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出版者:Cambridge University Press

作者:Luis A. Santaló

出品人:

页数:428

译者:

出版时间:2004-11-22

价格:USD 99.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521523448

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何7
• Geometry
• Integral Geometry
• Geometric Probability
• Stochastic Geometry
• Random Sets
• Mathematical Physics
• Probability Theory
• Measure Theory
• Differential Geometry
• Kinematic Formulas
• Random Configurations

《现代几何学发展与应用》 本书是一部系统探讨现代几何学理论体系，并深入阐述其在各个学科领域中广泛应用的学术专著。全书分为三个主要部分：理论基础、核心分支及其交叉领域、以及前沿应用与展望。 第一部分：理论基础 本部分旨在为读者构建坚实的现代几何学知识框架。我们将从欧几里得几何的公理体系出发，循序渐进地介绍其局限性以及非欧几何的诞生，如黎曼几何和洛巴契夫斯基几何，并详细分析它们在曲率、度量和空间结构上的根本差异。在此基础上，我们将引入微分几何的核心概念，包括流形、切空间、张量场、联络和曲率张量等。通过对这些基本元素的深入剖析，读者将能够理解光滑流形上的几何结构，为后续更复杂的几何理论打下基础。 紧接着，本书将重点介绍拓扑学的基本思想，强调其研究对象——空间在连续形变下保持不变的性质。我们将讲解同胚、同伦、基本群、同调论等关键概念，并展示它们如何提供一种与度量无关的几何视角。通过连接微分几何与拓扑学的桥梁，例如德拉姆定理，我们将揭示它们在理解空间整体性质上的互补性。 第二部分：核心分支及其交叉领域 本部分将聚焦于现代几何学中几个至关重要的分支，并探讨它们之间的相互作用与融合。 代数几何： 我们将从多项式方程组的解集——代数簇入手，介绍簇的结构、理想理论、概形理论等代数几何的核心工具。本书将详细阐释扎里斯基拓扑、相交数、席尔贝数等代数几何中特有的概念，并讨论代数簇的几何性质如何通过其坐标环的代数性质来刻画。此外，我们还将探讨抽象代数几何与经典代数几何之间的联系，以及它在数论、密码学等领域的应用基础。 微分几何的深化： 在第一部分的基础上，本节将深入探讨一些更高级的微分几何主题。我们将详细介绍黎曼流形上的测地线、曲率的分类（如Ricci曲率、数量曲率）及其几何意义。本书将重点讲解爱因斯坦方程与引力理论的联系，以及高斯-博内定理等关于流形整体几何性质的重要结论。此外，我们还将触及辛几何，介绍辛流形、泊松括号、辛曹空间等概念，并阐述其在经典力学和量子力学中的应用。 离散几何与计算几何： 本部分将转向离散结构的研究。我们将介绍图论、组合多面体、离散曲率等概念，并探讨离散几何如何模拟连续几何对象的性质。本书将重点阐述计算几何的算法和数据结构，例如凸包、三角剖分、Voronoi图等，并分析它们在计算机图形学、机器人学、地理信息系统等领域的实际应用。 几何学与分析的交融： 我们将重点介绍帕特里夏-刘维尔定理、调和映照、杨-米尔斯方程等现代几何分析中的重要理论。本书将深入分析偏微分方程在研究几何对象（如曲面、流形）上的作用，揭示几何结构如何影响方程的解的性质，反之亦然。例如，我们将探讨柯-莫兹定理在理解调和映照中的关键作用。 第三部分：前沿应用与展望 本部分将展示现代几何学理论在各个前沿科学与技术领域的实际应用，并对未来的发展方向进行展望。 物理学中的几何学： 我们将详细阐述广义相对论中微分几何的深刻应用，包括时空的弯曲、黑洞的几何性质、引力波的传播等。本书还将探讨弦理论、M理论等现代物理学中高维几何与拓扑学的角色，以及它们如何帮助理解宇宙的本质。此外，量子信息理论中的几何方法，如量子态空间上的几何结构，也将得到介绍。 计算机科学与数据科学中的几何学： 本节将深入探讨计算机视觉、机器学习、数据可视化等领域中几何学方法的应用。我们将介绍形状匹配、流形学习、点云处理、三维重建等技术，并分析它们如何利用几何原理解决实际问题。例如，如何用黎曼流形的思想来理解高维数据分布，以及如何用微分几何的工具来分析和生成复杂形状。 生物学与医学中的几何学： 本部分将聚焦于几何学在生物学和医学领域的应用。我们将探讨蛋白质折叠的几何模型、DNA的拓扑结构、生物网络的几何分析等。本书还将介绍医学影像分析中形状识别、器官分割等技术，以及如何利用几何学原理进行疾病诊断和治疗方案设计。 材料科学与工程中的几何学： 我们将展示几何学在设计新型材料、理解材料微观结构、优化工程设计中的作用。例如，曲面几何在设计高性能催化剂、新型电子器件中的应用，以及离散几何在构建复杂工程结构中的作用。 未来的方向与挑战： 最后，本书将对现代几何学的发展趋势进行展望，包括对量子几何、非交换几何、随机几何等新兴领域的探讨。我们将分析当前研究中存在的挑战，例如如何更好地整合不同几何学分支、如何开发更高效的计算工具，以及如何进一步拓展几何学在解决重大科学问题中的作用。本书将鼓励读者积极探索几何学与其他学科的交叉点，为未来的科学技术发展贡献力量。

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**第二段评价** 我对本书的章节安排深感佩服，它采取了一种由浅入深、层层递进的叙事结构，不像某些教科书那样上来就抛出艰深的定义。开篇部分，作者花了大量篇幅来回顾和梳理必要的预备知识，但叙述方式却出人意料地富有启发性，它不是简单地重复你已经学过的东西，而是从一个全新的视角去审视那些基础概念，让你意识到它们在本书后续内容中的关键作用。这种铺垫工作做得极其扎实，使得当我真正进入核心理论时，阻力感大大降低。作者的行文风格介于严谨的数学论文和富有激情的学术讲座之间，既有精确的逻辑链条，又不失人文关怀般的引导。我尤其欣赏他如何巧妙地将看似不相关的概念联系起来，揭示出隐藏在表面之下的统一结构。读完前几章，我对数学分支之间的界限感模糊了，取而代之的是一种宏大的系统感，这才是真正优秀的教材所应达到的境界。

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**第五段评价** 这本书的写作风格充满了自信和洞察力，作者的语气很少是审慎的或试探性的，而是果断地陈述数学的真理。这种自信的笔触极大地鼓舞了读者。此外，书中引入的一些历史背景介绍非常精妙，它不是生硬地插入的知识点，而是自然地解释了为什么某些概念会被发展出来，以及早期的数学家是如何一步步攻克这些难题的。这种对历史脉络的把握，让读者能够更好地将新学的知识置于整个学科发展的长河中去理解。阅读全书的过程，就像是跟随一位经验丰富、充满热情的向导，穿梭于一片广袤而精密的数学森林中。向导不仅指引了正确的路径，还时不时停下来，指出那些隐藏在灌木丛中的绝美风景，让你对这个领域的敬畏感油然而生。结束阅读后，我感觉我的数学“视野”被极大地拓宽了，这是一种超越了考试分数本身的收获。

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**第三段评价** 这本书的难点在于其对证明过程的深度挖掘和对定理背后思想的强调。它几乎没有提供任何“跳步”的捷径，每一个结论的得出都经过了详尽而严密的论证。初次接触某些章节时，我确实感到有些吃力，需要反复研读、对照着草稿纸上的演算才能完全消化。然而，一旦突破了那层薄膜，随之而来的清晰感是无与伦比的。作者仿佛在挑战读者的思维极限，他要求你不仅要知道“是什么”，更要探究“为什么必须是这样”。这种对基础逻辑的绝对忠诚，使得书中得出的结论具有极强的说服力和不可动摇的地位。我发现，这本书迫使我放弃了依赖外部参考资料的习惯，因为它自身提供了足够的资源来解决阅读中的所有疑问，前提是你愿意付出与之匹配的时间和精力。对于希望真正掌握数学工具，而非仅仅应用公式的严肃学习者，这种近乎偏执的细致是极其宝贵的财富。

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**第一段评价** 这本书的装帧设计非常考究，硬壳封面带着一种沉稳的学术气息，触感上是那种略带纹理的哑光质感，让人爱不释手。翻开内页，纸张的厚度适中，印刷的清晰度极高，即便是最复杂的公式推导，其字体和符号的排版也精准得如同艺术品。作者在引言部分就定下了全书的基调：这不是一本速成手册，而是一场需要耐心和沉浸感的智力探险。他似乎非常注重数学的“美感”，大量使用几何直觉来辅助抽象的代数概念，这使得原本枯燥的证明过程变得生动起来。特别是对于那些需要空间想象力的读者，书中穿插的精美插图，虽然是黑白的，但其线条的精确度和层次感，极大地弥补了纯文字描述的局限。阅读过程中，我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在欣赏一套精心构建的数学思维大厦。对于追求阅读体验的读者来说，这本书的物质质量和视觉呈现绝对是顶级的享受。

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**第四段评价** 从内容组织上看，本书的实用性体现得淋漓尽致，特别是在处理边界条件和特殊案例的部分。很多同类书籍倾向于在主要理论框架搭建完成后，对边缘情况一带而过，但在本书中，作者给予了这些“例外”足够的关注。他系统地分析了当参数趋于零或无穷大时，系统会如何演化，这些分析不仅提升了理论的完备性，更直接对应了实际应用中经常遇到的不规则情况。我特别留意到其中关于拓扑结构在概率度量中的应用章节，作者没有使用晦涩的术语去包装，而是通过一系列具体的、可操作的例子，演示了如何将抽象的空间变换转化为可计算的概率密度函数。这种理论与实践的无缝衔接，体现了作者深厚的跨学科功底，使得这本书不仅是数学家的工具箱，也为应用科学的研究人员提供了强有力的理论支撑。

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