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出版者:Dover Pubns

作者:Smith, Donald R.

出品人:

頁數:378

译者:

出版時間:1998-6

價格:$ 22.54

裝幀:Pap

isbn號碼:9780486404554

叢書系列:

圖書標籤:

• 優化
• 變分法
• 數值優化
• 數學規劃
• 凸優化
• 非綫性規劃
• 算法
• 計算數學
• 應用數學
• 優化方法

深入數值分析與計算方法：現代工程與科學應用指南 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的數值分析與計算方法框架，重點關注其在解決現代工程、物理學、經濟學及計算機科學等領域復雜問題的實際應用。本書不涉及變分法或優化理論的特定分支，而是側重於構建和分析算法的通用理論基礎，以及它們在數值求解過程中的穩定性和收斂性保證。 --- 第一部分：誤差分析與計算基礎 本書的開篇部分奠定瞭嚴謹的數學基礎，這是所有有效數值計算的基石。我們首先係統地探討誤差理論，區分截斷誤差、捨入誤差和模型誤差。詳細分析瞭浮點數的錶示、運算以及它們如何係統性地影響計算結果的精度。 矩陣代數與綫性係統求解： 綫性代數是數值分析的核心。本部分深入探討瞭求解大型稀疏和稠密綫性係統的方法。 直接法（Direct Methods）： 對高斯消元法（Gaussian Elimination）進行詳盡的剖析，包括LU分解、Cholesky分解（特彆適用於對稱正定係統）的穩定性和計算復雜度分析。著重講解瞭如何利用分塊策略和填充減少技術來優化稀疏矩陣的求解。 迭代法（Iterative Methods）： 針對超大規模問題，本書詳細闡述瞭經典迭代方法如雅可比（Jacobi）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）以及殘差法（SOR）。更進一步，我們引入瞭先進的子空間方法，包括Krylov子空間理論的建立，為後續的預處理技術打下基礎。 特徵值問題的數值解法： 討論瞭計算矩陣特徵值和特徵嚮量的實用算法。內容涵蓋瞭冪迭代法、反冪迭代法、QR算法的原理和其實際應用中的穩定性考量。對於大型對稱矩陣，將重點介紹Lanczos算法及其在降維計算中的優勢。 --- 第二部分：非綫性問題的數值求解 本部分聚焦於如何有效地處理和求解不具有解析解的非綫性方程和非綫性係統。 單變量非綫性方程求解： 對二分法（Bisection Method）、割綫法（Secant Method）以及牛頓法（Newton's Method）的收斂速度（綫性、超綫性、二次）進行瞭嚴格的數學證明和比較。著重分析瞭牛頓法在初始猜測敏感性及 Hessian 矩陣奇異性下的魯棒性改進策略。 多變量非綫性係統： 將牛頓法推廣到多維空間，並詳細討論瞭其在計算復雜性上的挑戰。在此基礎上，引入瞭擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），如BFGS和DFP算法，它們通過構造近似Hessian矩陣來避免昂貴的全矩陣求逆運算，是實際工程應用中的主流方法。 --- 第三部分：插值、逼近與函數重構 有效的函數錶示是數據處理和模擬的基礎。本部分深入探討瞭如何用易於計算的函數來近似復雜或離散的數據集。 插值技術： 涵蓋瞭拉格朗日插值、牛頓插值以及分段插值（如三次樣條插值Spline Interpolation）的構造、誤差界限和數值穩定性。特彆強調瞭樣條插值在保證二階連續性方麵的優越性，這在平滑數據麯綫時至關關重要。 函數逼近與最小二乘法： 介紹瞭最小二乘原理，不僅應用於綫性迴歸模型，還推廣到一般函數空間的離散最小二乘逼近。討論瞭正交多項式（如Chebyshev和Legendre多項式）在構建最佳逼近基上的作用，以最小化病態性。 數值積分（Quadrature）： 探討瞭如何精確地計算定積分。內容包括牛頓-科茨公式（Newton-Cotes formulas，如梯形法則、辛普森法則）、高斯求積（Gaussian Quadrature）的原理及其極高的收斂效率。我們還將討論復平麵上的積分方法的應用基礎。 --- 第四部分：常微分方程的數值積分 本部分專注於時間演化係統的數值模擬，是計算物理和工程仿真中的核心內容。 一階 ODEs 的數值方法： 詳細分析瞭歐拉法（Euler methods）的穩定性和區域。重點介紹Runge-Kutta（RK）方法傢族，特彆是四階RK方法（RK4）的構造及其在精度和計算成本之間的平衡。 多步法與區域穩定性： 引入瞭Adams-Bashforth和Adams-Moulton等多步法，討論瞭它們如何利用曆史信息提高效率，並嚴格分析瞭它們的穩定性和可區域性（A-stability），這對求解剛性（Stiff）微分方程至關重要。 剛性方程處理： 專門設立章節討論剛性方程的特點及其對顯式方法帶來的限製。詳細介紹瞭隱式方法（Implicit Methods），如後嚮歐拉法（Backward Euler）和隱式Runge-Kutta方法，以及使用代數求解器（如Broyden's method）來求解每一步的非綫性方程。 --- 第五部分：偏微分方程（PDEs）的離散化方法 本書的最後部分將分析如何將連續的偏微分方程轉化為可計算的代數係統，這是計算流體力學（CFD）和有限元分析（FEA）的理論基礎。 有限差分法（FDM）： 詳細推導瞭擴散方程、對流方程和波動方程在直角坐標係下的各種差分離散格式（一階、二階精度）。重點分析瞭迎風格式（Upwind Schemes）在對流項處理中的穩定性和耗散性。 有限體積法（FVM）簡介： 介紹FVM的基本理念，即基於守恒律在控製體積上的積分形式，這在流體動力學中至關重要。 譜方法與高精度計算： 簡要介紹傅裏葉譜方法，展示瞭其在解決具有光滑解的PDE時，能夠實現指數級的收斂速度，是目前高保真模擬的重要工具。 總結： 本書的結構旨在培養讀者對數值方法的深刻理解，不僅停留在算法的“如何使用”，更深入到其“為何有效”以及“在何種條件下失效”。每一章都穿插瞭大量的案例分析和僞代碼描述，確保理論與實踐的緊密結閤，為高級研究和工業應用提供堅實的計算工具箱。本書的重點在於計算的準確性、穩定性和效率，完全側重於算法的構建和分析，而非特定應用領域的建模或最優化目標函數的構造。

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