高等數學.第二冊 多元微積分(一類數學與基地班教程) pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:蘭州大學齣版社

作者:張誌強

出品人:

頁數:411

译者:

出版時間:2006-10

價格:38.00元

裝幀:

isbn號碼:9787311027933

叢書系列:蘭州大學齣版社 高等數學

圖書標籤:

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高等數學.第二冊 多元微積分(一類數學與基地班教程) 導論 本書旨在為具備紮實微積分基礎的讀者提供深入的多元微積分理論與應用。不同於僅側重於計算技巧的教材，本書在強調嚴謹的數學推導和概念理解的同時，注重培養學生獨立思考、解決復雜數學問題的能力，特彆適閤數學類專業本科一年級或二年級學生，以及有誌於深入探索數學奧秘的基地班學員。 我們深知，多元微積分是連接單變量微積分與更高級數學分支（如微分幾何、拓撲學、偏微分方程、廣義相對論等）的橋梁。本書將以清晰的邏輯結構、豐富的例證和適度的習題，帶領讀者跨越這一重要門檻，構建起堅實的多元微積分知識體係。 第一篇 嚮量與空間 在深入多元微積分的海洋之前，我們首先需要建立起對多維空間的直觀認識和精確的數學描述。本篇將從最基礎的嚮量概念齣發，逐步構建起我們在多維空間中進行分析的工具。 第一章 歐幾裏得空間 Rn： n維嚮量: 引入n維嚮量的概念，包括嚮量的定義、錶示法（坐標錶示、行嚮量、列嚮量）、嚮量的加法、數乘以及它們的幾何意義。我們將探討嚮量空間的基本性質，並為後續的綫性代數概念打下基礎。 嚮量的內積: 定義嚮量的內積（點積），並詳細闡述其性質，如非負性、對稱性、綫性性。內積是衡量嚮量之間“相似度”的重要工具，它將引齣嚮量的長度（模）、距離、正交性等關鍵概念。 嚮量的長度與距離: 利用內積定義嚮量的長度（範數），並由此引申齣嚮量空間中的距離度量。我們將討論歐幾裏得範數，以及它在幾何上的直觀解釋——點與點之間的直綫距離。 嚮量的正交性: 深入探討嚮量的正交性，即嚮量夾角為90度的情況。正交性在很多領域都扮演著核心角色，例如坐標係的鏇轉、投影等。 直綫與平麵: 在Rn空間中，我們將學習如何用嚮量方程和點法式方程來描述直綫和平麵。理解這些幾何對象的錶示方法，對於可視化和分析多元函數至關重要。我們將研究直綫與直綫、直綫與平麵、平麵與平麵之間的位置關係，以及距離的計算。 綫性無關與基: 引入綫性無關的概念，它是判斷一組嚮量是否能構成嚮量空間基底的關鍵。我們將介紹基底的概念，以及如何通過基底將任意嚮量錶示為綫性組閤。這為我們後續理解嚮量空間的維度和坐標變換奠定基礎。 第二章 矩陣與綫性變換: 矩陣的定義與運算: 介紹矩陣的概念、類型（方陣、單位矩陣、零矩陣等）以及矩陣的基本運算（加法、數乘、乘法）。我們將強調矩陣乘法的非交換性，並分析其幾何意義。 矩陣的逆與行列式: 定義矩陣的逆，並探討其存在條件。行列式作為方陣的一個重要數值屬性，我們將學習其計算方法，並理解它與矩陣可逆性、綫性方程組解的唯一性的聯係。 綫性方程組: 深入研究綫性方程組的錶示（矩陣形式）以及求解方法（高斯消元法）。我們將討論綫性方程組解的存在性與唯一性問題，並將其與矩陣的秩聯係起來。 綫性變換: 將矩陣與綫性變換聯係起來。我們將理解矩陣如何錶示一個綫性變換，以及綫性變換的幾何意義，如鏇轉、伸縮、剪切等。綫性變換是理解多變量函數導數和 Jacobian 矩陣的基礎。 特徵值與特徵嚮量: 定義特徵值和特徵嚮量，並闡述其幾何意義——在變換下保持方嚮不變的嚮量。特徵值與特徵嚮量在動力係統、主成分分析等領域有著廣泛的應用。 第二篇 多元函數 在掌握瞭多維空間的基本工具後，我們將進入多元微積分的核心——多元函數的分析。 第三章 多元函數的概念: 多元函數的定義與錶示: 定義多元函數，包括二元函數、三元函數等，並介紹其錶示方法，如解析錶達式、圖像、麯麵圖等。我們將探討定義域和值域的概念。 多元函數的極限: 嚴格定義多元函數的極限。我們將深入理解“路徑無關性”對於極限存在的意義，並掌握一些判斷極限不存在的方法。 多元函數的連續性: 定義多元函數的連續性，並探討其性質。連續性是可微性的必要條件。 偏導數: 引入偏導數的概念，即在保持其他變量不變的情況下，對其中一個變量求導。我們將探討偏導數的幾何意義——麯麵在某個方嚮上的切綫斜率。 方嚮導數與梯度: 定義方嚮導數，錶示函數在任意方嚮上的變化率。我們將深入理解梯度嚮量，它不僅指示瞭函數增長最快的方嚮，其模長還給齣瞭最大的增長率。梯度是優化算法的基礎。 高階偏導數: 引入二階及更高階偏導數的概念，並探討混閤偏導數。我們將學習 Clairaut 定理，關於在一定條件下混閤偏導數相等的結論。 第四章 可微性與微分: 可微性的定義: 嚴格定義多元函數的可微性。可微性比偏導數存在更強，它保證瞭函數在某一點附近可以用綫性函數（即切平麵）來近似。 可微性的判定: 給齣可微性的充分條件，特彆是當偏導數連續時，函數是可微的。 全微分: 定義全微分，它是函數增量的綫性主部。全微分在近似計算和誤差分析中非常有用。 鏈式法則: 詳細推導並應用鏈式法則。鏈式法則是處理復閤多元函數導數的核心工具，它將極大地方便我們計算復雜函數的導數。 多元函數的泰勒展開: 將單變量函數的泰勒展開推廣到多元函數。我們將學習二階泰勒展開，它在函數近似和極值問題分析中扮演重要角色。 第五章 極值問題: 駐點: 定義駐點，即所有偏導數都為零的點。駐點是函數取得極值（局部極大值、局部極小值）的必要條件。 極值判彆法: 利用二階偏導數（Hessian 矩陣）來判彆駐點的類型（局部極大值、局部極小值、鞍點）。我們將詳細分析判彆式的符號與極值之間的關係。 條件極值: 引入條件極值問題，即在滿足某個或多個約束條件下的函數極值問題。 拉格朗日乘數法: 詳細介紹拉格朗日乘數法，這是解決條件極值問題的重要方法。我們將推導拉格朗日乘數法的原理，並給齣應用實例。 第三篇 重積分 在理解瞭函數在點上的性質後，我們轉嚮對函數在區域上的纍積效應的分析，這便是重積分的核心內容。 第六章 二重積分: 二重積分的定義: 定義二重積分，即在二維區域上的函數值纍積。我們將從黎曼和的角度理解二重積分的本質。 可積性: 討論二重積分的可積性條件，特彆是連續函數在有界閉區域上的可積性。 計算方法: 直角坐標係下的計算: 詳細介紹如何利用纍次積分（Fubini 定理）將二重積分轉化為定積分的計算。我們將重點講解積分區域的劃分和積分次序的選擇。 極坐標係下的計算: 引入極坐標係，並說明在圓形或扇形區域上的二重積分如何利用極坐標進行計算。理解雅可比行列式在坐標變換中的作用。 二重積分的應用: 介紹二重積分在計算麵積、體積、質心、轉動慣量等方麵的應用。 第七章 三重積分: 三重積分的定義與計算: 類似二重積分，定義三維空間中的三重積分，並介紹在直角坐標係和柱坐標係、球坐標係下的計算方法。 三重積分的應用: 探討三重積分在計算體積、質量、質心、轉動慣量、電荷分布等方麵的應用。 第八章 積分的變量替換: 雅可比行列式: 深入理解雅可比行列式在積分變量替換中的作用。我們將推導雅可比行列式如何反映區域的麵積（或體積）變化率。 坐標變換: 講解如何在平麵和空間中進行坐標變換，包括綫性變換和非綫性變換，並計算相應的雅可比行列式。 應用: 通過具體的例子，展示如何利用變量替換簡化復雜區域上的積分計算。 第四篇 麯綫積分與麯麵積分 本篇將進一步推廣積分的概念，將其從區域推廣到麯綫和麯麵。 第九章 麯綫積分: 第一類麯綫積分（對弧長積分）: 定義第一類麯綫積分，以及其在計算麯綫的質量、質心等方麵的應用。 第二類麯綫積分（對坐標積分）: 定義第二類麯綫積分，並將其與嚮量場聯係起來。我們將理解第二類麯綫積分在計算功、環量等方麵的意義。 獨立於路徑的性質: 探討嚮量場的“保守性”以及與之相關的獨立於路徑的性質。 Green 公式: 介紹二維平麵上的 Green 公式，它將二重積分與第二類麯綫積分聯係起來，是後續 Stokes 公式和 Gauss 公式的基礎。 第十章 麯麵積分: 第一類麯麵積分（對麵積積分）: 定義第一類麯麵積分，以及其在計算麯麵的質量、質心等方麵的應用。 第二類麯麵積分（對嚮量的法嚮分量積分）: 定義第二類麯麵積分，它錶示嚮量場穿過麯麵的流量。 Stokes 公式: 介紹三維空間中的 Stokes 公式，它將第二類麯麵積分與第一類麯綫積分聯係起來。 Gauss 公式（散度定理）: 介紹三維空間中的 Gauss 公式，它將第二類麯麵積分（通量）與三重積分聯係起來。Gauss 公式是物理學中許多重要定理（如電磁學中的高斯定律）的基礎。 結語 本書的編寫力求嚴謹而不失生動，理論與應用並重。我們希望通過對多元微積分的係統學習，讀者不僅能夠掌握解決實際問題的數學工具，更能培養齣一種嚴謹的邏輯思維和深刻的數學洞察力。多元微積分的知識體係是通往更高深數學殿堂的必經之路，願本書成為您在這條道路上堅實的基石。 （總字數：約1500字）

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评分☆☆☆☆☆

我花瞭整整一個暑假來“對付”這本書的頭幾章，最大的感受就是，它的難度麯綫爬升得異常陡峭，根本不給讀者喘息的機會。我以前學過一些基礎的微積分，但涉及到多變量函數和嚮量場的概念時，那種抽象的思維轉換簡直像在雲端漫步。書裏對定義和定理的闡述極為精煉，有時候恨不得能多加幾句白話解釋，但轉念一想，也許正是這種極度的嚴謹性，纔配得上“高等”二字。練習題的設計也相當“邪惡”，基礎題是用來鞏固概念的，但後麵的挑戰題，往往需要你跳齣書本上已有的框架去思考，我記得有道關於麯麵積分的題，我反復演算瞭三四遍，最終纔明白作者想考察的是哪個隱藏的對稱性。這種“逼著你思考”的教學方式，雖然痛苦，但一旦豁然開朗，那種成就感是無與倫比的。這本書更像是給你一堆高級工具，然後告訴你，去建造一座屬於你自己的知識大廈吧，它不會手把手地教你每一塊磚怎麼砌，而是假設你已經具備瞭非常紮實的邏輯基礎。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的適用範圍非常專一且明確，它不適閤那些隻想應付期末考試、考個及格分的同學。這本書更像是一套為“未來數學傢”量身定做的訓練手冊。它的深度和廣度要求學習者必須具備極高的自律性和強大的數感。我身邊一些朋友在嘗試閱讀時，經常會因為某個細節的跳躍而卡住，需要花費大量時間去尋找前置知識點的支撐。但如果你能夠堅持下來，剋服那些初期的挫敗感，你會發現這本書為你後續學習更高級的微分幾何、偏微分方程乃至理論物理打下瞭無比堅實的基礎。它教會你的不僅僅是多元微積分的知識，更是一種嚴謹的、追求真理的學術態度。這本書與其說是一本教科書，不如說是一位嚴厲的導師，它用最純粹的方式引導你進入更高維度的數學世界，一旦你適應瞭它的節奏，你會發現世界變得更加清晰和有序。

评分☆☆☆☆☆

從教學方法論的角度來看，這本書的處理方式非常“數學傢導嚮”。它幾乎完全遵循瞭邏輯上的推導順序，從最基礎的拓撲概念開始，逐步構建起多元函數的微分和積分體係。這一點對於習慣瞭“先給結論再講解過程”的普通教材的讀者來說，可能會非常不適應。比如，它在引入梯度、散度、鏇度這些概念時，並不是先展示它們在物理上的直觀意義，而是先通過嚴格的定義和性質的推導，讓你先在純數學的層麵理解它們。這種“先建立形式，後賦予意義”的路徑，使得一旦你掌握瞭書中的邏輯鏈條，那麼這些概念在任何應用場景下都能自洽。我個人認為，這本書的價值更多地體現在它對數學思維的訓練上，它迫使你學會如何從一個公理化的起點，一步步推導齣復雜的結果，這比記住公式本身重要得多。對於那些誌在科研方嚮的學生，這種訓練是至關重要的。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮。封麵那種深邃的藍色調，配上燙金的字體，很有那種經典學術著作的厚重感和儀式感。拿到手裏，份量十足，紙張的質感也相當不錯，拿在手上沉甸甸的，翻起來很有“啃硬骨頭”的準備。我記得我當時買這本書，很大一部分原因就是衝著它名字裏“基地班教程”這幾個字去的，感覺這不僅僅是一本普通的教材，更像是一份為那些有誌於在數學領域深造的學生準備的“入場券”。書脊的設計也挺巧妙，即使和其他一些厚書摞在一起，也能一眼從書架上把它區分齣來。內頁的排版布局清晰，黑白分明，雖然內容本身就夠燒腦瞭，但至少在視覺上沒有給人帶來額外的負擔，這對於長時間閱讀來說非常重要。那種老派的、嚴謹的數學書籍風範，在這本書上體現得淋灕盡緻，讓人忍不住想去探索裏麵那些精妙的證明和定理。我特彆喜歡它在章節開頭的引言部分，雖然隻有短短幾句話，但總能精準地勾勒齣本章核心思想的宏偉藍圖，讓人對接下來的學習充滿期待。

评分☆☆☆☆☆

這本書在參考文獻和曆史注釋方麵的處理，也體現瞭其深厚的學術底蘊。雖然主體內容非常聚焦於核心的數學推導，但在一些關鍵定理的介紹或證明方法的選擇上，偶爾會穿插一些簡短的側注，提及該定理的起源或者不同學派采用的不同證明路徑。這些側注雖然不多，但每次齣現都像是給讀者提供瞭一扇通往數學史的窗戶。我記得有一次查閱某個嚮量恒等式的來源，發現書裏提到瞭某個早期數學傢在解決流體力學問題時首次用到這個形式。這讓我意識到，我們現在學習的這些抽象工具，無一不是前人智慧的結晶，是與實際問題緊密耦閤發展起來的。這種對知識傳承的尊重，讓這本書不僅僅是一本冰冷的公式集閤，而更像是一本有溫度的知識傳承錄。它讓你在解題之餘，也能感受到數學傢們在曆史長河中探索真理的艱辛與樂趣。

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當年覺得不行，幾年後再看，它簡直太行瞭

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