Basic Linear Partial Differential Equations (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Francois Treves

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:2006-11-17

价格:USD 25.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486453460

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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• 偏微分方程
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• 数学分析
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《基础线性偏微分方程》 概述 本书是一本全面介绍基础线性偏微分方程（PDE）理论与方法的著作。它旨在为读者提供坚实的数学基础，使他们能够理解并解决科学与工程领域中普遍遇到的偏微分方程问题。全书内容严谨，逻辑清晰，循序渐进，从最基本的概念入手，逐步深入到更高级的分析技巧和应用。本书特别注重 PDE 的物理背景和几何解释，强调数学工具在解决实际问题中的作用，而非仅仅作为抽象理论的展示。 核心内容与结构 本书的编排围绕着 PDE 的几个核心概念和经典方程展开，并辅以大量的例题和练习，帮助读者巩固所学知识。 第一部分：基本概念与初步分析 偏微分方程的定义与分类： 本部分首先清晰地界定了偏微分方程的含义，即包含两个或多个自变量的导数的方程。我们将对 PDE 进行基本分类，例如根据其阶数（最高阶导数的阶数）、线性的性质（线性、拟线性、非线性）以及主要类型（椭圆型、抛物型、双曲型）。这种分类是理解和选择求解方法的基础。 基本解的存在性与性质： 引入了“基本解”的概念，这是许多 PDE 理论分析的关键。我们将探讨一些典型方程（如拉普拉斯方程、热方程、波动方程）的基本解的构造方法，并分析它们的性质，如奇点行为、衰减特性等。 初边值问题的提出： 详细阐述了求解 PDE 时所必需的初始条件（在初始时刻的状态）和边界条件（在区域边界上的约束）。根据问题的物理背景，我们将区分初值问题（只涉及初始条件）、边值问题（只涉及边界条件）和初边值问题（兼有两者）。这些条件的引入使得 PDE 问题从一般方程转化为有确定解的具体问题。 变量分离法： 这是求解线性常系数 PDE 最为基础和重要的方法之一。本书将深入讲解如何将一个 PDE 问题转化为一系列常微分方程（ODE）问题。我们将详细演示如何对不同的方程（如热方程、波动方程、拉普拉斯方程）和不同的区域（如矩形域、圆形域）应用变量分离法，并分析其在求解周期性边界条件和齐次边界条件下的有效性。 第二部分：经典偏微分方程的理论与方法 拉普拉斯方程与泊松方程（椭圆型方程）： 调和函数： 深入探讨拉普拉斯方程 $Delta u = 0$ 的解，即调和函数的性质。我们将分析调和函数的强极值原理、平均值性质、唯一性定理等。这些性质对于理解稳态物理现象（如稳态温度分布、电势分布）至关重要。 边值问题： 重点研究在不同边界（如狄利克雷边界条件、诺依曼边界条件）下的边值问题。我们将介绍求解这些问题的一些解析方法，例如格林函数法。 格林函数法： 详细讲解格林函数的概念及其在求解泊松方程 $Delta u = f$ 中的应用。我们将演示如何构造格林函数，并利用它来表示方程的解，特别是在有界区域上的情况。 数学物理中的应用： 阐述拉普拉斯方程在静电学、稳态传热、流体力学（势流）等领域的应用。 热方程（抛物型方程）： 热传导的数学模型： 以热传导方程 $frac{partial u}{partial t} = k Delta u$ 为例，讲解抛物型方程的物理背景。 初边值问题的解法： 重点介绍求解热方程初边值问题的各种方法。 无穷远和半无界域上的热方程： 探讨在无限区域或半无限区域上热方程的解法，以及如何处理这类问题。 能量方法： 引入能量守恒或能量耗散的思想，利用能量积分来证明解的存在性、唯一性以及稳定性。 数学物理中的应用： 介绍热方程在传热、扩散过程等领域的应用。 波动方程（双曲型方程）： 波的传播模型： 以波动方程 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 Delta u$ 为例，讲解双曲型方程的物理背景，如声波、光波、弹性波的传播。 达朗贝尔公式： 详细推导并讲解一维波动方程的达朗贝尔公式，分析其解的结构，包括波的传播速度、叠加原理等。 高维波动方程： 探讨高维波动方程的求解方法，以及 Huygens 原理在解的传播中的作用。 能量方法： 同样，利用能量方法来分析波动方程解的存在性、唯一性和稳定性。 数学物理中的应用： 介绍波动方程在声学、光学、弹性力学、电磁学等领域的应用。 第三部分：高级分析技巧与理论 泛函分析方法： 引入泛函分析中的一些基本概念，如函数空间、范数、内积、线性算子等，并展示如何用这些工具来研究 PDE。 Sobolev 空间： 详细介绍 Sobolev 空间的定义、性质及其在 PDE 理论中的重要性。它为在更广阔的空间（如 $L^p$ 空间）中研究 PDE 的解提供了框架，使得我们能够处理光滑性不如经典解的“广义解”或“弱解”。 存在性与唯一性定理： 在泛函分析和 Sobolev 空间的框架下，深入证明一些重要的存在性与唯一性定理，如 Leray-Schauder 理论、Galerkin 方法等。 渐近分析： 探讨当某些参数趋于极端值（如趋于零或无穷大）时，PDE 解的渐近行为。这对于理解一些物理现象的极限情况（如薄膜振动、长波近似）非常重要。 广义解与弱解： 介绍关于 PDE 解的更一般的概念，超越了传统意义上的光滑解。这对于处理非光滑方程或在边界处解的导数不存在的情况至关重要。 线性算子理论： 将 PDE 的求解问题转化为抽象线性算子在函数空间中的作用。研究算子的谱性质、特征值、特征函数等，这与许多物理问题的能量谱分析紧密相关。 第四部分：数值方法简介（选讲） 有限差分法： 简要介绍有限差分法，如何将 PDE 的微分算子用差分近似代替，从而将 PDE 问题转化为代数方程组。 有限元法： 简要介绍有限元法，如何通过将求解区域划分为小型单元，并在每个单元上用简单的函数（如多项式）来近似解，从而构建方程组。 数值方法的优缺点： 讨论这些数值方法的适用范围、精度、稳定性和计算效率。 学习本书的益处 通过学习本书，读者将能够： 1. 建立坚实的理论基础： 深入理解 PDE 的基本理论，掌握各种经典方程的数学性质。 2. 掌握通用的求解方法： 熟练运用变量分离法、格林函数法等解析方法，以及初步了解数值方法的思想。 3. 提升分析与解决问题的能力： 能够根据实际问题选择合适的 PDE 模型，并运用所学方法进行求解与分析。 4. 理解 PDE 的物理和几何意义： 建立 PDE 与物理现象之间的联系，理解数学公式背后的深刻含义。 5. 为深入研究打下基础： 为进一步学习更高级的 PDE 理论、非线性 PDE 或特定领域的应用 PDE 做好准备。 本书适合于数学、物理、工程、计算机科学等相关专业的本科生、研究生以及对偏微分方程感兴趣的科研人员。它是一本集理论性、方法性、应用性于一体的经典教材。

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**第一段** 这部作品的数学深度简直令人叹为观止，作者在处理偏微分方程（PDEs）的严谨性上展现了教科书级别的功力。我尤其欣赏它对傅立叶变换和拉普拉斯变换在求解特定边界值问题中应用的细致阐述。例如，在讲解热传导方程时，作者并未停留在简单的公式推导，而是深入探讨了能量守恒和解的唯一性是如何从基本原理中自然涌现的。那种层层递进、逻辑链条密不透风的论证方式，让初学者也能窥见数学美学的核心。书中的习题设计也极为巧妙，它们往往不是简单的数值计算，而是引导你思考解的物理意义和数学性质，迫使读者真正“动手”去理解那些抽象的符号背后所代表的物理现象。如果你是希望建立扎实数学基础的研究生或工程师，这本书提供的视角是极其宝贵的，它教会你的不只是如何“解”一个方程，更是如何“理解”一个方程。阅读过程中，我时常需要放慢速度，反复咀嚼那些定理的证明细节，每一次回顾都能带来新的领悟。

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**第四段** 我必须承认，这本书在处理经典PDE类型，特别是涉及分离变量法和格林函数法的章节时，达到了近乎完美的阐述高度。作者对边界条件的整合和对非齐次问题的处理展现了极高的技巧。例如，在讲解格林函数时，他不仅给出了构建步骤，还详细论证了为什么格林函数能够充当一个“核”，将源项与响应联系起来，这种哲学层面的解释对于深化理解至关重要。然而，在现代数学物理领域中越来越受重视的一些新兴话题，比如变分方法在椭圆方程中的现代解读，或者更广义的Sobolev空间理论，在这本书中显得相对简略或未被触及。这让我意识到，这部经典著作更侧重于二十世纪上半叶成熟的解析方法体系。对于想要快速跟进当代PDE研究前沿的读者来说，它提供了一个坚实的地基，但后续的“建筑”搭建则需要借助更新的资料。

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**第二段** 说实话，这本书的阅读体验是相当“硬核”的，它毫不妥协地将读者置于纯粹的数学框架之中，对背景知识的要求颇高。对于我这种更偏向应用层面、期望快速找到现成工具来解决实际工程问题的读者来说，这本书的前期铺垫显得有些冗长。它似乎更青睐于对经典解析解法的系统梳理，而不是对数值方法或近似技巧的广泛介绍。当然，这种专注也是它的优点，它确保了我们对那些“特殊”方程——比如波动方程在不同维度下的行为——有着透彻的认知。但是，当我在实际工作中遇到高度非线性的、不具备解析解的复杂系统时，我发现自己需要转向其他更侧重计算和仿真的资料来弥补这方面的空白。因此，它更像是一部奠基性的参考书，而不是一本“速查手册”。它要求你心无旁骛，与数学本身进行一场深刻的对话，缺少对现代计算工具的接纳，使得其应用性略显滞后。

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**第五段** 从结构上看，这本书的组织逻辑清晰得令人钦佩，它像是一部精心规划的数学旅行路线图，从一维简单情况逐步过渡到高维、多变量的复杂系统。每章的结构都遵循着“介绍问题——寻找特定解形式（例如级数解）——验证与讨论解的性质”的模式，这种可预测性大大降低了学习的认知负荷。我个人最喜欢它在讨论定性理论时的严谨态度，比如关于稳态解（对应拉普拉斯方程）的极值原理的证明，清晰地展示了为什么物理上的“平滑”要求在数学上如何被严格保证。尽管全书的叙述风格偏向于严谨的数学证明，但作者偶尔插入的对特定物理情境的简短评论，如同在严密的逻辑迷宫中出现的微小窗口，提醒读者我们所处理的不仅仅是符号游戏，而是对真实世界规律的建模尝试。这本书的价值在于其内在的一致性和对基础理论的深度挖掘，是任何严肃学习者书架上不可或缺的一本老前辈。

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**第三段** 这本书的排版和装帧风格，完美继承了多佛出版社一贯的朴实无华，但这种“复古”感带来的阅读体验却是双刃剑。字体选择和间距设计在长时间的符号密集阅读后，会让我感觉眼睛略微疲劳，它不像当代许多印刷品那样注重视觉的舒适度。然而，一旦你适应了这种简洁的呈现方式，你会发现内容的密度极高。没有花哨的插图或彩色的图表来分散注意力，所有的信息都以最纯粹的数学语言呈现。这迫使我的注意力完全集中在公式和逻辑推理上，反而有助于深度思考。我对其中关于特征线法在双曲型方程中的应用描述印象深刻，作者用一种极其简洁的方式将这种几何直觉巧妙地嵌入到代数运算之中。这本教材的价值在于其内容的“纯度”，它剔除了所有不必要的修饰，直击数学问题的本质，适合那些追求绝对清晰和精确表达的严肃学习者。

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