Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations (Applied Mathematical Sciences) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:George W. Bluman

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:2009-11-19

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387986128

丛书系列:Applied Mathematical Sciences

图书标签:

• Symmetry methods
• Partial differential equations
• Applied mathematics
• Differential equations
• Mathematical physics
• Group theory
• Lie groups
• Conservation laws
• Reduction techniques
• Nonlinear analysis

应用群论方法于偏微分方程（第一卷：基础与经典应用） 作者： [此处可填入虚构的作者姓名，例如：约翰·哈珀，阿米莉亚·文森特] 出版信息： [虚构的出版社名称，例如：新星数学专著出版社] --- 内容提要 本书是关于利用现代数学物理中的对称性理论——特别是连续群和离散群——来系统化地求解偏微分方程（PDEs）的综合性著作。本书旨在为高等数学、理论物理、应用数学及工程学领域的学生和研究人员提供一个严谨而详尽的框架，用以理解和应用对称性方法，从而简化、分类乃至完全求解复杂的线性与非线性偏微分方程。 与许多侧重于特定方程或单一方法（如傅里叶变换或特征线法）的教材不同，本书将李群理论作为统一的、核心的工具，展示其如何渗透到几乎所有类型的偏微分方程的求解过程中。我们强调从微分方程的结构中“发现”其内在的对称性，而非仅仅应用预设的变换。 本书的第一卷侧重于奠定坚实的理论基础，并详细阐述对称性方法在经典物理方程——如波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程——中的应用。内容深度足以满足研究生阶段的课程要求，同时保持清晰的逻辑和丰富的实例，便于自学者掌握。 核心章节与内容概述 第一部分：对称性分析的数学基础 第一章：微分方程与对称性的初步概念 本章引入对偏微分方程进行分类和分析的基本工具。我们将讨论解空间、不变性原理以及初值和边值问题的适定性。重点在于建立“不变性”的严格定义。 1.1 偏微分方程的分类与定性分析： 抛物型、双曲型和椭圆型方程的几何意义。 1.2 变换群的引入： 从离散置换到连续形变的一般性概述。 1.3 作用于方程的变换： 如何定义一个变换如何作用于自变量、因变量以及微分算子本身。 第二章：李群与无穷小生成元 这是本书理论核心的开端。我们深入探讨连续对称性的代数结构——李群。 2.1 李群的定义与例子： 矩阵群（如 $GL(n)$, $O(n)$, $SE(n)$）作为物理模型中的常见对称群。 2.2 李代数： 群与代数的映射关系。生成元（Infinitesimal Generators）的计算与性质。 2.3 伴随表示与结构常数： 理解群如何通过其代数结构相互作用，这是后续进行缩减（Reduction）的关键。 第三章：对称性搜索：诺特定理的推广 本章将对称性分析从经典力学中的能量守恒（诺特定理）推广到更广泛的偏微分方程领域。 3.1 变分原理与拉格朗日密度： 简要回顾变分法在物理中的作用。 3.2 守恒律与微分算子的不变性： 建立一个判定性方程（Adjoint Equation）来寻找作用于PDE的对称性生成元。 3.3 判定方程的求解： 展示如何通过线性代数和特征向量分析，从判定方程中提取出所有的连续对称性生成元。 第二部分：经典方程的对称性简化与求解 第四章：拉普拉斯方程与调和函数 本章应用前述工具分析椭圆型方程，重点研究其几何不变性和分离变量的本质。 4.1 欧几里得空间中的对称性： 旋转与平移对拉普拉斯方程 $Delta u = 0$ 的不变性。 4.2 空间维度的影响： 对不同维度（2D、3D）的对称群进行比较分析。 4.3 对称性诱导的求解技术： 如何利用已知的对称性来“降阶”问题，例如，将三维问题转化为二维的旋转对称解（轴对称解）。 第五章：热传导方程（扩散方程）的对称性 本章探讨抛物型方程，特别是其独特的“尺度不变性”。 5.1 伽利略变换与热方程： 分析 $frac{partial u}{partial t} = k Delta u$ 在时间与空间尺度变换下的不变性。 5.2 布劳希（Barenblatt-Pattle）自相似解： 如何通过发现尺度不变性来构建非平凡的精确解。 5.3 线性与非线性扩散的对比： 简要对比线性热方程与简化的非线性形式（如简化的 Burgers 方程）在对称性生成元上的差异。 第六章：波动方程（线性与简化的非线性） 本章聚焦于双曲型方程，分析其对洛伦兹型变换（如果考虑相对论框架）或更基础的时空平移的响应。 6.1 洛伦兹群在波动方程中的作用： 在闵可夫斯基时空背景下，分析 $frac{partial^2 u}{partial t^2} - c^2 Delta u = 0$ 的对称性结构。 6.2 求解的几何解释： 讨论特征线与对称性的关系，以及如何通过群作用保持解的“波形”。 6.3 能量守恒与对称性： 再次联系诺特定理，阐述波动方程的能量守恒与时间平移对称性之间的联系。 第三部分：群缩减与精确解的构造 第七章：不变子空间与对称性缩减 本章是应用篇的核心，展示如何利用对称性将一个 $n$ 变量的 PDE 转化为更易解的低维常微分方程（ODE）组或更简单的 PDE。 7.1 不变解（Similarity Solutions）： 寻找在群作用下保持不变的特定解。 7.2 缩减方程的构造： 详细演示如何通过在李群作用下“不变”的坐标系（Invariance Manifolds）来重写原始 PDE，从而自动消除某些导数项。 7.3 缩减的唯一性与完备性： 探讨使用所有生成元进行缩减是否能保证找到所有可能的自相似解。 第八章：守恒律的群缩减：Burgers 方程实例 本章以非线性的一维 Burgers 方程 ($partial_t u + u partial_x u = 0$) 为例，展示对称性方法在处理非线性问题时的强大威力。 8.1 Burgers 方程的李代数： 识别其平移、缩放以及特殊的霍夫曼（Hopf-Cole）变换对应的生成元。 8.2 构造缩减方程： 展示如何将二维的 Burgers 方程缩减为一个一维的常微分方程，并求解该 ODE。 8.3 弱解与对称性： 讨论对称性如何帮助我们理解和构造包含激波（Shock Waves）的弱解。 本书特色 1. 理论与实践的平衡： 从抽象的李群理论出发，每一步理论推导后立即跟进其在经典 PDE（拉普拉斯、热、波动）上的具体应用。 2. 统一的视角： 避免将分离变量、特征线法视为孤立技术，而是将其统一解释为特定对称群作用下的结果。 3. 面向现代研究： 为读者理解更先进的非线性方程（如 Korteweg-de Vries 方程、Schrödinger 方程的对称性）打下不可或缺的基础。 4. 详尽的计算步骤： 对判定方程的求解过程进行了细致的分解，确保读者能够独立完成复杂算子的对称性搜索。 --- 目标读者： 理论物理、流体力学、固体力学、应用数学、计算科学等领域的研究生、博士后及高级本科生。对线性代数和基础微积分有扎实掌握是先决条件。

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