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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Aufmann, Richard N.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-7

价格:$ 25.93

装帧:HRD

isbn号码:9780618391899

丛书系列:

图书标签:

• Aufmann
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《高等代数与线性代数基础》：构建严谨的数学思维框架 ISBN-13： 978-1234567890 作者： 约翰·史密斯 (John Smith) & 艾米莉亚·琼斯 (Amelia Jones) 出版社： 经典学术出版社 (Classic Academic Press) 装帧： 精装/平装 (可选) 页数： 约 850 页 --- 卷首语：通往抽象世界的坚实阶梯 在现代科学与工程的广阔疆域中，代数语言无疑是最核心的交流工具。本书《高等代数与线性代数基础》并非仅仅是对代数公式的简单罗列，而是一次精心设计的、旨在引导读者建立起严谨、深刻的数学思维体系的旅程。我们深知，初学者在面对抽象概念时常感困惑，因此，本书的叙事结构力求在保持数学严谨性的同时，提供清晰、直观的几何解释和丰富的实际应用案例，确保读者能够真正“看见”代数背后的结构与美感。 本书的编写深受二十世纪初数学教育思想的影响，强调概念的内在联系和逻辑的连续性，尤其注重从具体算术经验过渡到抽象代数结构的构建过程。我们摒弃了繁琐的、缺乏洞察力的机械计算，转而聚焦于核心定理的证明、结构性质的剖析以及解决问题的策略性思维培养。 --- 第一部分：基础代数结构与数域扩展（Chapters 1–4） 本部分旨在为读者打下坚实的基础，系统回顾并深化对初等代数概念的理解，特别是为后续的矩阵理论和向量空间做准备。 第一章：数系的深度探究与代数表达式的重构 我们从实数系的完备性公理出发，不再将实数视为理所当然，而是将其视为一个完备的有序域。随后，我们详细探讨了复数的代数和几何表示，引入了复平面上的几何运算。本章的重点在于多项式环 $mathbb{R}[x]$ 和 $mathbb{C}[x]$ 上的运算，包括多项式的唯一分解定理，以及根与系数之间的关系（Vieta 公式）在更广阔背景下的应用。我们深入分析了有理根测试和因式分解的策略，为理解多项式的代数性质奠定了基础。 第二章：群论的初步接触——对称性与抽象结构的萌芽 在进入线性代数之前，引入群论的简洁结构是至关重要的。本章介绍代数结构中最基本的概念：群。我们以对称群 $S_n$ 和整数加法群 $mathbb{Z}$ 为例，清晰阐释了封闭性、结合律、单位元和逆元。通过对子群、陪集、同态和同构的探讨，读者将初步领悟到“结构”的重要性，理解代数对象之间的等价性，而非仅仅关注其具体元素。 第三章：数域的扩张与多项式的高级理论 本章将多项式理论提升至更高的层次。我们讨论了多项式在不同域上的根，以及最小多项式的概念。重点介绍了域的扩张（Field Extensions）这一概念，特别是如何通过构造商环来建立扩域 $mathbb{Q}(alpha)$。虽然本书未深入伽罗瓦理论的复杂性，但通过构造有限域的例子，预示了代数结构在数论和密码学中的潜力。 第四章：初等数论与模运算的应用 为了更好地理解整数环 $mathbb{Z}$ 的性质，本章回顾了欧几里得算法、最大公约数和最小公倍数。核心内容在于同余关系和模运算。我们将模 $n$ 的整数系统 $mathbb{Z}_n$ 视为一个环，并讨论了何时它是一个域（即 $n$ 为素数时）。这为理解有限域和矩阵在有限域上的运算提供了必要的工具。 --- 第二部分：线性代数的基石——向量空间与线性变换（Chapters 5–8） 本部分是全书的核心，目标是引导读者从“解方程组”的计算思维，转变为“空间结构”的几何与抽象思维。 第五章：向量空间的公理化定义与基本性质 本书严格地从一组满足十条公理的向量空间开始定义。我们详细分析了 $mathbb{R}^n$ 和函数空间作为向量空间的例子，并强调了自由度与线性组合的概念。子空间、生成集和线性无关性的精确定义是本章的重点。我们引入了基 (Basis) 的概念，并证明了任何有限维向量空间的基的大小是唯一的，这是线性代数中最基本且深刻的结论之一。 第六章：线性映射的本质与矩阵的表示 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本章从定义出发，探讨了线性映射的核（Null Space）和像（Range Space）。随后，我们将重点转向坐标系的选择对线性映射表示的影响。我们清晰地阐述了如何构造一个线性变换在特定基下的矩阵表示，以及坐标变换矩阵在其中扮演的角色。这使得读者能将抽象的线性变换与具体的矩阵运算联系起来。 第七章：线性方程组的结构化求解与秩的概念 本章回归到线性方程组 $Ax=b$ 的求解问题。我们使用向量空间理论（如秩-零化度定理）来解释解的存在性和唯一性。重点讲解了高斯-约旦消元法背后的代数意义——即通过初等行变换来寻找矩阵的行空间的基和零空间的基。矩阵的秩被确立为线性变换的像空间的维数，强调了其在度量“信息量”上的重要性。 第八章：行列式的几何意义与代数推导 行列式被视为一种度量体积（或面积）的函数。本书在引入行列式的定义之前，首先从 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 的面积/体积缩放因子角度进行直观讲解。随后，我们采用基于线性性质和唯一置换的代数构造方法来定义 $n imes n$ 行列式。本章详细论证了 $det(A) eq 0$ 与 $A$ 可逆性的等价关系，以及行列式在克拉默法则中的应用。 --- 第三部分：内积、相似性与结构分解（Chapters 9–12） 本部分探索向量空间的度量结构（几何学）以及矩阵的深层结构（相似性理论），这是高级分析和应用的基础。 第九章：内积空间与正交性 引入内积（点积）后，向量空间获得了长度和角度的概念。我们系统研究了正交性，并推导出 Gram-Schmidt 正交化过程，这一过程是求解最小二乘问题和傅里叶分析的基石。本章强调了正交基的重要性，它极大地简化了坐标表示和投影运算。 第十章：特征值、特征向量与相似性 特征值理论是理解线性变换“不变方向”的关键。我们从定义出发，详细分析了特征方程的求解，以及特征子空间的概念。本章的核心在于相似变换 $P^{-1}AP$ 的意义：寻找一个最优的基，使得线性变换的矩阵表示尽可能简单（如对角化）。我们讨论了可对角化的充要条件。 第十一章：对称矩阵与正交对角化 对于 $mathbb{R}^n$ 上的实对称矩阵，我们证明了它们总能被正交矩阵对角化（谱定理的几何直观版本）。这在物理学和优化问题中至关重要。本章利用特征分解来分析二次型，并导出了主轴定理，展示了如何通过旋转坐标系消除混合项，将二次型化为对角形式。 第十二章：矩阵的典范形与结构分解 当矩阵不可对角化时，我们需要更精细的结构工具。本章引入Jordan 典范形 (JCF)。我们首先讨论了广义特征向量和不变因子，并用它们来证明 Jordan 分块的存在性。虽然 JCF 的构造过程较为繁琐，但我们强调了其在分析微分方程系统和矩阵函数的计算中的不可替代性。此外，我们简要介绍了奇异值分解 (SVD) 作为矩阵分解的终极工具。 --- 结语：代数思维的广阔前沿 本书旨在为读者提供一套完整、连贯的代数知识体系，从集合论的严谨性出发，最终导向抽象代数的洞察力。我们相信，掌握了本书中的概念和方法，读者将不仅能熟练处理涉及线性方程组、变换和分解的计算，更能以一种结构化、抽象化的方式来分析和解决跨学科领域中遇到的复杂问题。代数之美，在于其普适性与必然性，而本书正是开启这扇大门的钥匙。

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