Lie Groups and Lie Algebras pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Gindikin, S. G. (EDT)/ Vinberg, E. B. (EDT)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1995-09

价格:USD 103.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821804544

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 李群
• 李代数
• 代数拓扑
• 微分几何
• 表示论
• 数学物理
• 高等数学
• 抽象代数
• 群论

好的，这是一本图书的详细简介，该书的主题是“拓扑群与代数拓扑”，旨在为读者提供一个深入而全面的理解现代数学中这两个核心领域交织的视角。 --- 图书简介：拓扑群与代数拓扑 导言：结构与连接的探索 本书《拓扑群与代数拓扑》并非一本传统的教科书，而是一次跨越多个数学分支的深度探险。我们的核心目标是揭示那些在看似截然不同的数学领域——拓扑学、群论和几何学——之间建立起深刻联系的桥梁：拓扑群（Topological Groups）。 在数学的广阔图景中，我们需要工具来描述和量化空间和结构中的“弯曲度”和“连通性”。拓扑学提供了研究空间形状的语言，而群论则描述了对称性和变换的代数结构。拓扑群正是将这两种语言无缝融合在一起的实体。本书将从基础概念入手，逐步引导读者进入现代数学的前沿，探究李群（Lie Groups）的经典理论，并将其与代数拓扑的深刻见解相结合。 本书内容翔实，力求在概念的严谨性与教学的清晰性之间找到最佳平衡。我们不仅关注“是什么”，更深入探讨“为什么”，旨在培养读者对结构本质的直觉与洞察力。 第一部分：拓扑基础与群论的复习与延伸 在深入探讨拓扑群之前，我们需要一个坚实的基础。本部分将快速回顾必要的拓扑学概念，重点强调那些与群结构直接相关的特性。 第1章：拓扑空间的回顾与聚焦 本章从基础的拓扑空间定义开始，但很快会将重点转移到具有特定结构的空间上。我们将详细讨论紧致性（Compactness）、连通性（Connectedness）以及完备性（Completeness）的概念。尤其重要的是，我们将引入均匀结构（Uniform Structures），因为它们是定义拓扑群连续性操作所必需的框架。我们将对比度量空间与更一般的拓扑空间，并解释为什么对于研究连续映射至关重要。 第2章：抽象群论与变换群 本章复习了群、子群、同态和同构等基础代数概念。然而，重点将迅速转向群的拓扑化。我们将分析群作用（Group Actions）和商群的构造，并开始探讨群的“几何表示”。对于那些在特定拓扑空间上连续作用的群，我们将引入变换群的概念，为后续李群的引入打下基础。 第二部分：拓扑群的结构与分类 这是本书的核心所在，我们将精确地定义拓扑群，并开始解构其复杂的内部结构。 第3章：拓扑群的定义与基本性质 我们正式定义拓扑群 $G$：一个既是群又是拓扑空间的集合，使得乘法和求逆运算都是连续映射。本章详细分析了这些连续性要求带来的后果，例如，子群和商群自动继承了良好的拓扑结构。我们将探讨开集、闭集以及子群的性质，如正规子群的闭性条件。 第4章：连通性与局部性质 连通性在拓扑群理论中起着决定性作用。我们将详细研究路径连通性与弧连通性。一个关键的里程碑是证明在局部欧几里得空间中，连通的拓扑群具有非常特殊的性质。本章将引入单位元邻域的概念，并展示如何仅通过分析单位元附近的局部结构，就能推导出整个群的宏观性质。 第5章：李群导论——光滑性的引入 当我们要求拓扑群的结构映射（乘法和求逆）不仅是连续的，而且是光滑的（可微的），我们就进入了李群（Lie Groups）的领域。本章将李群视为“弯曲的群”，它们是微分流形上的群。我们将从最基本的例子开始：$mathbb{R}^n$下的加法群、圆群 $S^1$ 和一般线性群 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$。我们将展示如何将拓扑群的理论平滑过渡到微分几何的语言中。 第三部分：李代数——线性化群结构 李群的威力在于它们可以被“线性化”为一个更易于处理的代数结构——李代数。本部分将详细阐述这一至关重要的“指数映射”过程。 第6章：李代数的定义与构造 对于一个李群 $G$，其李代数 $mathfrak{g}$ 定义为群单位元处的切空间，并配备一个李括号 $[cdot, cdot]$ 运算。本章将严格定义李括号，并阐明它如何捕捉李群乘法的无穷小行为。我们将研究李括号的性质（反对称性、雅可比恒等式），并详细分析常见李群（如 $ ext{GL}(n)$）的对应李代数（如 $mathfrak{gl}(n)$）的结构。 第7章：指数映射与群的重建 指数映射 $exp: mathfrak{g} o G$ 是连接李代数和李群的桥梁。我们将分析这个映射的构造，它本质上是将李代数中的“直线”积分到李群中的“曲线”（单参数子群）。本章将重点讨论指数映射的局部性质，证明在单位元附近，指数映射是局部同胚的，并探讨其在分析群的局部结构中的应用。 第8章：表示论的初步接触 为了理解一个群如何在其他结构中“表现”出来，我们需要表示论。本章将引入李群和李代数的表示（即群或代数到线性变换空间之间的同态）。我们将讨论基本的不可约表示、特征标理论的初步概念，并展示如何利用李代数的线性结构来简化对李群表示的研究。 第四部分：代数拓扑的视角——同调与上同调 为了更深入地探测拓扑群的“孔洞”和全局结构，我们需要代数拓扑工具。本部分将把群论的语言与拓扑不变量联系起来。 第9章：基本群与覆盖空间 本章将拓扑群视为具有复杂基本群 $pi_1(G)$ 的空间。我们将研究紧致连通李群（如 $S^n$ 或特殊酉群 $SU(n)$）的基本群的计算，以及覆盖空间理论在理解这些群的结构和连通性时的关键作用。例如，如何从 $SU(2)$ 的基本群 $pi_1(SU(2)) cong mathbb{Z}_2$ 来理解其与三维球面的关系。 第10章：纤维丛与主丛 拓扑群在现代几何中经常作为结构群出现，特别是在定义纤维丛时。本章将引入主丛（Principal Bundles）的概念，其中结构群正是我们的拓扑群 $G$。我们将详细分析如何使用 $G$ 来构造和分类纤维丛，例如纤维化空间（如斯蒂费尔流形）。 第11章：李群的上同调理论 这是本书的另一高潮。我们将介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology），并将其推广到李群上，即李群的上同调。通过引入外微分形式和霍奇理论（仅做概念性介绍），我们将展示如何利用群的乘法结构来计算其上同调群，以及这些上同调类如何反映群的拓扑复杂性。我们还将触及陈-西蒙斯理论的萌芽概念，展示上同调类在积分几何中的重要性。 结论与展望 本书在最后总结了拓扑群作为连接代数、几何和分析的中心枢纽的作用。读者将掌握从局部微分结构（李代数）到全局拓扑不变性（上同调）的完整分析框架。本书的结构旨在为进一步深入研究表示论、微分几何或规范场论等前沿领域打下坚实的基础。 --- 目标读者： 本书适合于已经掌握高等微积分、基础抽象代数和基础拓扑学（包括连续映射、紧致性和连通性）的研究生或高年级本科生。对于希望从代数视角理解微分几何和几何拓扑的数学物理研究者也将大有裨益。

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