Morse Theoretic Methods in Nonlinear Analysis And in Symplectic Topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Biran, Paul (EDT)/ Cornea, Octav (EDT)/ Lalonde, Francois (EDT)

出品人:

页数:462

译者:

出版时间:

价格:89.95

装帧:Pap

isbn号码:9781402042737

丛书系列:

图书标签:

• Morse理论
• 非线性分析
• 辛拓扑
• 拓扑学
• 微分几何
• 变分方法
• 临界点理论
• 数学分析
• 固定点定理
• 几何分析

深度聚焦：非线性分析与辛几何中的前沿探索 本书致力于深入探讨在现代数学物理交叉领域中，尤其是在非线性分析的复杂方程组处理以及辛拓扑的结构性研究中，一系列具有开创性意义的理论工具与技术。全书内容围绕泛函分析、微分几何、动力系统以及拓扑方法的最新进展展开，旨在为高阶研究人员提供一个全面且精深的知识框架。 第一部分：非线性分析中的泛函方法与变分原理 本部分将重心放在处理偏微分方程（PDEs）中由非线性项引起的复杂行为，特别是那些在物理学中具有基础意义的问题，如非线性椭圆方程、哈密顿系统以及耗散系统的长期演化。 1. Sobolev空间与临界点理论的深化 我们首先对经典的Sobolev空间理论进行扩展，引入加权Sobolev空间和Bessel势空间，用以分析具有奇点或边界层结构的解。重点讨论了利用Bourgain-Brezis引理和赵氏引理来控制非线性项的迹，从而保证解的存在性和正则性。 随后，深入探究山路定理（Mountain Pass Theorem）在高维空间中的推广及其局限性。本书引入了粘连方法（Gluing Methods）和微分散方法（Minimizing Methods）来克服经典变分方法在处理非紧算子时遇到的障碍。特别关注了折叠点（Saddle Points）和鞍点的分类，并结合微扰理论，构建了对多重解存在的严格论证。 2. 伪微分算子与非线性半群理论 在处理非线性演化方程，如非线性薛定谔方程（NLS）和Navier-Stokes方程时，伪微分算子的应用是不可或缺的。本章详述了Hörmander的参量化公式在分析非线性项与线性演化算子之间的相互作用中的作用。 重点构建了基于能量法和对偶测度（Dual Measures）的解的先验估计。对于强阻尼系统，我们详细分析了黏性解（Viscous Solutions）的构造过程，并利用$C_0$-半群理论证明了解的局部存在性和唯一性。对于全局解的存在性，则引入了耗散函数（Dissipative Functions）的概念，并与Lyapunov指数挂钩，以判定系统的长期稳定性。 3. 随机微分方程与随机演化系统 针对含有白噪声或分形噪声的非线性系统，本部分转向随机分析。我们详细阐述了Itô积分的推广（如Stratonovich积分的修正）以及在非线性框架下的Pathwise Uniqueness。 关键内容包括随机庞加莱映射在研究随机周期解上的应用，以及利用随机吸引子（Random Attractors）的理论来描述系统的长期统计行为。对随机分岔的分析，特别是利用Wong-Zakai定理将常微分方程（ODEs）的近似结果过渡到随机微分方程（SDEs）的严谨性论证，进行了细致的讨论。 --- 第二部分：辛拓扑与几何动力系统的基础结构 第二部分将视角转向几何结构，聚焦于辛流形上的拓扑不变量、可积系统以及它们与非线性分析中解的结构之间的深刻联系。 4. 辛流形上的函数空间与泊松结构 本书首先回顾了辛流形的定义及其上李宁根（Liouville Integrability）的概念，并引入了规范形式（Canonical Forms）的理论。 核心内容在于辛结构与函数空间的兼容性。我们研究了辛李群（Symplectic Lie Groups）上的轨道定理（Orbit Theorems），并探讨了Kähler流形上的拉普拉斯-德拉姆算子与辛拉普拉斯算子之间的差异和联系。重点分析了泊松积分流（Hamiltonian Flows）在辛流形上的作用，并利用Arnold-Liouville定理对可积系统的解进行了几何描述。 5. 辛拓扑中的拓扑不变量：规范理论的应用 辛拓扑与代数拓扑的交叉点在于不变量的寻找。本章深入探讨了如何利用规范场论（Gauge Theory）的工具来构造新的辛不变量。 详细阐述了Floer同调理论的构造基础，特别是Lagrangian的Floer同调。本书关注度量化（Quantization）的问题，即如何从辛几何的配对（Symplectic Pairing）过渡到拓扑K-理论或霍莫托皮群。讨论了Gromov-Witten不变量在计算辛流形上曲线计数方面的强大能力，并将其与非线性椭圆方程的索引理论联系起来。 6. 辛流形上的动力系统与稳定性分析 我们将动力系统的概念植入辛几何的框架中。重点研究辛哈密顿系统的周期解和准周期解。 引入了KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser Theory）的现代表述，侧重于共振现象（Resonance Phenomena）的分析。分析了Poincaré截面法在识别混沌行为方面的优势，并探讨了辛积分流的混沌性判据，例如利用Melnikov函数的零点来判断周期解的分岔。 最后，本书讨论了辛剪切映射（Symplectic Shearing Maps）的稳定性，并将这些几何稳定性结果应用于非线性分析中常微分方程的稳定中心分支问题。 --- 第三部分：方法论整合与交叉展望 本部分致力于将前两部分的工具进行整合，展望未来可能的研究方向。 7. 辛结构在非线性扩散模型中的作用 本章展示了如何将辛几何的思维方式应用于描述耗散或扩散系统。例如，在处理非线性热方程时，可以通过引入一个扩展的辛空间，使得耗散项可以被视为某种广义的“哈密顿量”的演化。 特别关注了半定性分析（Semi-Rigorous Analysis）的方法，其中辛流形的拓扑性质可以为扩散系统的长期吸引子提供限制，即使解析方法难以奏效。 8. 计算与数值方法的几何约束 最后，本书讨论了在数值模拟这些复杂系统时，如何保持辛结构或能量守恒的性质。重点介绍了辛积分算法（Symplectic Integrators），如Forest-Ruth算法和Runge-Kutta的辛推广，并分析了这些算法在长期演化模拟中相对于一般欧拉方法的优越性。这些几何约束的引入，是确保数值解在非线性和拓扑背景下保持意义的关键。 全书的写作风格严谨，逻辑链条清晰，旨在促进读者对这两个高度专业化领域的深刻理解与方法论的灵活运用。

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