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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Pachpatte, B.G.

出品人:

页数:608

译者:

出版时间:2005-5

价格:$ 288.15

装帧:HRD

isbn号码:9780444517951

丛书系列:North-Holland Mathematical Library

图书标签:

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《几何构造的精妙：欧氏几何与非欧几何的视觉探索》 作者：[此处填写一个听起来像是数学家的名字] 出版社：[此处填写一个专业学术出版社的名字] --- 内容简介 《几何构造的精妙：欧氏几何与非欧几何的视觉探索》是一部深度聚焦于几何学基础及其深远拓展的专著。本书旨在超越传统教科书中对几何概念的机械化处理，通过详尽的图解、严谨的逻辑推导和对历史背景的深刻洞察，带领读者进入一个由点、线、面构筑的、充满内在美感的抽象世界。本书的叙事核心在于几何结构的构造性本质，以及这些结构如何在不同公理体系下展现出令人惊叹的多样性。 全书共分六大部分，结构紧凑，逻辑递进，从最直观的欧几里得几何学出发，逐步迈向更广阔的非欧几何领域，并探讨了这些理论在现代物理学和拓扑学中的隐秘联系。 --- 第一部分：欧氏几何的基石与完善（The Foundations and Refinements of Euclidean Geometry） 本部分致力于对欧几里得《几何原本》中公理、公设与定义进行细致入微的剖析。我们不满足于对第五公设（平行公设）的简单陈述，而是将其视为整个体系的“阿喀琉斯之踵”和创新的起点。 公理的哲学溯源： 探讨亚里士多德逻辑对早期几何学的影响，以及柏拉图学园中对“理想形体”的追求。 尺规作图的限制与可能性： 深入分析利用直尺和圆规进行构造的严格规则。例如，对于“化圆为方”、“三等分任意角”以及“作正十七边形”等经典难题，本书不仅会重述其不可解性，更会从代数角度解释为何这些构造在欧氏框架内被判了“死刑”。 阿基米德的贡献与积分思想的萌芽： 尽管积分学诞生于更晚的时代，但阿基米德对曲边图形面积和立体体积的计算方法，体现了对极限概念的早期直觉。本章将展示其“穷竭法”的严密性及其与现代微积分的结构性关联。 射影几何的引入： 在保持欧氏度量不变的前提下，引入射影几何的基本概念，如对偶性原理（Principle of Duality）和“无穷远点”的直观理解。这为后续过渡到更抽象的空间提供了桥梁。 --- 第二部分：度量与空间：解析几何的革命（Measurement and Space: The Revolution of Analytic Geometry） 笛卡尔和费马的解析几何是将代数思维注入几何构造的决定性一步。本部分强调坐标系如何使几何问题转化为代数方程，极大地增强了研究的计算能力。 笛卡尔坐标系的诞生： 详细阐述如何使用有序数对来唯一确定平面上的点，以及如何将曲线（如圆锥曲线）表示为多项式方程。 二次型与二次曲面： 深入探讨形如 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的一般二次方程，展示如何通过坐标旋转和配方，将其简化为标准形式，从而识别出椭圆、双曲线、抛物线乃至退化图形（如直线对或单点）。 向量代数在三维空间中的应用： 引入向量的概念，用于描述方向和位移。详细论述点积（内积）与投影的关系，以及叉积（外积）在确定平面法向量和计算平行四边形面积中的作用。 --- 第三部分：黎曼曲率的曙光：对第五公设的质疑与超越（The Dawn of Riemannian Curvature: Questioning and Transcending the Fifth Postulate） 这是全书的转折点。本部分聚焦于数学家们如何系统性地挑战欧几里得体系的唯一性，从而催生出非欧几何这一宏伟结构。 平行公设的等价命题： 细致考察了波利亚（Bolyai）、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）等人如何用不同的陈述来替代第五公设，例如“过直线外一点有无穷多条平行线”（罗氏几何）或“过直线外一点没有平行线”（椭圆几何）。 罗氏几何（双曲几何）的内在一致性： 本章将通过双曲扇形模型（如上林-庞加莱模型）来直观展示负曲率空间。重点分析在罗氏几何中，三角形内角和小于 180° 的几何事实，并展示其与欧氏几何在三角学上的显著差异（如罗氏正弦定理）。 椭圆几何（球面几何）的内在一致性： 探讨正曲率空间（球面）的特性，例如“三角形内角和大于 180°”，以及球面上的测地线（大圆）的性质。强调在椭圆几何中，任意两条“直线”（大圆）必然相交，从而完全排除了平行线的存在。 --- 第四部分：测地线几何与流形概念的萌芽（Geodesic Geometry and the Sprouting of Manifold Concepts） 如何用一种不依赖于嵌入空间的语言来描述这些新的几何结构？本部分引入了现代微分几何的早期思想。 测地线的定义： 在弯曲空间中，测地线是“最短路径”，但更重要的是，它是“没有加速度”的路径。本书将探讨如何从内在的度量张量（而非外在的嵌入空间）来定义测地线方程。 黎曼几何的先声： 尽管黎曼本人在更宏大的框架下发展了这一理论，但本章将聚焦于他关于曲率的概念——曲率不再是“弯曲程度的外部度量”，而是空间内在的性质。通过“平行移动”的视角，解释为什么在弯曲空间中，一个向量沿着封闭回路移动后，其方向会发生变化。 高斯绝妙定理（Theorema Egregium）： 深入剖析高斯如何证明，高斯曲率 $K$ 仅依赖于第一基本形式，即仅依赖于空间本身的内蕴属性，与空间如何被嵌入到三维欧氏空间中无关。这是区分欧氏几何与非欧几何的决定性内在判据。 --- 第五部分：拓扑学的幽灵：对刚性的挑战（The Ghost of Topology: Challenging Rigidity） 几何学传统的“刚性”概念——即距离和角度的固定性——在拓扑学中被彻底打破。本部分引入了拓扑学的基本思想，作为对经典几何学的后现代反思。 连续形变与不变量： 讨论拓扑学关注的性质——那些在连续形变（拉伸、扭曲，但不撕裂、不粘合）下保持不变的性质。例如，连通性、洞的数量（亏格）。 拓扑等价： 区分欧氏等距、仿射等价和拓扑等价。展示一个甜甜圈（环面）如何通过拓扑形变等价于一个咖啡杯，但与一个球体在拓扑上是不同的。 欧拉示性数： 介绍欧拉示性数 $chi = V - E + F$ 在多面体上的应用，并展示它如何推广到更复杂的曲面分类中，成为曲面的基本拓扑不变量。 --- 第六部分：几何的交叉点：相对论的几何背景（The Intersection of Geometries: The Geometric Context of Relativity） 本书的最后一部分将前述的理论成果应用于现代科学，展示几何学如何从纯粹的数学思辨，转变为描述物理实在的语言。 闵可夫斯基时空： 阐述狭义相对论如何构建四维时空，并引入洛伦兹变换。分析在闵氏空间中，如何定义“间隔”（Interval）的概念，以及为何在这个空间中，光锥（Light Cone）的概念取代了欧氏空间中的绝对时间概念。 广义相对论的几何化： 解释爱因斯坦的场方程如何将物质和能量的分布（能量-动量张量）与时空自身的几何结构（爱因斯坦张量）联系起来。强调引力不再是一种力，而是时空弯曲的体现。 黎曼流形与宇宙几何： 总结广义相对论所使用的数学工具——黎曼几何——如何描述宇宙的全局结构。探讨宇宙是具有正曲率（闭合的）、负曲率（开放的）还是零曲率（平坦的）的几何问题，以及这些可能性对宇宙命运的深远影响。 --- 读者对象 本书适合具有扎实微积分和线性代数基础的高年级本科生、研究生，以及所有对几何学原理有深刻兴趣的数学和物理学研究人员。本书通过丰富的插图和严谨的论证，力求在保持学术深度的同时，实现对几何思想的直观传达。

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