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☆☆☆☆☆

出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Larson, Ron/ Edwards, Bruce H.

出品人:

页数:704

译者:

出版时间:2005-2

价格:$ 292.61

装帧:HRD

isbn号码:9780618547197

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 基础微积分
• 入门
• 数学
• 高等数学
• 计算
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

好的，这是一本名为《Calculus: An Intuitive Approach》的数学教材的详细内容介绍，该书旨在为读者提供一个深入、直观且应用驱动的微积分学习体验，完全不涉及您提到的《Brief Calculus》中的特定内容结构或侧重点。 --- 《Calculus: An Intuitive Approach》内容概述 导论：重塑对变化的理解 (Chapter 1 & 2) 本书的开篇将读者从传统、僵硬的代数思维中解放出来，引导我们进入一个关注“变化”与“累积”的世界。我们首先深入探讨极限的概念，但不是以纯粹的 $epsilon-delta$ 语言开场，而是通过直观的几何和物理图像来构建直觉。 第一部分：动态的视角——极限与导数 函数的本质与无穷小量的世界： 我们将“极限”视为一种“趋近”的行为，而非一个需要严格证明的终点。通过分析曲线的斜率如何随着观察尺度的缩小而稳定下来，引入瞬时变化率的直觉。 导数的几何与物理意义： 导数被明确地定义为“瞬时速度”和“切线斜率”。我们将大量的篇幅用于分析位移、速度和加速度之间的关系，确保读者理解导数运算的实际物理意义。 导数的运算规则与应用模型： 链式法则的推导将采用“函数嵌套”的直观解释，而不是机械的公式记忆。我们将探讨优化问题（如何找到最大值和最小值）的本质，并结合实际工程、经济学中的边际成本、边际收益分析。 隐函数微分与相关变化率： 侧重于变量之间相互依赖关系的建模。例如，当一个气球被吹大时，其体积和表面积的变化率如何相互关联。 第二部分：累积的力量——定积分与不定积分 (Chapter 3 & 4) 在掌握了变化率的工具（导数）之后，本书转向了如何“加总”无穷多个微小变化，以确定总量或曲线下的面积。 黎曼和的直观构建： 我们通过划分区间、计算矩形面积，然后让矩形宽度趋近于零的过程，自然地引出定积分的定义。重点强调积分是“累加”过程的数学表达。 微积分基本定理的深度剖析： 本定理被视为连接“变化率”与“累积量”的桥梁。我们用动画和几何论证来展示微分和积分的互逆关系，而非仅仅陈述公式。 不定积分与反导数： 不定积分被视为所有可能函数族，强调了“+C”常数的物理和数学必要性——它代表了初始条件的缺失。 积分的应用模型： 面积、体积（通过圆盘法、薄壳法）的计算被详细分解。我们会用三维图示来展示如何将复杂形状分解成无穷薄的切片，并进行加总。 第三部分：超越一维——积分技巧与超越函数 (Chapter 5 & 6) 这一部分扩展了我们的工具箱，以解决更复杂的积分问题，并引入了在自然科学中至关重要的函数族。 积分技巧的“艺术”： 介绍代换法（u-Substitution）作为链式法则的逆运算；分部积分法（Integration by Parts）被解释为乘积法则的逆运算，并辅以大量示例展示其在处理对数和指数函数时的威力。 三角代换与部分分式分解： 这些技巧被视为解决特定几何结构（如涉及圆和椭圆）或简化复杂有理函数方程的特定“工具”。 指数、对数与反三角函数： 重点关注 $e^x$ 的独特性质——导数等于自身。自然对数 $ln(x)$ 的定义将与面积下的曲线建立直接联系。反三角函数则着重于其在解决涉及角度和斜率问题中的应用。 第四部分：无界与无限的探索 (Chapter 7 & 8) 本书的后半部分探索了微积分思想在处理“无限过程”时的威力。 广义积分（Improper Integrals）： 如何处理积分区间延伸至无穷大（$infty$）或函数在积分区间内出现间断点的情况。我们将通过分析物理系统（如放射性衰变）的长期行为来理解其意义。 数列与级数的基础： 这是对微积分思想的最终拓展。我们从数列的直观概念开始，逐步引入级数。重点分析几何级数的收敛条件，并引入泰勒级数作为“用多项式逼近任何复杂函数”的强大方法。 泰勒多项式的几何解释： 泰勒级数不再是复杂的公式，而是逐步改进函数近似值的过程。我们展示了如何通过一阶（切线）、二阶（抛物线）逼近来精确描述函数在某点附近的“行为”。 结语：微积分的广阔视野 全书的风格始终保持高度的直觉性和应用性。每章结束后的“思维练习”部分，都要求读者跳出单纯的计算，去思考“为什么”——为什么导数是瞬时率？为什么积分是累加？本书旨在培养读者利用微积分语言来清晰、精确地描述和解决现实世界问题的能力。本书的结构侧重于概念的深度理解和实际应用建模，而非对特定简化技巧的过度聚焦。

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