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出版者:Chapman & Hall/CRC

作者:Chow, Pao-liu

出品人:

頁數:281

译者:

出版時間:2007-3-19

價格:USD 83.95

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9781584884439

叢書系列:

圖書標籤:

Stochastic PDEs
Partial Differential Equations
Probability Theory
Mathematical Finance
Stochastic Analysis
Differential Equations
Numerical Analysis
Applied Mathematics
Calculus of Variations
Martingale Theory

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具體描述

As a relatively new area in mathematics, stochastic partial differential equations (PDEs) are still at a tender age and have not yet received much attention in the mathematical community. Filling the void of an introductory text in the field, Stochastic Partial Differential Equations introduces PDEs to students familiar with basic probability theory and Itô''s equations, highlighting several computational and analytical techniques.

Without assuming specific knowledge of PDEs, the text includes many challenging problems in stochastic analysis and treats stochastic PDEs in a practical way. The author first brings the subject back to its root in classical concrete problems. He then discusses a unified theory of stochastic evolution equations and describes a few applied problems, including the random vibration of a nonlinear elastic beam and invariant measures for stochastic Navier-Stokes equations. The book concludes by pointing out the connection of stochastic PDEs to infinite-dimensional stochastic analysis.

By thoroughly covering the concepts and applications of stochastic PDEs at an introductory level, this text provides a guide to current research topics and lays the groundwork for further study.

偏微分方程的幾何與拓撲方法作者： [在此處填寫真實作者姓名] 齣版社： [在此處填寫真實齣版社名稱] 齣版年份： [在此處填寫真實齣版年份] --- 圖書簡介本書深入探討瞭偏微分方程（PDEs）在現代數學物理中的核心地位，但其敘事視角完全聚焦於幾何、拓撲學以及微分幾何的強大工具如何為理解和求解非隨機性的偏微分方程提供革命性的框架。本書旨在彌閤純粹分析、幾何理論與應用數學之間的鴻溝，為高級研究人員和有誌於探索PDEs深層結構的研究生提供一套全新的思維工具箱。我們摒棄瞭傳統的傅裏葉分析或泛函分析的初級介紹，直接切入PDEs的幾何本質。全書結構圍繞“流形上的方程”、“對稱性結構”和“拓撲不變量”三大核心支柱展開。第一部分：流形上的偏微分方程（PDEs on Manifolds）本部分將基礎PDEs（如熱傳導方程、波動方程和拉普拉斯方程）提升到更抽象、更具幾何洞察力的層麵——黎曼流形上。第1章：黎曼幾何基礎與PDE的推廣我們首先迴顧必要的微分幾何知識，重點闡述切叢、協變導數和黎曼麯率張量。我們將詳細分析拉普拉斯-貝特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）的構造，解釋它如何成為在任意光滑流形上定義熱核和譜理論的自然推廣。我們將探討在非均勻介質中傳播的擴散過程，其核心在於流形的幾何結構而非歐幾裏得空間的平坦性。第2章：規範場論與微分形式本章將介紹德拉姆上同調（de Rham Cohomology）及其在PDE中的應用。我們將展示如何將諸如麥剋斯韋方程組（Maxwell's Equations）——這些是典型的四維時空上的綫性PDEs——重新錶述為對微分形式的外導數和霍奇分解的約束。通過理解這些方程在微分形式空間中的結構，我們可以清晰地看到，解的存在性和唯一性與流形拓撲（例如，流形的連通分支數或“洞”）的關聯，這遠超齣瞭經典分析方法所能揭示的範疇。第3章：測地綫與哈密頓-雅可比方程我們轉嚮動力學係統與PDE的交叉點。哈密頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equation）作為一階擬綫性PDE的典範，其解可以被解釋為最小作用量原理的幾何路徑。本章深入分析瞭測地綫方程的變分原理，探討瞭黎曼流形上測地綫的聚焦現象如何對應於哈密頓-雅可比解的奇性形成（如衝擊波的齣現）。我們將使用李亞諾夫指數來量化這些解的穩定性。第二部分：對稱性、不變性與守恒律本部分的核心在於利用PDEs內部的對稱性結構來簡化求解過程，特彆是與諾特定理（Noether's Theorem）相關的分析。第4章：李群與無窮小生成元我們將深入研究連續對稱性。通過李群理論，我們識彆齣作用於流形或解空間上的連續變換群。關鍵在於構造無窮小生成元（Infinitesimal Generators），這些生成元本身驅動著一組常微分方程（ODEs）。對於一個具有已知對稱性的PDE，我們可以通過尋找不變解（Invariant Solutions）來大幅降低問題的維度，從而將復雜的PDE問題轉化為更容易處理的ODE問題。第5章：守恒律的幾何解釋與精確解諾特定理將微分對稱性與能量、動量等物理量守恒聯係起來。本章將超越標準物理學的應用，側重於如何從代數結構（如李代數）直接推導齣精確的守恒量。我們將研究一些經典的非綫性方程（如Korteweg-de Vries, KdV 方程），展示它們的無窮多守恒量如何保證瞭其孤子解的長期穩定性，並探討這些守恒量如何構造齣精確解。第6章：等變映射與模空間當方程具有一組離散或連續的對稱性時，解往往聚集成一個“模空間”（Moduli Space）。本章探討瞭如何利用這些對稱性來對解進行分類，特彆是對於涉及幾何結構穩定性的方程，如極小麯麵方程。我們引入瞭穩定解的概念，即在對稱性群作用下保持不變的解，並討論瞭如何通過模空間的邊界來理解解的退化行為。第三部分：拓撲不變量與全局性質本部分探討PDE解的全局特性，這些特性對局部擾動具有魯棒性，並由底流形的拓撲結構嚴格決定。第7章：橢圓方程的譜理論與拓撲聯係我們聚焦於橢圓型PDEs，如希爾伯特空間上的拉普拉斯算子。本章的核心是譜分析，但重點放在瞭譜（即特徵值）與流形拓撲的聯係上，特彆是“聽聞形狀”（Hearing the Shape of a Drum）的問題。我們將介紹魏爾積分公式（Weyl's Law）的修正項，它們直接依賴於流形的麯率和邊界結構。第8章：拓撲度理論與非綫性解對於非綫性橢圓方程，例如彭加萊問題（Poincaré problems）或薛定諤方程，拓撲度（Topological Degree）理論成為證明解存在性的強大工具。我們將構建閤適的函數空間，並定義算子的拓撲度。本章將詳細演示如何利用拓撲度為負定的算子提供有界的“替代空間”，從而保證臨界點（即解）的存在性，特彆是周期解和多重解的存在性。第9章：特徵類與多重解最後，我們將探討更高級的拓撲不變量——特徵類（Characteristic Classes），如陳類（Chern Classes）。這些類是定義在嚮量叢上的，並且可以與某些重要的、具有全局意義的PDE（如規範理論中的楊-米爾斯方程）的解聯係起來。我們將展示如何利用這些類來區分具有不同拓撲構型的解集，即使這些解在局部看起來相似。本書以對復雜非綫性方程的整體、幾何驅動的理解作結。 --- 目標讀者：本書適閤熟悉經典分析技巧，並希望掌握現代幾何方法來解決偏微分方程問題的數學物理研究者、微分幾何學傢以及高級應用數學專業學生。對黎曼幾何和李群理論有初步瞭解者將受益最大。本書不假設讀者熟悉隨機過程理論。