A Course in Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Swift, Randall J./ Wirkus, Stephen Allen

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:

价格:772.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781584884767

丛书系列:

图书标签:

• 常微分方程
• 微分方程
• 数学
• 高等教育
• 工程数学
• 应用数学
• 科学计算
• 数学分析
• 教材
• 学术著作

《偏微分方程的现代理论与应用》 图书简介 本书旨在为读者提供对偏微分方程（PDEs）理论和实际应用的全面而深入的探索。内容涵盖了从经典到现代的各种核心方程、分析工具和计算方法，重点关注 PDE 在物理学、工程学、金融数学以及生物科学等领域的前沿应用。本书结构严谨，逻辑清晰，既可作为高年级本科生和研究生的专业教材，也可作为相关领域研究人员的参考手册。 第一部分：偏微分方程基础与经典理论 第一章：偏微分方程导论 本章首先界定偏微分方程的基本概念、分类及其在自然界和工程中的起源。详细讨论一阶线性、拟线性、和非线性方程的特征线方法，包括对黎曼问题（Riemann Problem）的几何解释。重点分析 Lighthill 方法在处理激波和不连续解中的应用。 第二章：二阶线性偏微分方程 本章深入研究二阶线性 PDE 的标准形式——椭圆型、抛物线型和双曲型方程。 椭圆型方程（如拉普拉斯方程和泊松方程）： 探讨调和函数的性质，最大值原理，以及基于格林函数（Green's Function）的求解方法。引入变分原理和能量方法，为后续的泛函分析打下基础。 抛物线型方程（如热传导方程）： 分析热力学扩散过程，重点讲解初边值问题的适定性（Well-posedness），包括唯一性、存在性和稳定性的证明。详细讨论傅里叶级数和分离变量法在直角坐标系和极坐标系下的应用。 双曲型方程（如波动方程）： 阐述波的传播特性，研究达朗贝尔公式（d'Alembert's Formula）及其在无限域和有限域上的解。探讨奇性传播和奇性解的存在性。 第三章：泛函分析在 PDE 中的应用 本章引入必要的泛函分析工具，将 PDE 问题提升到更抽象的函数空间中进行研究。 Sobolev 空间： 详细介绍弱解（Weak Solutions）的概念，构建 $L^p$ 空间和 Sobolev 空间 $W^{k,p}$，探讨紧嵌入定理和迹（Trace）理论。 分布理论： 引入 Schwartz 分布的概念，用以精确描述具有不规则性（如尖点或跳跃不连续性）的函数，并推广了微分算子的定义。 第二部分：现代分析方法与非线性方程 第四章：椭圆型方程的现代理论 本章聚焦于更复杂的椭圆型问题。 正则性理论： 证明弱解的光滑性（Regularity Estimates），包括内估计和边界估计。引入 Schauder 估计，证明解的局部 $C^{2,alpha}$ 连续性。 非线性椭圆型方程： 研究如半线性泊松方程 $Delta u + f(u) = g$ 的存在性。引入拓扑学方法，如 Ljusternik-Schnirelmann 理论和山路引理（Mountain Pass Lemma），用于寻找非平凡解。 第五章：抛物线型方程的演化问题 本章深入探讨依赖于时间的演化方程。 非线性热方程： 分析反应-扩散系统，如 Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (KPP) 方程，研究行波解（Traveling Wave Solutions）的存在性和稳定性。 Stokes 方程与 Navier-Stokes 方程（简化处理）： 介绍不可压缩流体的基本方程组。重点讨论牛顿流体的粘性项处理，并简要概述了 Leray 弱解的构造和 Landau 构造的困难。 第六章：双曲型方程的精确解与不适定问题 守恒律（Conservation Laws）： 研究一维和多维的非线性双曲守恒律，如 Burgers 方程。重点讨论熵条件（Entropy Condition）在选择物理上合理的解（如 Laks-Wendroff 格式得到的解）中的作用。 特征分析的局限与修正： 在多维非线性双曲系统中，特征线可能相互交叉，导致解的非唯一性。引入 Fick-Karpman 效应的分析。 第三部分：边界值问题的数值逼近与应用 第七章：有限差分法（FDM） 本章详细介绍求解 PDE 的经典数值方法。 离散化与网格生成： 讨论一致性（Consistency）、稳定性和收敛性（Lax Equivalence Theorem）。 时间离散化： 讲解前向欧拉法（Explicit Euler）、后向欧拉法（Implicit Euler）和 Crank-Nicolson 格式，并分析它们的稳定性和精度。针对波动方程，研究 Von Neumann 稳定性分析。 第八章：有限元方法（FEM） 本章侧重于处理复杂几何形状和高维问题的强大工具。 变分公式与试函数空间： 将 PDE 转化为等价的变分问题。讲解 Galerkin 近似，定义能量空间和试函数空间（如 $P_1$ 和 $P_2$ 单元）。 装配与求解： 详细介绍刚度矩阵（Stiffness Matrix）和载荷向量（Load Vector）的装配过程，以及在实际计算中如何处理非结构化网格。 第九章：应用案例分析 本章将前述理论和方法应用于具体的科学和工程问题。 电磁场问题： 运用 Maxwell 方程组，通过有限元法求解静电和静磁场的分布。 金融数学中的自由边界问题： 探讨 Black-Scholes 模型中的抛物线方程，以及欧式期权定价中涉及的奇点处理和数值解法。 地震波传播模拟： 利用粘弹性介质中的波动方程，通过时域有限差分法（FDTD）模拟地质结构对地震波的反射和折射。 本书的特点在于深度结合了严格的数学分析与现代的计算技术，使读者不仅理解“为什么”某个方程有解，还能掌握“如何”在实际问题中高效地找到或近似求解。全书配有大量的例题、习题以及相关的 MATLAB/Python 代码示例（作为补充材料提供）。

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