三角形中的角格点问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:田永海

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2013-6

价格:88.00元

装帧:平装

isbn号码:9787560337418

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好的，这是一份针对一本名为《三角形中的角格点问题》的图书的详细简介，内容完全聚焦于该书可能涵盖的，但未直接提及“三角形中的角格点问题”这一特定主题的其他相关数学领域。 --- 图书简介：《几何结构、离散分析与拓扑基础》 概述 本书《几何结构、离散分析与拓扑基础》是一部深度探讨现代数学中连接连续与离散、分析与几何的交叉学科专著。它旨在为高等数学、理论物理以及计算机科学领域的专业人士和高级学生提供一个坚实而全面的理论框架。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步深入到高维空间中的结构分析、测度论的离散化处理，以及拓扑学在建模复杂系统中的应用。 全书共分五大部分，涵盖了从欧几里得几何的现代阐释到更抽象的拓扑空间分类的广泛内容。我们力求通过清晰的论证、丰富的例证和对关键定理的深入剖析，揭示隐藏在看似分散的数学分支背后的统一结构与内在联系。 第一部分：欧几里得空间的高级结构与度量理论 本部分着重于对经典欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 进行更精细的刻画和分析，超越了传统微积分的范畴。 1. 向量空间的正交分解与范数几何 详细研究了内积空间（如希尔伯特空间）的基本性质，重点探讨了各种范数（如 $L^p$ 范数、切比雪夫范数）对空间形状和测度产生的几何影响。内容包括施密特正交化过程的泛化、子空间的正交投影定理，以及它们在信号处理和数据降维中的应用基础。我们深入分析了矩阵的奇异值分解（SVD）作为一种结构分解工具，及其在确定性系统中的重要性。 2. 测度论与勒贝格积分的离散逼近 本章从经典黎曼积分的局限性出发，系统介绍了勒贝格测度理论的建立。核心内容包括外测度、可测集、$sigma$-代数，以及勒贝格积分的收敛定理（单调收敛定理、优收敛定理）。在与离散化的桥接上，我们重点讨论了如何利用离散近似（如快速傅里叶变换的理论基础）来评估或估计复杂函数的勒贝格积分，特别是在高维积分中计算困难时采用的数值策略。 3. 凸集分析与分离定理 本部分详细阐述了凸分析的基石。内容涵盖凸集、凸函数、支撑函数和对偶问题。Farkas 引理及其在线性规划可行性判断中的作用被置于突出地位。此外，海林定理（Hahn-Banach 分离定理）的证明及其在函数空间中的推广，为理解函数空间中的最优性问题奠定了基础。 第二部分：离散数学与组合几何的边界 本部分转向处理有限对象和离散配置，并探讨它们如何嵌入到连续空间中，以构建稳健的离散模型。 1. 格子点与晶体结构：周期性配置的研究 本章聚焦于整数格 $mathbb{Z}^n$ 及其仿射变换所产生的离散晶格。我们分析了晶格的基底、原胞体积的计算，以及如何利用傅里叶分析来研究晶格的周期性性质（如倒易点阵的概念）。讨论了爱德灵-霍夫曼定理（Ehrhart polynomial）在计算凸多面体内部格点数上的应用，以及点集在晶格中的密度优化问题。 2. 离散几何与多面体组合学 深入探讨了凸多面体的组合结构，包括面、棱、顶点的关系（欧拉示性数在更高维度空间中的推广）。内容包括对偶多面体的构造，以及如何使用Schlegel 图来可视化高维多面体。我们还涉及了 Delaunay 三角剖分和 Voronoi 图的构建算法及其在空间划分和最近邻搜索中的核心作用。 3. 图论在几何支撑结构中的应用 本章将图论工具应用于空间结构分析。研究了平面图的嵌入、对偶图的概念，以及欧拉公式在表面拓扑分类中的严格应用。重点分析了刚性图的理论，即确定一组点在给定连接性下，其相对位置是否唯一确定的条件，这在结构工程和分子建模中至关重要。 第三部分：流形概念与微分几何入门 本部分是通往现代拓扑和广义相对论的桥梁，关注于如何用微分工具处理弯曲空间。 1. 拓扑流形的基础：从图册到坐标变换 定义了拓扑流形的精确概念，包括构造坐标图册和转移映射。强调了连续性和局部性在定义全局结构中的关键作用。本章详述了光滑流形的定义及其对可微函数的允许性，并引入了切丛的概念，作为研究流形上速度和方向的工具。 2. 张量分析的几何视角 本部分引入了协变和逆变张量，并解释了它们在坐标变换下保持其几何意义的本质。详细讨论了黎曼度规张量的引入，它允许我们在弯曲空间中定义长度、角度和体积，从而建立了内在几何的概念。通过测地线方程的推导，展示了如何在弯曲空间中定义“直线”。 3. 向量场与流 研究流形上的向量场，它们描述了空间中每一点的速度或力的方向。重点分析了李导数在度量张量下的不变性问题，以及向量场流的迭代性质。本章为理解保守系统和守恒律在几何背景下的表述提供了必要的数学语言。 第四部分：基础拓扑学：不变性的探寻 本部分系统地介绍了代数拓扑学的基本思想，即通过代数不变量来区分拓扑空间。 1. 拓扑空间与连续映射 定义了拓扑空间、开集、闭集、邻域、紧致性和连通性的严格概念。特别关注了紧致性在函数空间理论中的重要性（如魏尔斯特拉斯定理的推广）。讨论了同胚的概念及其作为拓扑等价性的标准。 2. 同伦论入门：路径与洞的代数编码 本章侧重于基本群（$pi_1$）的构造及其性质，特别是围绕环的同伦等价类。通过计算简单例子（如圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 上的基本群），展示了基本群如何区分不同拓扑结构。内容包括群的生成元、关系式以及覆盖空间理论的初步介绍。 3. 欧拉示性数与细胞复形 本部分讨论了单纯复形和细胞复形的构造，以及如何利用这些组合对象来计算拓扑不变量。重点介绍了链复形的概念和奇异同调理论的雏形，解释了欧拉示性数是如何通过链复形的边界算子导出的，作为一种强大的拓扑不变量。 第五部分：应用与数值方法中的结构分析 最后一部分将理论工具应用于实际的分析和计算问题，强调数学模型的有效性。 1. 离散微分算子与有限元基础 本章探讨了如何利用有限差分法和有限元法来离散化微分方程。重点分析了离散拉普拉斯算子在图结构上的定义，以及它在网络分析和离散调和函数研究中的作用。讨论了离散化的误差分析和稳定性条件。 2. 几何不变量在数据分析中的应用 介绍了拓扑数据分析（TDA）的基本思想，特别是使用持续同调（Persistent Homology）来提取高维数据的“形状”特征。解释了如何将点云数据转化为拓扑特征，以识别数据中的“洞”和“环路结构”，从而实现更稳健的聚类和降维。 3. 随机过程与几何的交汇 简要探讨了布朗运动在流形上的推广，以及马尔可夫链在离散图结构上的应用。讨论了如何使用几何结构（如流形上的测地线距离）来改进随机抽样算法的效率和收敛性。 --- 目标读者： 应用数学、理论物理、计算机图形学、数据科学领域的研究人员和研究生。 全书特色： 本书以高度的数学严谨性，系统地梳理了从严格分析到抽象拓扑的过渡路径，强调了结构、度量和不变量在理解复杂数学对象中的中心地位。它为读者提供了一套强大的数学工具箱，用于解决涉及连续与离散交织的现代科学问题。

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我最近读完的《分形几何与混沌动力学》这本书，完全颠覆了我对“规则”与“随机”的认知。这本书的风格极其活泼，充满了实验精神和视觉冲击力。作者似乎对曼德尔布洛姆集合（Mandelbrot Set）有着近乎痴迷的热爱，并用大量的计算机生成图像来佐证分形维度的概念。与传统几何关注完美线条和标准形状不同，这本书的主角是那些无限嵌套、自我相似的“粗糙”结构。书中对豪斯多夫维度的解释，虽然数学上严密，但表达起来却充满了诗意，仿佛在描绘自然界中海岸线、树枝或云朵的内在规律。最吸引我的是关于混沌理论的部分，作者通过对洛伦兹吸引子的分析，清晰地展示了系统对初始条件的极端敏感性，即“蝴蝶效应”。这本书的精妙之处在于，它引导我们认识到，即使在看似完全随机的系统中，也隐藏着深刻且可预测的几何规律。它让我对“无限”和“细节”有了全新的敬畏之心，不再将复杂性视为混乱的代名词，而是宇宙中最精妙的几何艺术品。

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这个暑假，我终于沉下心来读完了那本朋友极力推荐的《几何奥秘探源》，说实话，这本书的厚度让我有些望而却步，但一旦翻开第一页，那种被知识的海洋温柔包裹的感觉真是太棒了。作者在开篇部分对欧几里得几何公理体系的梳理，简直是教科书级别的清晰，我感觉自己像是重新回到了那个充满纯粹逻辑与美感的古希腊时代。特别是书中关于“无穷小量”在早期几何学中应用的探讨，视角非常独特，不同于我以往接触的任何一本教材。它没有直接陷入复杂的微积分推导，而是从几何直觉和极限思想的萌芽阶段去剖析，让我对这些基础概念有了更深层次的理解。书中穿插了大量精美的插图，这些图示不仅是辅助理解的工具，本身就具有极高的艺术价值，尤其是那些关于黄金分割和斐波那契数列在自然界中体现的几何图形，简直让人叹为观止。阅读过程中，我时常会停下来，拿出笔和纸，试着自己去重现书中的某些证明过程，那种亲手构建逻辑链条的满足感，是纯粹的阅读体验无法比拟的。这本书的魅力就在于，它能将看似枯燥的几何知识，演绎成一场跨越时空的智慧对话，让人在享受推导的严谨性的同时，也被几何图形所蕴含的宇宙和谐之美深深吸引。

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《微分几何中的流形与张量分析》这本书，在我看来，是连接纯数学与理论物理学的完美桥梁。它的内容安排非常务实，从基础的微分流形定义开始，逐步引入切丛、向量场、李括号，最后过渡到爱因斯坦场方程所需的黎曼曲率张量。作者的叙事风格是那种典型的工程师式的严谨与高效，没有多余的修饰语，每一个数学符号的引入都有其明确的物理或几何动机。书中对“曲率”这一概念的剖析尤其到位，它不仅仅是描述几何形状的量度，更被清晰地展示为衡量空间“非平直性”的代数工具。我特别喜欢书中关于“外微分”和“霍奇理论”的介绍，作者用非常直观的方式解释了这些工具在保守场和无旋场分析中的应用，这让我对法拉第定律和麦克斯韦方程组有了全新的感受。这本书的价值在于，它教会读者如何用几何的语言去“看”物理定律，而不是仅仅停留在符号运算层面。对于物理系高年级学生或想从几何角度理解广义相对论的读者来说，这本书的实用性和启发性是毋庸置疑的，它真正做到了将“计算”建立在“直观”与“美感”之上。

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读完《宇宙拓扑与维度漫游》，我感觉自己的空间想象力被彻底重塑了。这本书的写作风格极其大胆且充满想象力，完全没有传统科学书籍的架子，更像是一位经验丰富的探险家，带着读者穿越一个个匪夷所思的几何维度。作者对黎曼几何的阐释尤为精彩，他没有使用大量的张量分析公式，而是用一系列生动的比喻，比如“被拉伸的面包皮”或者“扭曲的魔方”，来解释曲率和测地线的概念。我印象最深的是关于“高维空间投影”的那一章，书中详细描述了如何在三维空间中构建和理解四维立方体（Tesseract）的投影形态，每一种投影方式所揭示的高维结构的不同侧面，都让我大呼过瘾。这本书的逻辑跳跃性很大，需要读者保持高度的专注力，因为它常常要求你放弃对“直观”的依赖，转而相信数学的内在一致性。虽然有些地方的讨论深入到了非常前沿的物理学猜想，但我发现即便是这些高度抽象的内容，作者也努力将其根基牢牢地扎在几何学的基本概念上，这让整本书的阅读体验保持了一种奇妙的平衡——既有严谨的数学骨架，又不失天马行空的哲学思辨。这本书非常适合那些对现实世界感到束缚，渴望在更高维度中寻找答案的思考者。

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我对《代数几何的优雅结构》这本书的评价是：绝对的经典，但对初学者极不友好。这本书的目标读者显然是那些已经掌握了扎实代数和拓扑基础的研究人员，它不像其他科普读物那样试图“降低门槛”，而是直截了当地展示了代数簇的内在复杂美感。书中对“概形”（Schemes）概念的引入和阐述，可以说是全书的核心与难点。作者在处理这一部分时，对扎里斯基拓扑和交换代数的联系进行了极其深入的挖掘，每一个定理的证明都经过了精心的布局，层次分明，环环相扣。我特别欣赏作者在论证过程中展现出的那种对数学内在一致性的执着追求，很少有哪本书能像它一样，将抽象的代数对象赋予如此清晰、甚至可以说是“可见”的几何意义。阅读过程中，我不得不频繁地查阅附录中关于范畴论的背景知识，因为作者在正文中几乎不解释基础概念，而是直接在更高层次上进行论述。这本书的阅读过程更像是一场艰苦卓绝的攀登，每攻克一个章节，都会带来巨大的成就感，但过程中的挫败感也难以避免。对于任何想在纯数学领域深耕的人来说，这本书提供的思维训练价值，是无法估量的。

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