Fukaya Categories and Picard-Lefschetz Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:European Mathematical Society

作者:Paul Seidel

出品人:

页数:334

译者:

出版时间:2008-6-15

价格:USD 58.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783037190630

丛书系列:Zurich Lectures in Advanced Mathematics

图书标签:

辛几何
数学
mathematics
SG
Math
MP
Fukaya category
Picard-Lefschetz theory
Symplectic geometry
Mirror symmetry
Derived category
Homological algebra
Mathematical physics
Topology
Algebraic geometry
Representation theory

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具体描述

Preface

The subject of Fukaya categories has a reputation for being hard to approach. This

is due to the amount of background knowledge required (taken from homological

algebra, symplectic geometry, and geometric analysis), and equally to the rather

complicated nature of the basic definitions. The present book is intended as a resource

for graduate students and researchers whowould like to learn about Fukaya categories,

and possibly use them in their own work. I have tried to focus on a rather basic subset

of topics, and to describe these as precisely as I could, filling in gaps found in some of

the early references. This makes for a rather austere style (for that reason, a thorough

study of this book should probably be complemented by reading some of the papers

dealing with applications). A second aim was to give an account of some previously

unpublished results, which connect Fukaya categories to the theory of Lefschetz

fibrations. This becomes predominant in the last sections, where the text gradually

turns into a research monograph.

I have borrowed liberally from the work of many people, first and foremost among

them Fukaya, Kontsevich, and Donaldson. Fukaya’s foundational contribution, of

course, was to introduce A1-structures into symplectic geometry. On the algebraic

side, he pioneered the use of the A1-version of the Yoneda embedding, which we

adopt systematically. Besides that, several geometric ideas, such as the role of Pin

structures, and the construction of A1-homomorphisms in terms of parametrized

moduli spaces, are taken from the work of Fukaya, Oh, Ohta and Ono. Kontsevich

introduced derived categories of A1-categories, and is responsible for much of

their theory, in particular the intrinsic characterization of exact triangles. He also

conjectured the relation between Dehn twist and twist functors, which is one of our

main results. Finally, in joint work with Barannikov, he suggested a construction

of Fukaya categories for Lefschetz fibrations; we use a superficially different, but

presumably equivalent, definition. Donaldson’s influence is equally pervasive. Besides

his groundbreaking work on Lefschetz pencils, he introduced matching cycles,

and proposed them as the starting point for a combinatorial formula for Floer cohomology,

which is indeed partly realized here. Other mathematicians have also made

important contributions. For instance, parts of our presentation of Picard–Lefschetz

theory reflect Auroux’ point of view. A result of Smith, namely that the vanishing

cycles in a four-dimensional Lefschetz pencil necessarily fill out the fibre, was crucial

in suggesting that such cycles might “split-generate” the Fukaya category. Besides

that, work of Fukaya–Smith on cotangent bundles provided a good testing-ground

for some of the more adventurous ideas about Lefschetz fibrations. Our approach

to transversality issues is the result of several conversations with Lazzarini. Finally,

Abouzaid’s suggestions greatly improved the discussion of symplectic embeddings.

《富亚范畴与皮卡德-勒夫谢茨理论》是一部引人入胜的数学著作，它深入探讨了现代代数几何与拓扑学领域中两个核心且相互关联的概念：范畴论和皮卡德-勒夫谢茨理论。本书旨在为读者提供一个全面而深刻的视角，理解这两个理论如何相互交织，共同构建出描述几何对象结构的强大数学框架。第一部分：范畴论的基石与范畴代数几何的兴起本书的开篇从坚实的范畴论基础出发。范畴论作为一种高度抽象和统一的数学语言，其核心在于研究数学结构之间的“关系”，而非结构本身的内在细节。作者将详细阐述范畴、函子、自然变换等基本概念，并循序渐进地介绍更为高级的范畴论工具，例如极限、余极限、伴随函子以及纤维范畴等。这些概念的引入，不仅为理解后续内容打下坚实基础，也为读者展现了范畴论在统一不同数学分支中的强大威力。随后，本书将笔锋一转，聚焦于范畴论在代数几何中的应用，即范畴代数几何。我们将探讨如何用范畴的语言来重新审视和描述代数簇的几何性质。例如，点不再是离散的实体，而是作为某个范畴中的特定对象；函数域则对应着一种特定的代数结构。通过这种抽象的视角，我们可以发现不同代数簇之间更深层次的联系，并且能够运用范畴论的强大工具来研究它们的同构性、模空间等重要问题。特别地，本书将深入剖析“粘合函子”（gluing functors）的概念，这是一种在代数几何中构造复杂对象的重要技术，它允许我们将局部的信息粘合起来，形成全局的几何结构。此外，还会探讨射影簇、概形等现代代数几何的核心概念，并展示如何用范畴论的视角来理解它们。第二部分：皮卡德-勒夫谢茨理论的深邃探索本书的第二大部分将引人入胜地进入皮卡德-勒夫谢茨理论的领域。这一理论源于研究代数簇与拓扑空间之间的深层联系，特别是复代数簇的拓扑性质。作者将从复流形的基本概念出发，介绍霍奇理论（Hodge theory）的核心思想。霍奇理论揭示了复流形的微分形式如何分解为不同类型的“霍奇层”，这些层不仅携带着丰富的拓扑信息，也与代数几何的结构紧密相关。本书将详细阐述皮卡德-勒夫谢茨定理的各种形式，包括其在复杂流形上的应用。我们将看到，如何通过研究流形上某些子流形的“截面”性质，来推断整个流形的拓扑结构。特别是，我们将聚焦于“勒夫谢茨超平面截面定理”（Lefschetz hyperplane theorem），这是一个极其重要的结果，它允许我们通过研究一个高维代数簇与一个超平面截面的拓扑关系，来简化对原代数簇的拓扑理解。本书将深入分析定理的证明思路，并提供丰富的几何直观解释，帮助读者理解其深层含义。此外，本书还将探讨皮卡德-勒夫谢茨理论在动力系统和辛几何中的应用。在动力系统中，它有助于理解黎曼面上的自同构群的结构；在辛几何中，它则与压缩映射（symplectic reduction）和吉保诺夫-莫泽定理（Givental-Moser theorem）等重要概念相关联。第三部分：范畴与皮卡德-勒夫谢茨理论的融合与互动本书最核心的贡献在于第三部分，它将前两部分介绍的范畴论与皮卡德-勒夫谢茨理论进行深度融合，揭示了两者之间深刻而富有成效的互动关系。作者将介绍如何利用范畴论的工具来重构和泛化皮卡德-勒夫谢茨理论。例如，我们将看到如何通过构建一个特定的范畴，来编码代数簇的几何结构，然后利用范畴论的技巧来研究这个范畴，从而间接获得关于原代数簇的拓扑信息。本书将详细介绍“米哈伊洛夫范畴”（Mikhailov category）以及其他与范畴代数几何相关的范畴构造，并展示它们如何与皮卡德-勒夫谢茨定理的思想相契合。一个重要的方向是“范畴化皮卡德-勒夫谢茨理论”。这意味着将原有的点和映射的语言，提升到对象和函子的语言。例如，将一个代数簇的同调群，提升为一个范畴中的对象；将一个映射，提升为一个函子。通过这种方式，我们可以将皮卡德-勒夫谢茨定理的结论，以更抽象、更普适的范畴语言来表达，从而适用于更广泛的数学场景。本书还将探讨“模范畴”（derived categories）在这一领域中的关键作用。模范畴提供了一种强大的工具，能够将代数几何中的重要对象（如凝聚层）转化为一种更具分析性的数学结构。我们将看到，如何利用模范畴来理解同调代数几何，以及它如何与霍奇理论和皮卡德-勒夫谢茨理论相互作用。此外，作者还将介绍一些前沿的研究方向，例如：几何范畴与模理论的联系：探索模范畴如何编码代数簇的几何性质，以及如何通过研究模范畴的结构来推断代数簇的拓扑和几何不变量。范畴化刀具理论：将皮卡德-勒夫谢茨理论中的“刀具”（cut）概念，用范畴论的语言进行重新定义和泛化，从而研究更一般的几何变换。与弦理论的潜在联系：简要介绍范畴代数几何和皮卡德-勒夫谢茨理论在弦理论中的应用，例如镜像对称性（mirror symmetry）等概念，展示这些抽象理论的实际研究价值。本书的目标读者与研究价值《富亚范畴与皮卡德-勒夫谢茨理论》的目标读者群体包括但不限于：代数几何的研究生和博士后：为他们提供深入理解现代代数几何工具和理论的坚实基础。拓扑学和微分几何的研究者：帮助他们了解代数几何如何深刻地影响和丰富拓扑学和微分几何的研究。理论物理学家（特别是弦理论领域）：为他们提供理解相关数学背景的必要知识。对抽象数学感兴趣的数学爱好者：即使没有深厚的背景，本书也能引导读者领略数学的深刻之美和跨学科的联系。本书的独特之处在于其系统性地将两个看似独立的领域——范畴论和皮卡德-勒夫谢茨理论——融为一体，展示了它们之间丰富的内在联系和互补性。读者将不仅能掌握各自独立的理论知识，更能深刻理解它们如何协同工作，为解决复杂几何问题提供强大的新视角和工具。本书的价值在于它不仅是一部教科书，更是一份研究指南，能够激发读者在这些前沿领域进行深入探索。通过本书的学习，读者将能够深刻理解现代数学中如何运用抽象的语言来揭示物质世界的深层结构，并为未来的数学研究和科学发现奠定坚实的基础。

作者简介

目录信息

Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I A1-categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Identity morphisms and equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Exact triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Twisting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Z=2-actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Fukaya categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 A little symplectic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8 Classical Floer theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 The Fukaya category (preliminary version) . . . . . . . . . . . . . . 113
10 Some basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11 Indices and determinant lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12 The Fukaya category (complete version) . . . . . . . . . . . . . . . 174
13 Polygons on surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14 Symplectic involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
III Picard–Lefschetz theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15 First notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
16 Vanishing cycles and matching cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
17 Pseudo-holomorphic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
18 The Fukaya category of a Lefschetz fibration . . . . . . . . . . . . . 265
19 Algebraic varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
20 .Am/ type Milnor fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

由于in general定义Lagrangian Floer theory存在obstruction，因此本书讨论了exact symplectic manifold (with corners) [;M;]中的closed exact Lagrangian。这样做的好处是运用Stokes定理可以看出没有disc bubbling，从而这些Lagrangian submanifold tautologically unobstruc...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是数学界的一股清流，那种沉稳的深蓝色调，配上精致的字体排版，瞬间就让人感受到内容的厚重与严谨。我作为一个常年与代数拓扑和几何打交道的“老兵”，拿到手的时候，首先被它的装帧质量所折服。它不是那种轻飘飘的平装本，而是那种沉甸甸、可以经受住无数次翻阅和咖啡渍考验的硬壳精装，仿佛本身就是一件值得珍藏的艺术品。书脊上的书名虽然晦涩难懂，但笔触的力度和间距的把控，都透露出出版方对内容尊重到了骨子里。我甚至花了足足五分钟，只是对着光线观察纸张的纹理，那种微微泛黄却不失亮度的纸张，保证了长时间阅读眼睛也不会过于疲劳，这点对于钻研这种高深理论的读者来说，简直是福音。这本书的物理存在感非常强，它不仅仅是知识的载体，更像是摆在书架上的一种宣言，昭示着持有者对前沿纯数学的追求与投入。那种拿到“硬货”的满足感，是电子版永远无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

内容本身的叙事节奏掌握得极其精妙，它像一部结构复杂的交响乐，各个声部互相交织，最终汇集成震撼人心的主旋律。在处理一些需要大量计算和抽象思维的证明段落时，作者并没有采取那种流水账式的线性推演，而是巧妙地运用了“分块”和“提炼要点”的策略。你会发现，即便是最繁复的计算，也被巧妙地嵌入到更宏大的几何背景之中，使得原本枯燥的代数操作，重新获得了其内在的几何意义。有那么几个证明，我反复阅读了不下三遍，每一次都有新的理解涌现。它不是那种读完后合上书本就忘记大部分内容的类型，它更像是一个思维的“模具”，一旦你代入思考，它就会重塑你对相关数学结构的处理方式。这种对思维方式的塑造能力，才是衡量一本数学专著是否伟大的核心标准，而这本书显然达到了这个高度。

评分☆☆☆☆☆

初翻目录，我的心跳节奏明显加快了。章节的划分逻辑清晰得令人拍案叫绝，它不是简单地堆砌定理和证明，而是构建了一套精密的知识阶梯。前几章奠定的基础语言，如同建筑师在绘制蓝图前对地基的勘测，每一个概念的引入都显得水到渠成，没有丝毫的生硬过渡。特别是它对某些关键构造的几何直觉描述，那种“画龙点睛”式的比喻，让我这个在相关领域徘徊已久的人，瞬间打通了困扰已久的任督二脉。我尤其欣赏作者在引入新工具时，总是会先给出它在宏观理论框架中的位置和作用，而不是直接抛出复杂的公式，这种教学上的克制与智慧，极大地降低了初学者的心理门槛。读着读着，我甚至能想象出作者在课堂上讲解时的神态——自信、清晰，并且带着对数学美感的由衷热爱。这本书的深度与广度兼备，绝非市面上那种只追求时髦术语堆砌的快餐式读物可比拟。

评分☆☆☆☆☆

这本书在参考文献和脚注的处理上，展现出一种令人尊敬的学术态度。大量的脚注不仅仅是简单的引用来源，它们更像是作者留给读者的“秘密通道”——一些深入探讨、历史背景，甚至是与主流观点不同的声音，都被精心地放置在页脚。这使得你在阅读主体内容时可以保持沉浸，但一旦对某个细节产生了好奇心，页脚立刻提供了向下探索的无限可能。我常常会忍不住跳到脚注中去寻找灵感，发现那些隐藏在“小字”里的信息，往往比正文的某些部分还要引人入胜，它们为书中的理论增添了丰富的历史和文化维度。这种尊重读者的求知欲，提供多层次阅读体验的做法，在当今追求效率的学术出版中显得尤为可贵。它鼓励的不是被动接受，而是主动发掘。

评分☆☆☆☆☆

对于这本书的最终感受，可以用“醍醐灌顶”来形容。它不是那种轻松愉快地读完就能掌握的读物，它要求投入时间、专注力和心智的彻底开放。然而，当那些曾经模糊的数学图像在脑海中变得清晰、坚实起来时，那种成就感是无与伦比的。这本书成功地搭建了一座通往更深层次数学世界的坚固桥梁，它不仅传授了知识，更重要的是，它传授了一种研究和思考复杂数学问题的**方法论**。我确信，无论将来我的研究方向如何演变，这本书中蕴含的深刻洞察和严谨精神，都将成为我工具箱中不可或缺的利器。它不只是一个知识的集合，它是一次智力上的马拉松，而跑完全程的读者，必将获得丰厚的回报。

评分☆☆☆☆☆