Principles of Random Walk. (ZZ) (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:F. Spitzer

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2001-3

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387951546

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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随机游走原理 (Principles of Random Walk) 概述 随机游走，作为一种描述粒子在离散或连续空间中随机移动过程的数学模型，已成为概率论、统计物理、计算机科学、金融数学乃至生物学等诸多领域研究的核心工具。本书《随机游走原理》旨在深入浅出地剖析随机游走模型及其广泛应用，为读者提供一套严谨而全面的理论框架，并展示其在解决实际问题中的强大威力。本书的目标读者涵盖了对概率论、统计物理、或相关应用领域有浓厚兴趣的本科高年级学生、研究生以及研究人员。 内容要点 本书的结构设计循序渐进，从最基本的随机游走概念出发，逐步深入到更复杂的模型和前沿的研究方向。 第一部分：基础理论与经典模型 第一章：随机游走的定义与基本性质 我们将从最直观的离散时间、离散空间随机游走模型（如简单随机游走）开始，精确定义其状态空间、转移概率以及一些基本概念，如路径、步数、末端位置等。 介绍诸如期望值、方差、概率分布等统计量如何描述随机游走的统计特性。 重点探讨随机游走的一些核心性质，例如马尔可夫性、齐次性等，这些性质是理解后续模型的基础。 引入扩散（diffusion）的概念，并说明随机游走是描述扩散现象的一种基本模型。 第二章：一维随机游走 详细分析一维情况下的随机游走，包括伯努利随机游走（也称为简单随机游走）。 推导随机游走在固定步数后的概率分布，分析其均值和方差随步数的变化趋势。 深入研究首次到达时间和回归性质。我们将计算到达某个特定点的期望时间，并证明在某些条件下，随机游走是“常返的”（recurrent），意味着它几乎必然会回到起点。 讨论吸收态和避开态的概念，例如在一维情况下，设置吸收边界或避开边界对随机游走行为的影响。 第三章：高维随机游走 将一维的理论推广到二维、三维及更高维度的网格空间。 分析高维随机游走在不同维度下的常返性差异，解释为什么维度是影响其统计行为的关键因素。 探讨高维空间中随机游走的一些特殊现象，例如空间膨胀率。 第四章：连续时间随机游走 介绍将时间也视为连续变量的模型，例如泊松过程驱动的随机游走。 分析其与离散时间模型的联系与区别，以及在何种情况下连续时间模型更为合适。 引入马尔可夫链的概念，并将其作为更一般化的框架来理解随机游走。 第二部分：进阶模型与理论工具 第五章：随机游走的中心极限定理与大数定律 深入研究随机游走的位置分布在大量步数后的渐近行为。 详细阐述中心极限定理如何应用于随机游走，说明其最终位置的分布趋向于正态分布。 讨论大数定律在随机游走中的体现，例如平均位移的渐近性质。 第六章：随机游走与随机过程 将随机游走置于更广阔的随机过程理论背景下。 介绍一些重要的随机过程，如布朗运动（维纳过程），并展示如何从离散的随机游走模型逼近连续的布朗运动。 探讨随机游走与泊松过程、高斯过程等其他经典随机过程之间的关系。 第七章：格林函数方法 引入格林函数这一强大的数学工具，用于分析特定区域内或边界条件下随机游走的性质。 展示如何利用格林函数计算到达概率、平均首达时间等重要量。 讨论格林函数在解决偏微分方程中的应用，以及其与随机游走之间的深刻联系。 第八章：随机游走的驻留时间与遍历性 研究随机游走在不同状态或区域内停留的时间分布。 定义并分析驻留时间的统计性质，例如平均驻留时间。 探讨遍历性的概念，即在长时间内，系统在不同状态的停留比例趋向于稳态分布。 第三部分：应用与前沿研究 第九章：随机游走在统计物理中的应用 展示随机游走如何模型化诸如分子扩散、相变、临界现象等物理过程。 介绍蒙特卡洛方法，尤其是Metropolis-Hastings算法等，它们的核心思想是利用随机游走在状态空间中进行采样。 讨论随机游走在统计力学模型（如伊辛模型）中的作用。 第十章：随机游走在计算机科学与算法中的应用 探讨随机游走在图论、网络分析中的应用，例如随机图的遍历、PageRank算法的原理。 介绍随机游走在优化算法中的应用，例如模拟退火。 讨论随机游走在采样算法（如MCMC）和随机算法设计中的作用。 第十一章：随机游走在金融数学与生命科学中的应用 在金融领域，介绍随机游走如何用于模型化股票价格的波动，以及期权定价（如Black-Scholes模型与随机游走模型的联系）。 在生命科学领域，分析随机游走如何描述生物分子的运动（如受体动力学），动物的觅食行为，或疾病的传播模型。 第十二章：非对称随机游走与复杂随机游走 超越简单的对称随机游走，介绍具有方向偏倚的非对称随机游走。 探讨有色噪声、时变转移概率等更复杂的随机游走模型。 简要介绍一些前沿研究方向，例如长程关联的随机游走、有记忆的随机游走等。 全书特色 严谨的数学推导： 本书注重理论的严谨性，每一个重要的结论都伴有清晰的数学推导和证明。 丰富的示例： 理论讲解穿插大量具体的例子，帮助读者理解抽象概念，并展示随机游走模型的实际应用。 循序渐进的难度： 从最基础的模型入手，逐步引入更复杂的概念和工具，适合不同背景的读者。 广泛的应用视角： 涵盖了从基础科学到工程技术、再到金融和生命科学等多个领域的应用，展现了随机游走理论的普适性。 强调直观理解： 在数学推导的同时，也致力于提供直观的解释和物理图像，帮助读者建立深刻的理解。 通过本书的学习，读者将能够深刻理解随机游走这一基本但强大的数学工具的原理，掌握分析和建模随机现象的方法，并具备将其应用于解决跨学科问题的能力。

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对于一个希望将随机游走理论应用于实际工程问题的研究者来说，这本书提供了必要的理论深度，但同时在应用案例的选择上略显保守。书中虽然涵盖了经典的概率论应用，比如赌徒破产问题和布朗运动的初步介绍，但对于现代计算科学和数据科学中随机游走越来越重要的角色（如网络分析中的PageRank算法或模拟退火等），则提及不多。这本书更侧重于纯粹的概率论和测度论基础的打磨。从学术研究的角度看，这无疑是一本经典的参考书，是奠定理论基石的佳作。然而，如果读者期待一本能够快速上手解决具体工程难题的“工具书”，可能会觉得理论的铺垫稍显冗长。但话说回来，没有这样的坚实基础，后续的应用也难以深入。

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一本关于随机游走基础的著作，读完之后，我感觉自己对这一领域的理解又上了一个新的台阶。书中的内容组织得非常有条理，从最基础的马尔可夫链讲起，逐步深入到更复杂的随机过程。作者在推导过程中非常注重细节，每一步的数学逻辑都清晰可循，这对于初学者来说无疑是一大福音。特别是对那些希望深入理解随机游走在不同维度空间中的行为的读者，这本书提供了坚实的理论基础和大量的实例分析。我特别欣赏作者在解释一些看似抽象的概念时，能够结合实际的物理或概率模型进行阐述，使得原本枯燥的数学推导变得生动起来。这本书的深度和广度都让人印象深刻，它不仅仅是一本教材，更像是一本深入探索随机性世界的指南。对于任何想要在随机过程领域进行深入研究的学者或学生来说，这本书都是一个不可多得的参考资料。

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这本书的排版和装帧质量非常高，作为“Graduate Texts in Mathematics”系列的一员，这一点是毋庸置疑的。纸张的质感和印刷的清晰度都达到了专业水准，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。内容方面，作者在构建随机游走模型时，展现了深厚的数学功底。书中对各种边界条件和吸收态的处理方式进行了详尽的讨论，这些是许多其他入门书籍常常一笔带过的地方。我尤其喜欢其中关于极限分布和遍历性的章节，作者通过严谨的证明阐述了这些核心概念，并且穿插了一些历史上的经典问题，让整个阅读过程充满了探索的乐趣。这本书的难度适中，虽然是面向研究生的教材，但对于有扎实微积分和线性代数基础的本科高年级学生来说，也是一个很好的挑战和提升机会。

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阅读这本书的过程，就像是在攀登一座数学高峰。作者对细节的关注程度达到了令人发指的地步，以至于我在查阅某些特定定理的精确表述时，这本书总是能提供最权威、最无懈可击的版本。我特别欣赏作者在讨论收敛性定理时所展现的技巧，不同收敛模式（依概率收敛、几乎必然收敛等）的区分和比较，处理得极其到位。这本书的语言风格非常正式、精确，几乎没有一句多余的话，完全符合顶尖数学教材的风格。它要求读者投入大量的时间和精力去消化每一个定义和引理，但作为回报，读者将获得对随机游走这一核心概念无与伦比的洞察力。它不是一本轻松的读物，但绝对是值得反复研读的经典。

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我花了很长时间才看完这本书的几个关键章节，最大的感受是其内容的严谨性令人敬畏。作者似乎将随机游走理论的每一个角落都进行了细致入微的剖析。书中对鞅论在随机游走中的应用介绍得尤为出色，这部分内容对于理解更高级的随机分析至关重要。我注意到书中在引入新概念时，总是会先给出直观的解释，然后立即跟上严格的数学定义和定理，这种“双重奏”的学习方式非常有效。尽管有些证明过程略显繁琐，但正是这种“不跳步”的教学方法，让我能够真正理解每一个数学步骤背后的物理意义。这本书的价值在于它构建了一个完整的知识体系，而不是仅仅罗列公式和定理。它强迫读者去思考随机性背后的深层结构。

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