Elementary Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Waveland Pr Inc

作者:Eynden, Charles Vanden

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:

价格:52.95

装帧:HRD

isbn号码:9781577664451

丛书系列:

图书标签:

• number theory
• elementary number theory
• mathematics
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《代数几何初步》 导言 代数几何是现代数学中一个迷人且深邃的分支，它以代数工具（特别是多项式环和理想）来研究几何对象（如曲线、曲面及更高维度的空间）。本书旨在为具备扎实代数基础（如群论、环论和域论）的读者提供一个全面而深入的代数几何入门。我们将从最基本的概念出发，逐步构建起一个清晰的理论框架，涵盖古典代数几何的核心思想，并引入现代代数几何的关键工具，特别是概形（Scheme）理论的初步概念。 本书的结构旨在平衡抽象性和直观性。我们首先从复射影空间 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$ 上的经典代数集（Algebraic Sets）入手，通过研究零点集（Vanishing Loci）来理解多项式与几何形状之间的关系。随后，我们将转向更具代数特性的概念，如理想与代数集的对应关系，这自然地引出了射影代数簇（Projective Algebraic Varieties）的概念。 第一部分：经典代数几何基础 第一章：仿射空间与代数集 本章首先定义 $n$ 维仿射空间 $A^n = k^n$，其中 $k$ 是一个任意域。我们重点研究由多项式理想 $I subset k[x_1, dots, x_n]$ 定义的零点集 $V(I)$，即代数集。核心工作是建立希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的各个版本。我们将详细论证著名的“点－理想”对应关系：仿射空间中的代数集与其对应的理想之间存在着一一的反向对应。 我们引入了主的概念——坐标环 $k[V] = k[x_1, dots, x_n]/I(V)$，并讨论了它作为度量几何结构的一个代数表征。两个代数集同构（在它们的坐标环同构的意义下）的条件将被详细阐述。本章的最后一部分将探讨不可约代数集，即代数簇（Algebraic Varieties），并引入了维度的概念，主要通过主理想的生成元个数和环论中的Krull维度进行关联。 第二章：射影空间与射影代数簇 为了克服仿射空间中对“无穷远点”处理的不足，我们引入了射影空间 $mathbb{P}^n(k)$ 的定义，基于 $k^{n+1} setminus {0}$ 上的等价关系 $(x_0, dots, x_n) sim (lambda x_0, dots, lambda x_n)$。我们将研究齐次多项式和齐次理想，以及由此定义的射影代数簇。 射影空间中的几何性质通常比仿射空间更优美。本章将侧重于射影空间的开补集结构，即仿射开集 $U_i$ 的覆盖。我们将定义射影簇的度数（Degree）和本原性的概念，并开始探讨如何通过研究局部性质来理解全局结构。费马二次曲线 $x_0x_3 - x_1x_2 = 0$ 将被用作贯穿本章的实例，帮助读者理解射影代数簇的几何直观。 第三章：态射（Morphisms）与有理映射 几何研究的核心在于研究对象之间的结构保持的映射。本章定义了代数簇之间的态射，即在局部上由多项式定义的映射。我们证明了态射的等价刻画：从代数簇 $V$ 到 $mathbb{P}^m$ 的态射 $f: V o mathbb{P}^m$ 与坐标环的同态 $f^: k[ mathbb{P}^m ] o k[V]$ 之间存在自然的一一对应。 随后，我们讨论了有理映射（Rational Maps），这是态射的推广，允许在某些点上没有定义。我们首次引入了“不可约多项式在 $V$ 上的零点集是 $V$ 的闭子集”这一关键性质，为后续不可约性分解的严谨证明奠定了基础。 第二部分：簇的局部性质与正则函数 第四章：局部环与奇点 几何直观告诉我们，空间上光滑的点比有奇点的点更容易理解。本章侧重于从代数角度精确地定义“光滑性”。我们引入了局部化（Localization）的概念，构建了簇 $V$ 上任意一点 $P$ 的局部环 $mathcal{O}_{V, P}$。这个环是所有定义在 $P$ 邻域内的有理函数在 $P$ 处的局部限制。 我们利用局部环的极大理想来定义该点处的切空间（Tangent Space）。关键结果是：一个点 $P$ 是光滑的，当且仅当其局部环 $mathcal{O}_{V, P}$ 是一个正则局部环（Regular Local Ring），或者更具体地说，其局部化后的下降维度（下降的余维度）等于环的余维度。我们将通过实例分析曲线和曲面上的尖点和交点等经典奇点。 第五章：维度理论的深入 维度概念在第一章中只是直观引入，本章将通过更严格的环论工具深化理解。我们利用 Krull 维度的定义，并结合阿贝尔-珀金定理（Akizuki-Hopkins-Levitzki Theorem），证明了代数簇的维度在仿射和射影坐标系下是一致的，并且与局部环中的正则参数个数相关。对于不可约代数簇 $V$，其维度 $dim(V)$ 被定义为 $dim(mathcal{O}_{V, P})$，并证明了 $dim(V)$ 是其坐标环的 Krull 维度。 第三部分：向概形理论过渡 第六章：预层与层 为了更灵活地处理局部数据，我们开始构建现代代数几何的语言：层论。本章定义了预层（Presheaf）和层（Sheaf）的概念，重点关注阿贝尔群层。我们构造了代数簇上的结构层 $mathcal{O}_V$，即正则函数层，它将每个开集 $U subset V$ 映射到在 $U$ 上定义的所有代数函数的环 $mathcal{O}_V(U)$。 我们将阐明“层”的两个基本公理（局部同一性与一致性），并通过经典的例子——例如，在仿射空间上定义的连续函数层——来检验这些公理。 第七章：概形初步 虽然本书主要集中在经典代数簇，但为了展示未来的方向，本章将简要介绍概形（Scheme）的构造。我们将域 $k$ 上的环谱 $operatorname{Spec}(R)$ 定义为具有素理想作为其点的拓扑空间，配备了由 $R$ 的局部化定义的结构层。 我们将展示如何将我们之前研究的代数簇视为特定的概形，即“经典概形”或“Reduced Schemes”。这提供了一个统一的框架，使得我们可以用“谱理论”来研究几何对象，这对于处理特征非零域上的代数几何至关重要。我们将定义一个“态射”的概形版本，即环同态诱导的连续映射，并简要提及推广到任意交换环的必要性。 结论 本书提供了从经典代数几何到现代概形理论的稳固桥梁。通过对代数集、代数簇、局部性质和层论的系统性研究，读者将不仅掌握代数几何的基本工具，还能为进一步学习如范畴论、交换代数高级主题以及更精细的几何不变式（如上同调）做好准备。代数与几何的深刻结合，构成了本书的核心魅力。

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