Dirac Operators: Yesterday and Today pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:International Press

作者:Bourguignon, Jean-Pierre etc.

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:

价格:80

装帧:HRD

isbn号码:9781571461759

丛书系列:

图书标签:

• Dirac operators
• Mathematical physics
• Operator theory
• Spectral theory
• Index theory
• Noncommutative geometry
• Quantum mechanics
• Topology
• Functional analysis
• Representation theory

跨越时代的数学思辨：经典解析与前沿探索 《几何、拓扑与经典分析的交汇点：理论物理的基石与新视野》 本书是一部深入探讨数学基础及其在理论物理中应用的综合性著作。它旨在为研究人员、高年级本科生及研究生提供一个坚实的平台，用以理解那些塑造了现代物理学图景的核心数学结构，并揭示这些结构在当前研究前沿所扮演的关键角色。全书结构严谨，内容涵盖了从经典分析的严密基础到现代几何与拓扑学思想的精妙融合，重点聚焦于那些支撑起量子场论、广义相对论及凝聚态物理等领域的核心数学工具。 第一部分：分析学的严谨基础与演化 本部分将从分析学的基本公理体系出发，对傅里叶分析、测度论和泛函分析进行一次全面而深入的回顾与重构。我们不再将这些视为孤立的工具箱，而是将其置于一个统一的数学框架内进行考察。 1.1 测度论的现代解读：从勒贝格到索伯列夫空间 首先，我们详细阐述了勒贝格积分理论的构建，强调其相较于黎曼积分在处理病态函数和极限交换上的优越性。随后，我们将讨论测度空间的拓扑性质，特别是波雷尔集和紧性概念在无限维空间中的推广。核心内容在于对Sobolev空间（索伯列夫空间）的深入剖析。我们将详细推导这些空间中函数的多重导数的弱形式定义，并严格证明它们作为函数空间满足完备性的事实。这为后续讨论偏微分方程的弱解提供了不可或缺的分析基础。我们特别关注了嵌入定理（如Sobolev嵌入定理），探讨了函数在不同阶数导数空间之间的依赖关系，这对理解物理系统中的能量泛函和正则性至关重要。 1.2 泛函分析的几何直观：希尔伯特空间与算子理论 本章聚焦于无限维线性空间——希尔伯特空间。我们从向量空间的基本公理出发，引入内积、完备性以及正交分解的概念。重点讨论了自伴随算子（Self-Adjoint Operators）的谱理论。我们详细展示了谱定理是如何将复杂线性算子的性质与其在希尔伯特空间上的分解联系起来的。通过引入谱测度，我们将算子的运算与其在各个特征子空间上的作用清晰地联系起来，这为量子力学的可观测量提供了严格的数学对应。此外，本书还探讨了紧算子、迹类算子以及半有限算子，并讨论了它们在Schrödinger方程时间演化理论中的应用。 第二部分：微分几何与流形上的分析 现代物理学，尤其是广义相对论和规范场论，严重依赖于微分几何的语言。本部分致力于建立起从经典微分到微分几何结构的桥梁。 2.1 流形的拓扑与光滑结构 我们从局部坐标系和转移函数的一致性要求出发，定义了光滑流形。不同于仅仅停留在拓扑概念上，本书强调了可定向性和可微性在物理描述中的物理意义。我们引入了向量场、张量场以及张量场的培养（Covariant Derivative）概念，并详细考察了流形上微分的链式法则的张量表述。对黎曼几何的介绍从度规张量（Metric Tensor）的定义开始，并重点讨论了测地线方程，阐述了它作为“最小路径”在弯曲时空中的几何实现。 2.2 微分形式与外代数 本章是连接分析与几何的关键。我们系统地介绍了外微分（Exterior Differentiation）和楔积（Wedge Product）。通过楔积构建的$k$阶微分形式被视为$k$重线性、反对称的泛函。我们详细推导了De Rham上同调的构造，并清晰阐述了Stokes'定理的推广形式（广义Stokes定理），即 $int_{partial M} omega = int_{M} domega$。这一强大的积分公式被置于数学框架的核心，展示了微分形式如何统一了经典的格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理，成为处理场方程积分守恒律的通用语言。 第三部分：群论与对称性的数学结构 对称性在物理学中是决定性的。本部分将分析的工具应用于群论的抽象结构，特别是李群和李代数。 3.1 李群与李代数的核心联系 我们首先介绍李群的概念，将其视为一个具有光滑结构的群。随后，我们定义了李括号，并严格证明了群乘法在单位元附近的局部结构由其李代数完全决定。本书详细阐述了如何从一个李代数（如 $mathfrak{so}(3)$ 或 $mathfrak{su}(2)$）重建其对应的连通李群，重点讨论了指数映射（Exponential Map）。 3.2 表示论与物理图像 本部分的核心是群的表示论，即在希尔伯特空间上实现群元素作为酉算子的方式。我们区分了有限维表示和无限维表示，并重点讨论了完约性（Irreducibility）的概念。对于紧致群，我们应用了升降算子的方法来处理 $mathfrak{su}(2)$ 的角动量表示，这直接对应于量子力学中的自旋量子化。此外，我们探讨了舒尔引理在区分不同表示时的作用，并为后续理解规范场论中的规范群的表示（如规范玻色子的自由度）奠定了必要的代数基础。 第四部分：前沿交汇：算子代数与量子信息 最后，本书将目光投向了20世纪后期兴起的理论结构，特别是它们在量子理论和数学物理交界处的应用。 4.1 非交换几何的雏形 在分析和几何的交汇处，我们简要引入了非交换代数的概念，作为对经典流形概念的推广。通过研究 $C^$-代数，我们探讨了如何用代数方法来描述那些缺乏经典几何结构的空间。这部分内容旨在展示如何将泛函分析中的算子代数理论应用于对经典几何概念的更深层次理解。 4.2 算子理论在凝聚态物理中的应用 本章将聚焦于如何利用无限维希尔伯特空间上的谱分析来处理具有大量自由度的量子系统。我们讨论了平均场理论中算子对易关系的重要性，以及Kubo公式等热力学关联函数如何通过对算子群的展开和分析来获得。特别是对格林函数的讨论，强调了它们作为算子在时间演化下的期望值，如何通过解析延拓和留数定理在物理中得到有效计算。 总结 本书的结构旨在引导读者建立一个统一的数学视角，理解数学概念是如何在不同的物理领域中（从经典力学到量子场论）不断被重构和应用。它不仅提供了必要的严密证明，更着重于揭示这些数学结构背后的深刻几何直觉和分析联系，为深入研究现代理论物理的任何一个分支提供了不可或缺的理论支撑。

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