (ECC)： 详细介绍椭圆曲线在现代密码学中的核心作用。我们将阐述椭圆曲线离散对数问题 (ECDLP) 的计算困难性，以及基于此的加密算法（如 ECDSA、ECDH）的工作原理。 数论中的应用： 简要提及椭圆曲线在解决丢番图方程（如费马大定理的证明）中的应用，展示其在解决古老数学问题时的强大威力。 进一步的研究方向： 展望椭圆曲线理论的最新研究进展和未解决的问题，例如 L 函数、BSD 猜想等。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的椭圆曲线理论框架，从基础的几何直觉到抽象的代数结构，再到实际的应用价值，力求让读者领略数学之美，并掌握这一强大工具。

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在我看来，《Elliptic Curves》这本书在数学著作中脱颖而出，其关键在于作者能够将一个相对抽象的数学领域，以一种既严谨又不失趣味性的方式呈现出来。从最基础的方程表示，到其上的群律，再到更深层次的算术性质，每一个概念的引入都经过了深思熟虑。我尤其喜欢书中对“复乘”（complex multiplication）的介绍，作者不仅解释了其代数上的定义，更展示了它如何导出许多深刻的数论结果，例如对类域论（class field theory）的一些洞察。这种将理论与应用紧密结合的叙述方式，让我能够更直观地理解椭圆曲线的价值。书中对“模方程”（modular equations）的讨论，以及它们在构造模曲线（modular curves）中的作用，也让我得以窥见代数几何的奥妙。尽管书中某些部分的证明相当复杂，但作者始终保持着一种循序渐进的教学风格，并辅以大量的图示和辅助说明，这极大地降低了学习的难度。这本书为我提供了一个进入椭圆曲线世界并深入探索其数学之美的绝佳入口。

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这本书对于任何对代数几何和数论交叉领域感兴趣的读者来说，都是一个极好的学习资源。作者的写作风格非常具有启发性，他不仅仅是罗列公式和定理，而是试图去解释这些数学概念背后的思想和逻辑。我特别欣赏书中关于“群同态”（group homomorphism）和“同源”（isogeny）的详细阐述，这有助于我理解不同椭圆曲线之间的关系，以及它们在算术几何中的重要性。书中对“Weil pairing”的构造和性质的介绍，也提供了一个深入了解椭圆曲线代数结构的绝佳机会。尽管某些部分的证明过程相当繁复，但作者总能提供足够的背景知识和逐步的推导，使得即便是初次接触这些概念的读者也能有所收获。这本书还触及了“L函数”（L-functions）及其在算术几何中的应用，特别是对“Birch and Swinnerton-Dyer猜想”的介绍，让我对数学研究的前沿领域有了初步的认识。总而言之，这本书在深度和广度上都做得非常出色，能够满足不同层次读者的学习需求。

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作为一名对数论和代数几何领域有着浓厚兴趣的学习者，我最近有幸阅读了《Elliptic Curves》这本书，并且在此分享我的感受。首先，这本书的编排结构相当清晰，从基础概念的引入，到更深入的理论探讨，层层递进，使得像我这样并非该领域内专业研究人员的读者也能逐步理解。它并没有一开始就抛出过于复杂的数学证明，而是耐心地从椭圆曲线的定义、基本性质（如群律）入手，这为后续内容的吸收打下了坚实的基础。书中对不同类型椭圆曲线的分类，以及它们在数论（例如，费马大定理的证明背景）和密码学（例如，椭圆曲线密码学）中的应用，都进行了详尽的介绍，这让我深刻体会到椭圆曲线的普适性和重要性。作者在讲解过程中，常常会穿插一些历史典故或者相关的数学家故事，这使得原本可能枯燥的数学理论变得生动有趣，也让我对这些伟大的数学思想有了更深的敬意。此外，书中大量的例子和习题，尤其是那些需要读者自己动手推导和计算的题目，对于巩固理解和培养数学直觉至关重要。我特别喜欢其中关于“Tate L-function”和“Birch and Swinnerton-Dyer conjecture”的章节，虽然这些是前沿的研究领域，但作者的讲解方式允许我在一定程度上把握其核心思想和研究方向，这对我而言是极具启发性的。总而言之，《Elliptic Curves》是一本集严谨性、系统性、趣味性和启发性于一体的优秀著作，非常适合数学专业的学生，或者任何对探索数学之美充满好奇心的读者。

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这本书对于任何想要深入了解椭圆曲线及其在密码学中应用的人来说，都是一本不可多得的宝藏。作者的叙述方式非常清晰，并且能恰到好处地将复杂的数学概念与实际应用联系起来。我非常喜欢书中关于“椭圆曲线密码学”（ECC）的章节，作者详细阐述了ECC的数学基础，包括点加法、点乘法等运算，以及其在安全通信中的优势。他对“离散对数问题”（Discrete Logarithm Problem）在椭圆曲线上的困难性进行了深入分析，这让我明白为何ECC能够提供与传统公钥密码系统相当的安全级别，但却拥有更小的密钥长度。书中还提到了“配对”（pairings）的概念，并介绍了它们在高级密码学应用，如身份基密码（identity-based cryptography）和阈值密码（threshold cryptography）中的作用。作者通过具体的例子，展示了如何在实际的密码学协议中使用椭圆曲线，这使得抽象的数学理论变得触手可及。我特别欣赏他对“安全性证明”（security proofs）的介绍，这让我能够理解ECC的安全性是如何从数学的层面得到保证的。这本书不仅是理论的梳理，更是数学思想在实际应用中的最佳体现。

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这本书给我的整体感觉是，它能够以一种非常系统且不失深度的方式，引导读者进入椭圆曲线这一引人入胜的数学领域。作者在开篇就构建了一个非常扎实的理论框架，从对仿射平面和射影平面的基本介绍开始，逐步引出椭圆曲线的方程形式，以及它们在几何上的直观表现。我尤其欣赏书中对“群律”的阐述，作者通过几何上的“过三点直线法则”来解释点加法的概念，这种可视化、直观的讲解方式极大地降低了理解门槛，也让我能更好地把握椭圆曲线代数结构的核心。随后，书中深入探讨了模形式（modular forms）与椭圆曲线之间的深层联系，这部分内容着实令人着迷。作者详细介绍了“j-invariant”的概念，并展示了它是如何连接模形式和椭圆曲线的，这让我看到了数学不同分支之间令人惊叹的统一性。书中对“复乘”（complex multiplication）的介绍也相当精彩，它揭示了某些椭圆曲线具有特殊的代数性质，并且这些性质能够导出许多深刻的数论结果，例如对类域论（class field theory）的一些见解。尽管某些证明过程相当复杂，但作者始终保持着清晰的逻辑脉络，并辅以大量的图示和辅助解释，使得我能够跟随作者的思路进行推导。对于那些希望深入了解椭圆曲线在数论和算术几何中的核心地位的读者来说，这本书无疑是提供了宝贵的资源。

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作为一名对数学史和数学思想的演进过程充满好奇的读者，《Elliptic Curves》这本书提供了一个非常引人入胜的视角。作者在讲解椭圆曲线的理论时，并没有忽视其历史发展脉络，而是巧妙地将相关数学家的贡献和思想融入其中。我特别喜欢书中关于“费马大定理”（Fermat's Last Theorem）与椭圆曲线之间联系的介绍，这让我深刻理解了数学问题的相互关联性和突破性研究的意义。作者详细阐述了“谷山-志村猜想”（Taniyama-Shimura conjecture）的提出和证明过程，这不仅是一项伟大的数学成就，也展示了数学家们如何通过不懈的努力和深刻的洞察来解决复杂的问题。书中对“模形式”（modular forms）的介绍，以及它们与椭圆曲线的对应关系，让我看到了数学中不同分支之间令人惊叹的统一性。作者的叙述风格非常生动，并且能够以一种容易理解的方式解释复杂的数学概念。这本书不仅传授了知识，更激发了我对数学研究的热情和敬意。

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这是一部能够让你在理解数学概念的同时，感受到数学之美的书籍。作者的写作风格非常具有吸引力，他并非一味地堆砌公式和定理，而是通过精妙的语言和恰当的类比，将抽象的数学思想具象化。例如，在讲解椭圆曲线的“有理点群”时，作者并没有直接给出抽象的群公理，而是通过对曲线上的点进行“相加”操作，然后观察这些点满足的规律，循序渐进地引出群的结构。这种“引导式”的教学方式，极大地增强了读者的参与感和探索欲。书中对“乘法公式”（multiplication formula）的推导，以及如何利用这些公式来计算高次倍点，这些内容对于理解椭圆曲线在密码学中的应用至关重要，作者的处理方式非常细腻，每一步的逻辑都清晰可见。此外，这本书还触及了“模方程”（modular equations）及其在构造模曲线（modular curves）中的作用。虽然这部分内容涉及更高级的代数几何概念，但作者通过对这些抽象结构的直观解释，让读者能够初步领略到其魅力。我很喜欢书中关于“群同态”（group homomorphism）和“同源”（isogeny）的讨论，这些概念对于理解不同椭圆曲线之间的关系至关重要，并且在密码学中有直接的应用。总而言之，这本书在数学的严谨性和易懂性之间找到了一个极佳的平衡点。

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作为一名对理论数学充满热情的学生，我认为《Elliptic Curves》这本书提供了一个非常全面且深入的学习路径。作者在内容组织上极其严谨，从椭圆曲线的基本定义开始，逐步引导读者进入其代数结构和算术性质的研究。我特别欣赏书中关于“模形式”（modular forms）与椭圆曲线之间深刻联系的论述，这部分内容为理解“谷山-志村猜想”（Taniyama-Shimura conjecture）奠定了坚实的基础，也让我领略到了数学不同分支之间令人惊叹的和谐统一。作者在处理复杂证明时，始终保持着清晰的逻辑和详尽的步骤，并且会提供必要的背景知识和解释，这使得即便是初次接触这些概念的读者也能跟上思路。书中关于“Tate L-function”和“Birch and Swinnerton-Dyer conjecture”的章节，虽然涉及的是数学研究的前沿领域，但作者以一种允许入门者理解核心思想的方式进行了阐述，这对我个人的学术发展提供了极大的启发。这本书不仅仅是理论知识的堆砌，更是数学思想的精妙展现，它鼓励读者去探索数学的内在美。

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我最近阅读的《Elliptic Curves》这本书，让我对数学中一个如此重要且迷人的分支有了全新的认识。作者的写作风格非常注重细节，并且能够以一种非常易于理解的方式来解释一些非常抽象的概念。例如，在介绍群论的语言来描述椭圆曲线上的点时，作者会非常仔细地解释每一步的逻辑，以及点在几何上是如何组合的，这使得我对“点加法”和“点乘法”有了非常深刻的理解。书中对“j-invariant”的讨论尤为精彩，它不仅仅是定义了一个不变量，更是揭示了它在连接不同数学分支中的核心作用。作者详细介绍了j-invariant如何将椭圆曲线与模形式联系起来，这让我看到了数学的统一性和深度。此外，书中对“复乘”（complex multiplication）的深入探讨，让我得以一窥一些特殊的椭圆曲线所拥有的丰富代数结构，以及这些结构如何导向深刻的数论结果。作者并没有回避一些复杂的证明，但他总能提供足够的背景知识和辅助解释，使得即便是初次接触这些概念的读者也能有所收获。这本书的内容涵盖了从基础的几何描述到复杂的算术理论，为我提供了一个非常全面的学习框架。

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作为一名希望系统学习椭圆曲线理论并将其应用于研究的博士生，我发现《Elliptic Curves》这本书提供了极其详实且严谨的论述。作者在内容的组织上，展现了对该领域深刻的理解。从介绍椭圆曲线的定义，到深入探讨其上的群结构，再到连接模形式和算术几何的深刻见解，每一个章节都精心设计，环环相扣。我特别欣赏书中对“模形式与椭圆曲线对应”的详尽介绍，这不仅仅是陈述一个定理，更是详细展示了“谷山-志村猜想”（Taniyama-Shimura conjecture）的演变和证明过程，这对于理解现代数论的发展脉络具有里程碑式的意义。作者在讲解过程中，并没有回避复杂的技术细节，而是以一种逐步深入的方式，引导读者理解这些深奥的证明。例如，对于“Weil pairing”的构造和性质，作者进行了非常细致的梳理，这对于理解椭圆曲线的代数几何性质至关重要。书中还涉及了“L函数”（L-functions）及其在算术几何中的应用，尤其是对“Birch and Swinnerton-Dyer猜想”的介绍，虽然这是一个未完全解决的难题，但作者清晰地阐述了该猜想的内容、它与椭圆曲线阶（rank）的关系，以及现有的一些进展，这为我的研究方向提供了极大的启发。这本书的参考文献也非常丰富，为进一步的深入研究提供了宝贵的线索。

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