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出版者:内蒙古大学

作者:李东平，田强，吴

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-01-01

价格:18.0

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isbn号码:9787810749763

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• 高等数学
• 数学
• 大学教材
• 微积分
• 函数
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• 线性代数

跨越基础，探寻真理：一部面向未来的微积分著作 书名：《高等数学：下》 简介 本书是与《高等数学：上》配套的进阶篇章，旨在为已经掌握微积分基础概念的学习者，构建起更为坚实和广阔的分析学知识体系。我们深知，数学的魅力在于其严谨的逻辑推导与无与伦比的应用潜力。《高等数学：下》正是基于这一理念，系统性地、深入浅出地引入了高等数学中最为核心且最具挑战性的几个分支——多元函数微积分、常微分方程、级数理论，并辅以必要的向量代数和空间解析几何作为铺垫。 本书的编写目标不仅仅是知识的传授，更是思维方式的塑造。我们力求引导读者从一维的函数概念，平稳过渡到多维度的空间理解，从而真正理解微积分作为描述变化和运动的强大工具的本质。 --- 第一部分：广阔的二维与三维世界——多元函数微积分 如果说上册主要围绕着平面曲线和函数展开，那么《高等数学：下》将带领读者进入一个更加真实、更具复杂性的世界——三维空间。 1. 空间几何基础与向量代数 在深入研究多元函数之前，我们首先需要一套描述三维空间的语言。本章从笛卡尔坐标系在三维中的扩展入手，详细阐述了向量的运算（加减法、数乘、点积与叉积）。重点在于对点积（数量积）在投影和垂直判断中的几何意义，以及叉积（向量积）在确定平面法向量和计算面积方面的直观应用。空间中直线和平面的方程表示，是后续偏导数和多重积分几何解释的基础。 2. 多元函数与偏导数 多元函数 $f(x, y, z, ldots)$ 的概念是本书的第一个关键飞跃。我们讨论了多元函数的极限与连续性，并通过极限定理和拓扑概念（如邻域）来严格界定这些概念。 核心部分聚焦于偏导数的计算与物理意义。偏导数揭示了函数沿着特定方向变化的速率。为解决函数沿着任意方向变化的速率问题，我们引入了梯度（Gradient）这一核心向量场概念。梯度不仅指示了函数值增长最快的方向，其性质在优化问题中占据中心地位。 3. 高阶偏导数与泰勒公式 理解二阶偏导数对于判断函数曲面的凹凸性至关重要。我们系统地讨论了混合偏导数，并利用Schwarz引理阐明了连续性假设下混合偏导数顺序可交换的条件。随后，本书推导并应用了多元函数的泰勒公式，这为函数在某一点附近的局部近似提供了强大的解析工具。 4. 极值与最优化问题 多元函数微积分的实际应用集中在寻找函数的最大值和最小值。本章详细区分了局部极值和全局极值。通过对Hessian矩阵（海森矩阵）的特征值分析，我们建立了一套严谨的判别二阶偏导数临界点性质（鞍点、局部极大/极小）的准则。此外，对于受约束的优化问题，我们将引入经典的拉格朗日乘数法，展示如何处理工程和经济学中常见的资源分配问题。 5. 多重积分 从一重积分到二重、三重积分的推广，是量化三维空间中体积、质量、平均值等物理量的关键。 二重积分：我们首先在矩形区域上定义了二重积分，随后通过黎曼和的极限推广到任意有界闭区域。积分区域的坐标变换是实际计算中的关键技巧，其中雅可比行列式（Jacobian）作为面积（体积）的微小变化因子，被赋予了清晰的几何解释。 坐标系的选择：本书对极坐标系、柱坐标系和球坐标系下的二重和三重积分进行了详尽的讨论和大量的例题演示，强调了如何根据积分区域的形状来灵活选择最便捷的坐标系。 --- 第二部分：描述动态系统的语言——常微分方程 数学模型是理解自然现象变化规律的基石，而常微分方程（ODE）正是描述这些动态系统的核心工具。 1. 微分方程基础与一阶方程求解 本章首先定义了微分方程的阶、次、线性与齐次性。我们详细介绍了求解一阶常微分方程的多种经典方法，包括：变量分离法、积分因子法（用于一阶线性方程）、精确方程法以及欧拉法等数值逼近思想的初步引入。 2. 高阶线性常微分方程 这是ODE的核心部分。我们深入探讨了二阶及更高阶的线性常系数齐次与非齐次方程的解法。对于非齐次方程，重点讲解了待定系数法和常数变易法，这些方法是工程控制和电路分析的理论基础。 3. 级数解法与特殊函数 在遇到系数不为常数的微分方程时（如勒让德方程、贝塞尔方程），解析求解变得困难。本书引入了幂级数解法，展示如何通过假设解的形式为幂级数 $sum a_n x^n$ 来确定系数，从而得到特定微分方程的特殊函数解。 --- 第三部分：无限的组合与逼近——无穷级数 上册可能涉及了函数的级数展开（如泰勒级数），而本章将这些工具系统化，处理无穷序列和无穷和的收敛性问题。 1. 数项级数 从无穷序列的收敛性开始，我们严格定义了数项级数的收敛性，并引入了比值判别法、根值判别法等强大的收敛性检验工具。尤其重要的是绝对收敛与条件收敛的概念区分，以及黎曼级数定理揭示的条件收敛序列重排后结果可变的深刻悖论。 2. 函数项级数与一致收敛性 函数项级数是连接微积分与分析学的桥梁。本章的重点在于一致收敛性。我们不仅要讨论“点收敛”，更要强调“一致收敛”对保持极限运算（如积分、微分）与级数运算顺序等价性的关键作用。Weierstrass M-检验法是证明一致收敛性的有力武器。 3. 幂级数与泰勒级数 幂级数是函数逼近的终极形式。我们详细讨论了幂级数的收敛半径与收敛区间的确定，并结合上册内容，展示了初等函数（三角函数、指数函数、对数函数）的泰勒展开式是如何从基本定义推导出来的。 --- 结语 《高等数学：下》是对分析学宏伟蓝图的续写。它要求学习者付出更多的专注和严谨，因为它所处理的对象——空间、变化率的向量描述、动态系统的微分方程以及无穷的集合——都比一维实数域上的基础微积分更为抽象和深刻。本书的成功完成，标志着学习者将真正具备处理物理、工程、经济学等领域复杂数学模型的坚实基础。每一个推导和每一个定理，都指向着对世界更深层次的理解与驾驭。

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我最近读完的这本《深海的寂静回响》，完全颠覆了我对海洋生物学的既有认知。我原本以为深海是漆黑一片、了无生机的死亡之地，但这本书描绘了一个完全不同的世界：一个充满极端生命形态的、光怪陆离的生物乐园。作者，一位资深的海洋生物学家，带领读者潜入了马里亚纳海沟和热液喷口这些人类难以企及的地方。他详细描述了那些依赖化学合成而非光合作用生存的奇特生物，比如那些在数百度高温下依然能繁衍生息的嗜热细菌，以及那些全身透明、依靠自身发光来捕食和交流的深海鱼类。书中关于“生物发光”的章节尤其令人震撼，作者不仅解释了其化学机理，更描绘了这种光在黑暗中建立起来的复杂交流网络，简直就像科幻电影里的场景。文字描述极其富有画面感，仿佛我真的穿上了潜水服，透过舷窗看到了那些前所未见的生物。此外，书中对深海勘探技术的发展史也有着墨，从早期的深水提笼到现代的遥控潜水器（ROV），技术每一次进步都揭示了海洋更深层的秘密。这本书让我对地球生命力的顽强和多样性产生了深深的敬畏。

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《论宏观经济学的理性预期与政策无效性》这本书对我来说，无疑是一次智力上的严峻挑战，但也是一次极富成效的思维重塑过程。这本书的阅读体验是极其“硬核”的，它完全摒弃了传统教科书中那种温和的引导方式，而是直接切入理性预期假说（Rational Expectations Hypothesis）的核心逻辑。作者以极其严谨的数学模型和严密的逻辑推导，阐述了在预期完全理性的世界观下，系统性的、可预测的财政和货币政策将如何被市场参与者提前消化，从而导致政策“无效性”的结论。我花了大量时间去理解那些涉及动态随机一般均衡（DSGE）模型的简化概念，起初感到非常吃力，很多推导过程需要反复研读和在草稿纸上演算。然而，一旦核心逻辑链条被建立起来，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它迫使我审视过去对政策干预有效性的所有“直觉判断”，并用一种更贴近市场博弈的角度去重新审视中央银行的操作空间。对于非专业人士来说，这本书的门槛无疑是高的，但对于金融、经济学领域的专业人士，尤其是希望深入理解新古典宏观经济学流派的人来说，这本书是不可绕过的基石读物，其对政策思维的颠覆性影响是深远的。

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《古文字的迷踪：从甲骨到篆书的演变》这本书，简直是文字学爱好者的宝藏。我一直对汉字的起源抱有强烈的好奇心，但市面上很多书籍要么过于学术化，充满了生僻的专业术语，让人望而却步；要么过于科普化，流于表面，缺乏深度考据。而这本《古文字的迷踪》找到了一个完美的平衡点。作者从甲骨文的契刻特点入手，细致地分析了卜辞内容的社会背景，然后逐步过渡到金文的铸刻工艺对笔画形态的影响。最精彩的部分，我认为是关于“隶变”的论述，它清晰地梳理了线条化、符号化是如何在秦朝统一文字的过程中完成的，这不仅仅是书写工具的改变，更是一场深刻的文化转型。书中对几个关键的形声字构件的演变过程进行了长篇的追踪考证，比如“马”和“鹿”的字形变化，简直像侦探小说一样引人入胜。阅读过程中，我时不时会停下来，拿出手机查阅一些相关的考古发现，那种将书本知识与历史实物对接的感觉，令人无比满足。这本书真正做到了“以小见大”，通过对几个字的深入剖析，展现了中华文明数千年的变迁轨迹。

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这本《几何的奇妙旅程》真是一本让人大开眼界的书！我以前总觉得几何就是那些枯燥的定理和公式，背了就忘了，对生活也没什么实际指导意义。可读了这本书，我才发现，原来我们身边的一切都充满了精妙的几何构造。作者用非常生动有趣的方式，从自然界中的螺线、分形结构，讲到建筑艺术中的黄金分割和拱形力学，甚至连我们日常看到的交通标志牌的形状设计，都有其深刻的几何原理在背后支撑。他并没有停留于抽象的证明，而是大量运用了历史典故和实际案例来阐释概念。比如，书中关于毕达哥拉斯学派对完美数和宇宙和谐的追求那一段，读来令人心驰神往，仿佛能感受到两千多年前的先哲们对真理的虔诚探索。书中配图虽然不多，但每一张都恰到好处，帮助读者快速理解复杂的空间关系。我尤其喜欢作者在探讨欧几里得几何与非欧几何分野时所采用的哲学思辨角度，这让我开始思考“空间”这个概念本身，而不仅仅是如何计算面积和体积。对于那些渴望在日常生活中发现美和规律的人来说，这本书绝对是一剂强心针，它将枯燥的数学工具转化成了观察世界的全新视角。

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我对《烹饪的化学奥秘》这本书的评价只能用“相见恨晚”来形容。作为一名业余烘焙爱好者，我经常遇到各种失败的案例：蛋糕塌陷、面包发不起来、酱汁总是油水分离。我一直以为这只是经验不足的问题，直到我翻开了这本书。作者，一位经验丰富的食品化学家，把看似神秘的烹饪过程分解成了无数个可量化的化学反应。他深入浅出地解释了蛋白质变性如何形成酥皮，美拉德反应如何带来诱人的焦糖色和香气，以及酵母菌在面团中产生的气体结构才是面包松软的关键。最让我受益匪浅的是关于“乳化”那一章，他详细说明了蛋黄中的卵磷脂如何充当高效的乳化剂，解决了我在制作蛋黄酱和奶油酱时的所有困扰。全书语言严谨但不失幽默，常常用生活化的比喻来解释复杂的分子结构变化，让人在学习科学知识的同时，也体会到了烹饪的乐趣。我甚至开始尝试根据书中的理论，主动调整食谱中的酸碱度和温度，取得了令人惊喜的效果。这本书不仅是一本工具书，更是一部提升“吃货”素养的百科全书，强烈推荐给所有想从“照着做”进阶到“理解为什么”的厨房探索者。

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