An Introduction To The Geometry Of Stochastic Flows pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Baudoin, Fabrice

出品人:

页数:140

译者:

出版时间:

价格:542.48元

装帧:HRD

isbn号码:9781860944819

丛书系列:

图书标签:

• Stochastic Flows
• Rough Paths
• Stochastic Analysis
• Geometric Analysis
• Probability Theory
• Differential Equations
• Mathematical Finance
• Martingale Theory
• Itô Calculus
• Regularity Structures

好的，以下是一份关于一本名为《随机流动的几何学导论》的图书的详细简介，该简介内容完全围绕该书可能涵盖的核心主题展开，但不直接引用或复述该书的书名，而是着重描述其领域和深度。 --- 【图书简介：随机系统的几何结构与动力学】 本书深入探讨了在随机扰动下演化的动力学系统的几何结构和拓扑性质。核心关注点在于，如何利用微分几何、黎曼几何以及概率论的工具，对那些本质上由随机过程驱动的连续时间系统进行严谨的数学描述和分析。这不仅是对传统确定性动力学理论的扩展，更是对现代物理、工程、金融乃至生物学中普遍存在的随机现象的深刻洞察。 第一部分：概率空间与流的基础框架 本部分奠定了分析随机系统所需的数学基础。我们首先从现代概率论的视角出发，详细阐述了概率空间、随机变量及其矩的性质。随后，引入了随机过程的核心概念，特别是马尔可夫过程和鞅论，它们是描述系统时间演化的基本语言。 在几何框架的构建上，本书着重于引入随机流（Stochastic Flows）的概念。这需要对光滑流形（Smooth Manifolds）理论进行回顾，重点强调了切丛、向量场以及常微分方程（ODE）解的整体行为。然而，随机系统的关键区别在于，驱动力不再是光滑的向量场，而是由随机微分方程（SDE）描述的具有噪声项的场。我们将精确地定义随机微分的积分（如伊藤积分），并展示如何利用这些工具来构造具有良好性质的随机映射——即随机流。对随机流的理解是后续所有几何分析的基石，它要求读者掌握随机积分的收敛性、路径依赖性以及在不同拓扑结构下的连续性。 第二部分：随机系统的黎曼几何视角 将几何工具应用于随机流，要求我们超越传统的欧几里得空间。本书详细介绍了黎曼流形上的概念，如测地线、曲率张量（里奇、斯卡拉）以及共变导数。关键的一步是将这些概念推广到随机背景下。 我们探讨了随机流诱导的切丛上的映射。当流作用于流形上的一点时，它也会作用于该点的切空间。随机性使得这种诱导映射不再是确定的，从而引入了随机切片上的度量和“随机曲率”的概念。这部分内容涉及随机微分方程的变分原理，利用雅可比行列式和庞加里公式的随机版本来研究流的局部扩张和收缩率，这与确定性系统中的李雅普诺夫指数密切相关，但需要更精细的概率平均处理。我们引入了随机测地线方程，研究在噪声影响下，系统如何倾向于沿着“平均最短路径”演化。 第三部分：随机拓扑与稳定性分析 随机系统的一个重要特征是其对初始条件的敏感性——这通常被称为“噪声驱动的混沌”。本书运用拓扑学和概率论的交叉工具来量化这种敏感性。 重点分析包括随机李雅普诺夫指数的计算和估计。这些指数衡量了相邻随机轨道在长时间尺度上的分离速率。我们详细分析了指数的概率分布，而不是仅仅计算其期望值，因为指数的极端值往往决定了系统的长期行为。 此外，本书还深入研究了不变集和吸引子的随机版本。对于一个随机动力系统，其吸引子不再是一个精确的集合，而是一个具有高概率的区域或一个概率测度。我们利用鞅收敛定理和遍历理论，分析了系统的平稳分布（Stationary Distribution）。在黎曼流形上，这涉及到随机梯度下降过程的收敛性，以及如何利用霍夫曼-维纳（Hofmann-Wiener）等理论来确定哪些几何特征（如边界或特定子流形）会吸引几乎所有的系统轨道。我们还会涉及随机系统的混合时间（Mixing Time）的几何估计，即系统达到平稳状态所需的时间尺度，这对于模拟和控制应用至关重要。 第四部分：随机流的应用与前沿课题 最后，本书将理论框架应用于几个关键领域，展示随机几何在现代科学中的实际威力。 在随机微分几何中，我们探讨了随机测地线方程的解的性质，以及它们如何描述粒子在有噪声力的介质中的传输。在随机控制理论中，我们利用随机流的几何性质来设计最优的反馈控制律，目标是稳定或引导系统至特定的几何构形，这涉及到庞特里亚金极大值原理在随机环境下的推广。 此外，我们还触及了随机同胚（Stochastic Homeomorphism）的概念，即研究在噪声下流形拓扑结构保持不变的条件。这对于理解大规模网络（如神经元网络或金融市场模型）的鲁棒性至关重要。通过引入随机曲率下界的概念，我们可以对系统的全局行为做出强有力的推断，例如确定系统是否会“逃逸”到无穷远，或者被限制在流形的紧凑子集内。 本书的难度要求读者对概率论（特别是随机过程）和微分几何有坚实的背景知识。它旨在为研究生和研究人员提供一个严谨的、几何驱动的工具箱，以应对和理解复杂系统的随机动力学。

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