具体描述
《高等数学基础与应用》 内容提要： 《高等数学基础与应用》是一本专为理工科、经济学及相关专业学生精心编写的教材。本书旨在系统、深入地阐述微积分学的基本概念、理论和方法，并着重于其在实际工程与科学问题中的应用。全书内容涵盖极限与连续性、导数及其应用、积分学基础与应用、无穷级数、多元函数微积分以及向量代数基础等核心模块。本书不仅注重数学原理的严谨推导，更强调通过大量的例题和习题来培养读者的数学建模能力和解决复杂问题的能力。 第一部分：函数、极限与连续性 (Functions, Limits, and Continuity) 本部分是整个高等数学体系的基石。首先，对函数、函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及初等函数的概念进行全面回顾和深化，特别关注函数的图像分析和反函数的求解。随后，引入极限的概念，包括数列的极限和函数的极限，详细讨论极限的$varepsilon-delta$定义，这是理解后续微积分理论的关键。我们详细分析了极限的四则运算、有界性、保号性以及极限存在性的判别方法，如夹逼定理和单调有界定理。 接下来，重点讨论连续性。从直观的“不间断”概念出发，过渡到严格的定义，并分析函数在区间上的不连续点类型（可去间断点、跳跃不连续点、无穷不连续点）。深入探讨连续函数的性质，特别是闭区间上连续函数的最大值、最小值定理和介值定理，这些性质在优化问题中具有基础性作用。 第二部分：导数与微分 (Derivatives and Differentials) 本章的核心是导数的概念，从平均变化率过渡到瞬时变化率，定义了导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速率）。详细推导了基本初等函数的求导公式，并系统讲解了导数的运算法则，包括乘法法则、除法法则以及复合函数的链式法则。 随后，引入隐函数求导法、参数方程求导法。微分的概念被引入，阐述了微分与增量的关系，以及如何利用微分进行近似计算。高阶导数和高阶微分的概念及其应用被详细介绍。 导数的应用是本章的重点。我们将导数应用于函数的单调性判定（一阶导数判别法）、函数的极值与最值求解（一阶和二阶导数判别法），并分析函数的凹凸性、拐点以及利用渐近线描绘函数图像。此外，本章还包含对相关变化率问题的分析，以及洛必达法则（L'Hôpital's Rule）在处理不定式极限中的应用。 第三部分：积分学基础 (Fundamentals of Integral Calculus) 本部分聚焦于定积分和不定积分的概念与计算。从面积和弧长问题的引入，自然过渡到黎曼和的概念，最终给出定积分的严格定义。探讨了定积分的性质，如区间可加性、线形性质和估值不等式。牛顿-莱布尼茨公式作为连接微分学和积分学的桥梁，被详尽阐述，这是计算定积分的核心工具。 不定积分部分，系统介绍了积分的常用方法：换元积分法（第一类和第二类）和分部积分法。针对有理函数积分，详细讲解了部分分式分解法。 此外，本章还介绍了定积分在几何学中的应用，包括计算平面图形的面积、旋转体的体积、旋转体的表面积以及曲线的弧长。广义积分（反常积分）的收敛性判断也被包含在内。 第四部分：无穷级数 (Infinite Series) 本章旨在为理解傅里叶分析和泰勒级数等高级工具打下基础。首先，介绍了数列的极限与级数的基本概念，如收敛与发散的定义。对正项级数，详细讨论了比较判别法、比值判别法（Ratio Test）和根值判别法（Root Test）等收敛性判定法则。 对于交错级数，引入莱布尼茨判别法。随后，定义了绝对收敛和条件收敛，并讨论了级数乘法的相关性质。 本章的核心内容是幂级数。讨论了幂级数的收敛半径和收敛区间，并重点讲解了函数展开为泰勒级数和麦克劳林级数的方法，以及如何利用这些级数来近似计算函数值、定积分和求解某些微分方程。 第五部分：多元函数微积分 (Multivariable Calculus) 本部分将微积分的理论扩展到三维及以上空间。首先引入空间直角坐标系、向量及其运算（点积和叉积），为分析三维几何打下基础。 多元函数的概念、偏导数、全微分以及链式法则在多变量情况下的推广被详细阐述。梯度、方向导数和曲面的法线方向的计算被深入探讨。 偏导数和全微分的应用包括确定函数的极值、鞍点，以及使用多元函数的泰勒公式。Lagrange乘数法作为在约束条件下求解函数极值的重要工具，被专门详细讲解。 在积分部分，本章介绍了二重积分和三重积分的概念、几何意义及其计算方法。重点分析了直角坐标系、极坐标系（用于二重积分）和柱面坐标系、球面坐标系（用于三重积分）下的变量替换，以及雅可比行列式在坐标变换中的作用。最后，简要介绍了线积分和曲面积分的基本概念及其应用背景。 本书特色： 1. 强调直观理解与严谨性并重： 每一个重要的定理和公式推导都力求清晰，同时辅以大量的几何或物理图像解释，帮助学生建立直观感受。 2. 丰富的应用案例： 融入了大量来自物理学、工程学、经济学中的实际问题作为案例，展示数学工具解决现实挑战的能力。 3. 模块化结构： 内容划分清晰，便于教师根据不同专业的教学需求进行灵活取舍和安排。 4. 精选习题集： 每章末尾的习题分为基础巩固型、计算技巧型和思维拓展型三类，确保学生能够全面掌握知识点并提升分析能力。
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