Spline Functions and the Theory of Wavelets pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Dubuc, Serge (EDT)/ Deslauriers, Gilles (EDT)

出品人:

页数:397

译者:

出版时间:

价格:116

装帧:Pap

isbn号码:9780821808757

丛书系列:

图书标签:

• Spline Functions
• Wavelet Theory
• Approximation Theory
• Numerical Analysis
• Mathematical Analysis
• Functional Analysis
• Signal Processing
• Harmonic Analysis
• Applied Mathematics
• Scientific Computing

好的，这是一本关于数值分析和信号处理的著作的详细介绍，该书深入探讨了插值理论、逼近理论以及现代信号分析工具的基础，特别是侧重于傅里叶分析与小波分析在实际应用中的数学原理。 《插值、逼近与变换：数值方法在信号分析中的应用》 书籍简介 本书是一部全面阐述现代数值分析与信号处理领域核心数学工具的专著。它旨在为数学、工程学、物理学以及计算机科学领域的研究人员和高级学生提供一个严谨而深入的理论框架，用以理解和应用复杂的函数逼近技术和信号分解方法。全书结构严谨，内容涵盖了从经典插值理论到前沿的傅里叶与小波变换的完整脉络，重点关注这些理论背后的数学基础、算法设计与收敛性分析。 第一部分：函数逼近与插值基础 本书的开篇部分着重于函数逼近论的基础构建，这是理解所有高级分析方法的先决条件。 第1章：插值理论的复习与深化 本章首先回顾了牛顿有限差分和拉格朗日多项式插值法，并深入分析了这些方法的局限性，特别是龙格现象（Runge's Phenomenon）对高次多项式插值的限制。随后，引入了分段插值技术，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的构造原理。详细讨论了样条函数在保持连续性和一阶、二阶导数连续性方面的优势，并给出了边界条件的完整推导，包括自然边界条件和钳制边界条件。本章还探讨了插值误差的精确估计，并引入了模理论（Modulus of Continuity）来衡量函数的平滑度对插值精度带来的影响。 第2章：最佳一致逼近与最小二乘逼近 超越插值，本章转向了函数在特定范数下的最佳逼近问题。引入切比雪夫空间（Chebyshev Spaces）和$L_p$范数，详细阐述了最佳一致逼近（Minimax Approximation）的理论基础，包括著名的厄尔米特-帕德逼近（Hermite-Padé Approximation）的构建思想，虽然不涉及特定函数类的理论，但着重于最佳逼近的存在性和唯一性定理的证明。随后，深入探讨了最小二乘逼近（Least Squares Approximation）。本节将正交多项式，如勒让德多项式（Legendre Polynomials）和切比雪夫多项式，作为构造最小二乘基函数的重要性进行了详尽的论述，并展示了如何利用这些正交系统简化计算过程和分析误差。 第3章：数值积分与微分的精度分析 本章将插值理论应用于数值积分（Quadrature Rules）的构建。详细分析了牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas）的构造，并着重于其误差项的推导，特别是通过欧拉-麦克劳林公式（Euler-Maclaurin Formula）来精确估计积分误差。更高层次上，本章引入了高斯求积（Gauss Quadrature）——利用最佳节点选择来达到最大精度的求积方法。对高斯-勒让德求积和高斯-切比雪夫求积的数学基础进行了严密的推导，并比较了它们与前述方法的收敛速度差异。 第二部分：傅里叶分析与周期信号的表示 在掌握了基础的函数逼近工具后，本书转入对周期信号的分析，这是信号处理的基石。 第4章：傅里叶级数与周期函数的分解 本章从狄利克雷条件（Dirichlet Conditions）出发，建立了傅里叶级数（Fourier Series）的数学框架。详细分析了周期函数的收敛性问题，特别是处理不连续点处的吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）。本章专注于傅里叶系数的计算方法，以及如何利用傅里叶级数来求解常微分方程的初边值问题。通过 Parseval 定理，建立了函数能量与其频谱表示之间的关系，为后续的功率谱分析奠定了基础。 第5章：傅里叶变换与非周期信号分析 将傅里叶级数的概念扩展到非周期信号，本章系统地介绍了傅里叶变换（Fourier Transform）的定义、基本性质和重要的变换对（Transform Pairs）。深入讨论了狄拉克梳函数（Dirac Comb）和采样函数的傅里叶变换，并以此为基础推导出奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）的数学依据。本章特别强调了卷积定理在频域中的应用，展示了如何利用傅里叶变换简化系统响应的计算。 第6章：离散傅里叶变换（DFT）与快速算法 本章专注于数字信号处理的核心——离散傅里叶变换（DFT）。详细解释了DFT的定义、周期延拓的性质，并从数学上论证了其矩阵形式。随后，本书重点介绍了快速傅里叶变换（FFT）算法，包括库利-图基（Cooley-Tukey）算法的蝶形运算结构和算法复杂度分析。本章提供了实现高效FFT算法所需的数学技巧，并讨论了DFT在频谱泄漏（Spectral Leakage）问题上的处理方法。 第三部分：信号的时间-频率局部化 本书的最后部分将视角从全局的傅里叶分析转向了对信号局部特征的捕获能力，这为过渡到更现代的分析工具做好了铺垫。 第7章：窗函数与局部化 在有限时间窗口内对信号进行分析时，窗函数（Windowing Functions）的选择至关重要。本章系统地比较了矩形窗、汉宁窗（Hanning）、汉明窗（Hamming）和布莱克曼窗（Blackman）的频率响应特性。通过分析窗函数的频谱泄漏和主瓣宽度之间的权衡关系，指导读者如何在特定应用场景下选择最优的窗函数，以达到最佳的时间分辨率和频率分辨率的平衡。 第8章：时频分析的初步概念 为了克服傅里叶分析只能提供全局频率信息的局限，本章引入了时频分析（Time-Frequency Analysis）的基本思想。详细介绍了短时傅里叶变换（STFT）的构造，并分析了其固有的“不确定性原理”——即时间和频率分辨率之间的限制。本章通过分析高斯窗函数在STFT中的表现，为后续更精细的分析技术（如小波变换）提供了概念上的跳板，强调了在时域和频域之间进行折衷的必要性。 总结 《插值、逼近与变换：数值方法在信号分析中的应用》不仅是一本理论教材，更是一部关于如何将抽象数学工具转化为强大计算手段的实用指南。全书的论证逻辑严密，数学推导详尽，旨在培养读者对函数空间、数值稳定性以及信号表示的深刻洞察力。通过对经典插值、傅里叶分析的深入剖析，本书为读者构建了一个坚实的数学基础，使其能够自信地迎接更复杂的信号处理挑战。

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