Geometry from a Differentiable Viewpoint pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:John McCleary

出品人:

页数:324

译者:

出版时间:1995-01-27

价格:USD 44.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521424806

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 计算机科学
• Geometry
• 几何
• 微分几何
• 流形
• 拓扑
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• 几何学
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• 代数拓扑
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• 理论基础

这是一本探索几何学基础概念的著作，它将数学推理建立在坚实的分析和代数结构之上。全书围绕着“可微性”这一核心思想展开，从最基本的点、线、曲面出发，逐步深入到更复杂的几何对象和空间。 书中并非简单罗列定理和公式，而是通过精巧的推导过程，揭示几何概念背后的数学逻辑。例如，在讨论曲线时，作者并非直接给出参数方程，而是首先引入切向量的概念，通过观察函数在微小扰动下的变化，自然地引出曲线的局部线性近似，进而构建出完整的曲线描述。曲面部分也遵循了这一思路，通过研究法向量和曲率，深入理解曲面的局部几何性质，并在此基础上探讨整体的拓扑特性。 该书的分析方法贯穿始终。积分和微分的工具被巧妙地应用于解决几何问题。例如，利用积分计算曲线长度和曲面面积，或者通过微分形式的积分来定义和计算面积形式和体积形式，这些都是在分析框架下对几何量的精确度量。书中的微分几何部分，尤其侧重于利用微分算子和张量分析来研究空间的内在几何性质，例如黎曼曲率张量，它能够捕捉空间在不同方向上的弯曲程度。 代数结构在书中也扮演着重要角色。向量空间、线性代数以及群论等工具被用来构建和理解几何对象。比如，在处理多线性代数时，作者会清晰地展示代数运算如何对应于几何变换，以及如何利用坐标系和基向量来表示和操作几何对象。群论的概念则被用来研究几何的对称性，以及在不同几何模型之间建立联系。 书中对于度量张量的引入和使用是其分析与代数融合的典范。度量张量不仅定义了空间中的距离和角度，还直接关联着曲率和测地线等关键几何概念。作者会详细阐述如何从度量张量出发，计算 Christoffel 符号，进而得到黎曼曲率张量，从而深入理解空间的几何结构。 本书的内容也触及了一些更高级的几何主题。例如，流形的概念被引入，以便在非欧几何的框架下讨论更一般的空间。书中会通过一系列例子，说明如何将欧几里得几何的直观概念推广到任意光滑流形上。微分形式和外微分的引入，则为研究向量场的积分、流形上的积分以及更复杂的几何和拓扑性质提供了强大的工具。 此外，书中还会探讨一些关于几何对象之间关系的理论。例如，在研究测地线时，会深入分析测地线的存在性和唯一性，以及它们在弯曲空间中的行为。同时，对于等距变换和共形变换等概念的讨论，也揭示了不同几何结构之间的联系。 总体而言，这是一本旨在为读者提供一个扎实、统一的几何学框架的著作。它强调通过分析工具和代数结构来理解几何学的基本原理，并逐步引导读者深入到现代几何学的研究前沿。书中的逻辑严谨，推导清晰，旨在培养读者独立解决几何问题的能力，并为进一步深入研究微分几何、代数几何和拓扑学等领域打下坚实的基础。

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这本书给我带来的最大的惊喜，在于它对那些曾经感觉神秘莫测的几何概念，提供了清晰、可操作的数学工具箱。比如，拉普拉斯算子在弯曲空间中的推广，或是对测地线如何通过变分原理被定义的方式，都被分解得异常透彻。它不像其他一些侧重于纯拓扑或纯代数的几何书籍，它始终牢牢地抓住微分的“梯度”和“散度”这些核心工具，将它们武装到牙齿。我尤其喜欢它处理非线性问题时的那种优雅方式，即通过局部的线性近似来逼近全局的复杂性，这种“化繁为简”的策略贯穿始终。读完之后，我感觉自己对“曲率”这个概念的理解得到了质的飞跃，它不再是一个简单的度量值，而是空间自身在不同方向上的“张力分布”。这本书无疑是几何学领域中一份重量级的贡献，它为那些希望从分析学的角度深入挖掘几何本质的学者，提供了一张详尽且无可挑剔的地图。它要求读者全神贯注，但它所揭示的内在美感，绝对值得这份专注。

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这本书给我的整体印象是：它在努力构建一座桥梁，连接纯粹的几何直觉和严谨的分析推导，但这座桥梁的建造材料非常高级，非一般读者能够轻易掌握。它的难度系数绝对不低，对于那些期望在几何学中找到轻松阅读体验的人来说，这本书可能会显得有些冷峻和不近人情。每一页都充满了符号的密度和概念的权重，它要求读者不仅要理解“是什么”，更要深入探究“为什么会是这样”的底层驱动力。我特别欣赏作者在展示如何通过微分形式来阐述经典几何定理时的那种精妙设计感，仿佛在向我们展示上帝是如何用最简洁的数学语言编写宇宙法则的。然而，这种极致的严谨性也带来了一个副作用：阅读节奏变得非常缓慢，我不得不经常停下来，在脑海中描绘出那些高维度的场景，才能跟上作者的思维跳跃。这更像是一本面向专业研究人员的工具书或参考手册，而不是一本轻松的科普读物，它需要读者具备相当扎实的分析基础作为前提。

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这本书的视角实在是太独特了，读起来就像是打开了一扇通往高等数学深层结构的大门。作者似乎完全不满足于传统的几何描述，而是执着于探索那些隐藏在光滑、连续变化背后的微积分本质。一开始阅读的时候，我感觉自己像个初学者，因为很多概念都需要用动态、流动的眼光去看待，而不是静止的、固定的图形。那种将拓扑、黎曼几何的深奥思想，通过微分的语言一点点剖析出来的过程，充满了智力上的挑战和乐趣。它不是那种教科书式的冷硬说教，更像是一位经验丰富的导师，带着你一步步领略那些抽象概念的“生命力”。尤其是在处理流形上的张量和曲率时，那种将几何直觉与分析工具完美结合的叙事方式，让人对欧几里得空间之外的世界产生了全新的敬畏感。这本书真正做到了“形”与“变”的统一，让几何不再是死的定理堆砌，而是活生生的、可以被计算和预测的系统。我必须承认，有些章节需要反复咀嚼，但一旦领悟，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。

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我花了很长时间才适应这本书的语言风格，它介于学术论文和严谨的教材之间，保持了一种特有的、略显疏离但绝对精确的语调。这本书的魅力在于其对“变换”的深刻洞察，它不把空间看作一个固定的背景，而是看作一个可以被拉伸、扭曲、微分作用的对象。读完某些章节后，我发现自己看世界的方式都变了，比如在思考任何一个物理过程时，我都会不自觉地去寻找其背后的李群作用或微分流。这本书对于物理学背景的读者来说，可能是一个宝库，因为它将抽象的数学工具与时空结构、场论等概念紧密地联系起来。不过，对于初次接触微分几何的读者，门槛可能高得令人望而却步。它假定读者已经习惯于处理高阶偏微分方程的复杂性，并且不惧怕在抽象的张量运算中迷失方向。总而言之，这是一本需要投入大量精力和时间去“啃食”的硬核作品，但回报是认知层次的提升。

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这本书的结构安排，简直是几何思维训练的典范。它没有遵循传统的欧氏几何或射影几何的线性叙事，而是直接跳到了更广阔、更具普适性的微分几何框架内。我发现作者非常善于利用“局部”与“整体”的对比来深化读者的理解，比如如何从局部坐标系下的微小扰动，推导出全局的拓扑性质。这种由近及远、层层递进的论证方式，极大地增强了理论的内在逻辑性。有一点让我印象深刻，那就是作者对“联系”——无论是联络还是连接——的强调，这似乎是贯穿全书的核心主题，它解释了为什么在弯曲空间中，方向性依然能够被有效保持和比较。坦白地说，我发现自己对很多之前视为理所当然的几何公理，现在有了更深层次的、基于微积分的理解。这本书的价值不在于教授你多少新的图形，而在于彻底重塑你感知空间和形变的方式，迫使你用一种更加动态、更具“过程感”的视角去看待一切空间结构。

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http://ishare.iask.sina.com.cn/f/12003873.html

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