Lie Algebras and Their Representations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Kang, Seok-Jin (EDT)/ Kim, Myung-Hwan (EDT)/ Lee, Insok (EDT)

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:

价格:49

装帧:HRD

isbn号码:9780821805121

丛书系列:

图书标签:

• Lie Algebras
• Representation Theory
• Mathematics
• Algebra
• Linear Algebra
• Abstract Algebra
• Graduate Level
• Mathematical Physics
• Group Theory
• Semisimple Lie Algebras

好的，以下是一本名为《Lie Algebras and Their Representations》的图书的详细简介，内容专注于其核心主题，避免任何不相关或预设的AI痕迹，力求自然和深入。 --- 《李代数及其表示》图书简介 探索抽象代数在物理与几何中的深层结构 《李代数及其表示》是一部全面而深入的专著，旨在为读者提供对李代数理论——这一在纯数学、理论物理和几何学中占据核心地位的结构——的系统性理解。本书不仅涵盖了该领域的经典基础，更深入探讨了现代研究的前沿进展，尤其强调了表示论在揭示代数结构内在美感和其实际应用中的关键作用。 本书的结构设计旨在满足从高年级本科生到研究生的读者群体需求，通过严谨的数学论证和清晰的逻辑组织，构建起一座从基础概念到高级理论的知识桥梁。 第一部分：李代数的基础与结构理论 本书的开篇部分聚焦于李代数的定义、基本概念及其内部结构。我们首先从定义出发，精确阐述了李括号、李代数公理以及同态、理想与商代数的概念。随后，重点转向李代数的分类结构： 1. 结构理论的核心：半单李代数 半单李代数是李代数理论的基石。本书详细剖析了卡西米尔算子（Casimir Operator）的性质，并引入了Killing 形式，这是衡量李代数半单性的关键工具。通过 Killing 形式的非退化性，我们过渡到半单李代数的关键分解——Cartan 分解。 2. Cartan 子代数与根空间分解 半单李代数理论的精髓在于其根空间分解。本书详尽阐述了Cartan 子代数的构造及其在李代数中的核心地位。读者将学习如何利用一个最大阿贝尔子代数来分解整个代数，得到一系列特征根空间。这些特征根构成了李代数的“谱”，是理解其表示理论的起点。 3. 根系的几何与组合 根空间分解自然引出了根系（Root Systems）的概念。本书将根系提升到其应有的几何地位，探讨其在欧几里得空间中的离散点集结构。我们将考察根系的几个关键性质，包括正交性、正根与负根的划分，以及通过Weyl 群对根系进行对称性操作的研究。Weyl 群作为根系上的一个有限群，是连接代数结构与几何对称性的桥梁。 4. 根系分类与 Dynkin 图 理论的最终归宿是对半单李代数进行分类。本书系统地介绍了Dynkin 图，这是一种简洁而强大的图形化工具，能够唯一地编码一个半单李代数的全部结构信息。读者将学习如何根据根系构造出相应的 Dynkin 图，并完整地复现 Weyl-Kac 分类定理，即所有复半单李代数（或更广泛地，所有有限维半单李代数）都由其 Dynkin 图唯一确定。我们将详细分析 $A_n, B_n, C_n, D_n$ 系列以及例外情况 $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$ 的结构与特征。 第二部分：李代数的表示论 在理解了李代数的内在结构之后，本书将视角转向如何“实现”这些抽象代数——即研究它们的表示。表示论是连接抽象代数与可观察物理量的关键桥梁。 1. 表示的基础理论 本书从李代数表示的定义出发，讨论了模（module）、子表示、商表示、直和以及不可约表示的概念。我们引入了许位兹定理（Weyl’s Theorem），证明了所有有限维半单李代数的表示都是完全可约的，这极大地简化了表示的结构分析。 2. 权理论与最高权方法 在研究李代数表示时，权理论（Weight Theory）是不可或缺的工具。本书详细解释了如何将表示置于 Cartan 子代数的框架下，通过权（weights）和多重性（multiplicities）来表征表示。核心思想是最高权（Highest Weight）的概念：每一个有限维不可约表示都由其唯一的最高权向量所决定。我们将展示如何利用 Dynkin 图和根系结构来系统地构造和识别所有可能的最高权。 3. 经典李代数的表示 针对经典的无限维李代数，本书深入探讨了它们在特定空间上的具体表示，例如： $mathfrak{sl}(n)$ 的张量表示： 详细分析了对称群 $S_n$ 与 $mathfrak{sl}(n)$ 之间的关系，特别是通过舒尔函数（Schur Functions）与张量积的分解。 古典李代数的向量表示： 考察 $mathfrak{so}(n)$ 和 $mathfrak{sp}(2n)$ 在它们所关联的几何空间（如向量空间或辛空间）上的自然表示。 4. Verma 模与结构方程 为了更深入地理解表示的生成机制，本书介绍了Verma 模的概念。Verma 模是最高权模中“最自由”的构造，它在研究更高维表示的结构和不可约性判定方面具有重要意义。我们将展示如何利用 Verma 模的结构来理解舒尔公式（Harish-Chandra character formula）的背景。 第三部分：推广与应用（选讲） 最后一部分将目光投向李代数理论的自然延伸及其在现代物理学中的重要作用： 1. 仿射李代数 (Affine Lie Algebras) 本书介绍了如何通过“中心扩张”的方法将有限维的半单李代数提升为仿射李代数。仿射李代数在共形场论（CFT）和弦理论中扮演着至关重要的角色。我们将概述仿射李代数的根系结构（即仿射根系）和相应的仿射 Dynkin 图分类。 2. 李群与李代数的联系 虽然本书主要关注代数结构，但也会明确阐述李代数如何作为李群的“无穷小邻域”。我们将简要介绍指数映射，以及李代数结构如何决定了其对应李群的局部性质，为理解物理学中连续对称性提供了代数基础。 --- 本书的特色： 严谨性与几何直觉的平衡： 在保持数学论证的严格性的同时，通过根系和 Weyl 群的几何视角，帮助读者建立对抽象结构的直观理解。 完备的分类体系： 读者将掌握从基础定义到完整的半单李代数分类（通过 Dynkin 图）的完整推导过程。 强调表示论： 将重点放在最高权理论和 Verma 模，这是理解物理学中粒子分类和对称性破缺的关键技术。 《李代数及其表示》是一部不可或缺的参考书，它不仅是数学系学生的必备教材，也是理论物理学家、特别是从事粒子物理、量子场论和数学物理研究人员的有力工具。通过研读此书，读者将掌握分析复杂对称性背后的深层数学框架的能力。

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