Combinatorics, Complexity, and Chance pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Oxford Univ Pr

作者:Grimmett, Geoffrey (EDT)/ Mcdiarmid, Colin (EDT)

出品人:

页数:322

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 111.87

装帧:HRD

isbn号码:9780198571278

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 复杂性理论
• 概率论
• 随机性
• 算法
• 离散数学
• 信息论
• 博弈论
• 图论
• 数学建模

数理逻辑与算法设计：理论基础与前沿应用 本书聚焦于离散数学、计算理论与算法设计领域的核心概念与最新进展，旨在为读者提供一个扎实而深入的理论框架，并展示这些理论在现代计算机科学、优化问题和复杂系统建模中的实际应用。全书结构严谨，内容覆盖面广，从基础的集合论、图论与数理逻辑，逐步过渡到高级的计算复杂性理论、概率方法在离散结构中的应用，以及面向实际问题的算法优化策略。 --- 第一部分：离散结构的基石与形式化推理 (Foundations of Discrete Structures and Formal Reasoning) 本部分奠定了全书的理论基础，侧重于构建描述和分析计算问题的数学语言。 第一章：集合论与关系代数 深入探讨集合的严格定义、基数理论及其在构建数学结构中的作用。重点剖析等价关系、偏序关系（如格和偏序集）的性质及其在数据分类和排序问题中的应用。讨论超限归纳法和选择公理（ZFC）的哲学与实践意义。 第二章：数理逻辑与证明理论 系统介绍命题逻辑和一阶谓词逻辑的语法、语义和推理规则。详细阐述完备性定理（Completeness Theorem）和紧凑性定理（Compactness Theorem）的意义。深入探讨自然演绎系统和序列演算，并将其应用于验证程序规范的正确性。特别关注可计算性理论中，如图灵机模型对形式化逻辑的映射。 第三章：图论基础与连通性分析 将图论作为离散结构分析的核心工具。从基础定义（有向图、无向图、多重图）出发，深入探讨连通性、割集、树结构及其应用（如最小生成树算法）。详细分析欧拉路径和哈密顿回路的存在性判定问题，并将其与网络流和匹配理论初步结合。讨论平面图、对偶图及其在拓扑结构分析中的作用。 第四章：组合构造与计数原理的精细化 超越基础的乘法、加法原理，本章专注于利用生成函数（Generating Functions）和指数型生成函数解决复杂的计数问题。探讨容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的推广形式，及其在囊括/排除特定属性对象时的精确计算能力。引入组合恒等式和偏序集上的莫比乌斯反演（Möbius Inversion on Posets）作为高级计数工具。 --- 第二部分：算法设计、分析与计算能力 (Algorithmics, Analysis, and Computational Power) 本部分聚焦于如何将离散结构转化为可执行的计算过程，并严格评估其效率和可行性。 第五章：算法分析的严谨性：渐近行为与不变式 全面介绍分析算法效率的方法，包括大O、大Ω、大Θ符号的精确定义和应用。深入探讨最坏情况、最好情况和平均情况分析的差异。强调循环不变量（Loop Invariants）在证明算法正确性和终止性中的关键作用。引入主定理（Master Theorem）及其在分治算法分析中的局限性。 第六章：核心算法范式与优化策略 系统回顾和深入剖析几种主要的算法设计范式： 分治法 (Divide and Conquer): 深入分析快速排序、Strassen 矩阵乘法的时间复杂性。 贪心算法 (Greedy Algorithms): 探讨活动选择问题、霍夫曼编码的局部最优选择与全局最优性的关系。 动态规划 (Dynamic Programming): 详细分析最长公共子序列、背包问题（0/1 和分数背包）的优化结构和最优子结构性质。 回溯法与分支定界 (Backtracking and Branch and Bound): 针对NP问题的启发式搜索策略，如N皇后问题和旅行商问题（TSP）的初步探索。 第七章：图算法的深度挖掘 超越基础的图遍历（DFS, BFS），本章聚焦于优化路径和网络结构的算法： 最短路径算法： Dijkstra 算法（非负权），Bellman-Ford 算法（处理负权），以及 Floyd-Warshall 算法（所有对最短路径）。讨论特定应用场景下的路径权重定义。 网络流理论： 详细介绍最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）。深入讲解 Ford-Fulkerson 方法及其在 Edmonds-Karp 和 Dinic 算法中的实现优化。探讨流模型在匹配问题（如二分图匹配）中的应用。 第八章：计算复杂性理论的边界 本章探讨问题的固有难度，而非仅仅是特定算法的效率。 可判定性与不可判定性： 严格定义图灵机模型及其计算能力。详述停机问题（Halting Problem）的不可判定性证明及其对计算极限的启示。 复杂性类 (Complexity Classes): 深入定义和区分 P、NP、NP-完全（NP-C）和 NP-难（NP-Hard）类。着重阐述归约（Reductions）的概念，并提供至少两个关键 NP-完全问题的经典归约证明（如 3-SAT 到团问题 K-Clique）。 P vs NP 问题讨论： 探讨该未解问题的哲学意义及其对密码学、优化等领域的影响。 --- 第三部分：概率方法与随机化算法 (Probabilistic Methods and Randomized Algorithms) 本部分将引入不确定性，探讨如何利用概率论来设计更高效或更简单的算法，并分析这些算法的预期性能。 第九章：离散概率论基础与期望分析 回顾离散随机变量、条件概率和独立性。重点在于期望值（Expectation）和方差（Variance）的计算在算法分析中的应用。详细分析随机变量在线性时间算法中的聚合效应。 第十章：随机化算法的设计与分析 介绍随机化算法的两大范式：蒙特卡洛算法（Monte Carlo）和拉斯维加斯算法（Las Vegas）。 拉斯维加斯算法实例： 深入分析随机化快速排序（QuickSort）的平均时间复杂度证明，并与确定性版本进行对比。 蒙特卡洛算法实例： 探讨在特定优化问题中，如何通过随机抽样快速逼近精确解的界限。 概率工具： 引入切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）和马尔可夫不等式（Markov's Inequality），展示它们如何为算法的性能提供概率保证，即使在不知道随机变量具体分布的情况下。 第十一章：概率论在离散结构中的应用：平均情况分析 本章探索“不坏情况”的证明技术——如何证明一个结构（如随机图或随机序列）在平均情况下具备某种优良属性。 随机图理论初步： 介绍 Erdős-Rényi 模型 $G(n, p)$。分析在特定边密度下，图的连通性、是否存在大团或三角结构等关键属性的阈值行为。 概率方法论： 展示如何通过计算期望为零（或正）的事件的出现，来证明“存在”满足该性质的结构，即使构造这些结构本身非常困难。 --- 第四部分：高级主题与现代交叉领域 (Advanced Topics and Modern Intersections) 本部分将前述理论应用于更复杂的现代计算问题，连接组合学、优化与信息科学。 第十二章：编码理论与信息论的离散根源 探讨如何使用有限域上的代数结构（如伽罗瓦域）来构建高效的错误纠正码。详细分析汉明码（Hamming Codes）的构造原理，并讨论线性分组码的最小距离与纠错能力之间的关系。这部分强调了抽象代数在确保信息传输可靠性中的核心作用。 第十三章：布尔函数与电路复杂度 从逻辑电路的角度审视计算的物理极限。分析布尔函数的表示方法（如判定树、交集二元决策图 BDDs）。引入电路复杂度的概念，探讨如何证明某些函数（如公式的公式化）在电路层面上也具有指数级的难以处理性。 第十四章：优化问题与线性规划的离散交汇 将图论中的整数优化问题（Integer Programming, IP）与连续优化方法联系起来。介绍整数线性规划（ILP）的基本形式。重点讨论割平面法（Cutting Plane Methods）和分支切割（Branch-and-Cut）等精确求解技术，以及松弛线性规划（LP Relaxation）在提供解界限方面的关键作用。 结论：理论的融合与未来展望 总结离散数学、算法设计、计算理论和概率论在解决当代工程和科学难题中的协同作用，并展望未来研究方向，如量子计算对复杂性理论的影响、大规模随机网络分析的前沿进展。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆