具体描述
《现代数学基础:现代芬斯勒几何初步》内容介绍：近些年来，芬斯勒几何的研究取得了全新的实质性进展。如果说黎曼几何是一幅深刻描述空间形态的黑白图画，那么芬斯勒几何就是这种描述的绚丽多姿的彩色画卷。芬斯勒几何的观点和方法，不仅与数学的其他分支，如微分方程、李群、代数学、拓扑学、非线性分析等密切相关，而且在数学物理、理论物理、生物数学、控制论、信息论等其他学科中得到越来越广泛的应用。
《现代数学基础:现代芬斯勒几何初步》由作者在多年教学实践的基础上编写而成。作者以张量分析为主要工具，系统介绍了芬斯勒几何的基本概念和方法，并兼顾经典理论和最新进展的内容，使读者在阅读《现代数学基础:现代芬斯勒几何初步》后能独立从事芬斯勒几何的研究。全书分两大篇：基础篇和研究篇，共十一章。内容包括：微分流形、芬斯勒度量、陈联络和结构方程、S曲率、芬斯勒度量的黎曼曲率、芬斯勒度量的射影变换、芬斯勒流形的体积比较定理和基本群、芬斯勒子流形和调和映射等。书中还附有Maple计算程序。
作者简介
目录信息
第一章微分流形
1.1微分流形
1.1.1微分流形
1.1.2微分流形的例子
1.2向量场与张量场
1.2.1向量丛
1.2.2张量场
1.3外形式与外微分
1.3.1外微分算子
1.3.2 de Rham定理
1.4向量丛和联络
1.4.1向量丛的联络
1.4.2联络的曲率
习题
第二章芬斯勒度量
2.1芬斯勒度量
2.1.1芬斯勒度量
2.1.2芬斯勒度量的例子
2.2嘉当挠率
2.2.1嘉当挠率
2.2.2 Deicke定理
2.3希尔伯特形式和喷射
2.3.1希尔伯特形式
2.3.2喷射
2.4测地线
2.4.1测地线
2.4.2测地系数
2.4.3测地完备性
习题
第三章联络与曲率
3.1联络
3.1.1陈联络
3.1.2 Berwald度量和Landsberg度量
3.2曲率
3.2.1陈联络的曲率形式
3.2.2旗曲率和Ricci曲率
3.3 Bianchi恒等式
3.3.1共变微分
3.3.2 Bianchi恒等式
3.3.3其他公式
3.4 Legendre变换
3.4.1对偶空间的对偶模
3.4.2 Legendre变换
习题
第四章S曲率
4.1体积测度
4.1.1 Busemann—Hausdorff体积元
4.1.2射影球丛SM诱导的体积元
4.2 S曲率
4.2.1畸变
4.2.2 s曲率和E曲率
4.3迷向S曲率
4.3.1迷向S曲率和迷向E曲率
4.3.2迷向S曲率的Randers度量
4.3.3测地流
习题
第五章黎曼曲率
5.1弧长的第二变分
5.1.1第二变分
5.1.2曲率与拓扑初步
5.2数量旗曲率
5.2.1 Schur定理
5.2.2常数旗曲率
5.3整体刚性结果
5.3.1特殊旗曲率条件
5.3.2非正旗曲率流形
5.4导航术
5.4.1导航问题
5.4.2 Randers度量与导航术
5.4.3 Ricci曲率和爱因斯坦度量
习题
研究篇
第六章射影变换
6.1射影等价
6.1.1射影等价
6.1.2射影不变量
6.2射影平坦度量
6.2.1射影平坦度量
6.2.2常旗曲率的射影平坦度量
6.3具有殆迷向S曲率的射影平坦度量
6.3.1具有殆迷向S曲率的Randers度量
6.3.2具有殆迷向S曲率的射影平坦度量
6.4射影等价的特殊芬斯勒度量
6.4.1射影等价的Randers度量
6.4.2（α，β）度量的射影等价
6.4.3二次（α，β）度量的射影等价
习题
第七章 比较定理
7.1芬斯勒流形的体积比较定理
7.1.1指数映射的Jacobi
7.1.2距离函数和比较定理
7.1.3体积比较定理
7.2 Berger—Kazdan比较定理
7.2.1 Kazdan不等式
7.2.2可反芬斯勒流形的刚性
7.2.3 Berger—Kazdan比较定理
习题
第八章 芬斯勒流形的基本群
8.1芬斯勒流形的基本群
8.1.1基本群与覆盖空间
8.1.2代数模和几何模
8.1.3基本群的增长
8.2基本群的熵和有限性
8.2.1基本群的熵
8.2.2第一Betti数
8.2.3基本群的有限性
……
附录 Maple计算程序
参考文献
索引
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
阅读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一次思维体操。作者在构建理论体系时，似乎非常推崇“从特殊到一般”的路径。他不会一开始就用最普遍的公理去限制思维，而是从一些非常具体、甚至可以说是反直觉的例子入手，比如在低维空间中观察到的某些奇异性质，然后巧妙地将这些性质推广到更高维度的抽象结构中去。这种由表及里的探索过程，极大地激发了读者的主动思考。我常常发现自己在读完一个定理的阐述后，会忍不住停下来，试图自己去构造一个反例或者验证其在某个边界条件下的行为，这种主动参与感是很多传统教材难以给予的。可以说，这本书不只是在传授知识，更是在训练一种看待世界和解析结构的独特“数学眼光”。
这本书的叙事节奏把握得非常到位，它不像某些专业书籍那样急于求成，恨不得在第一章就把所有基础都塞给你。相反，它更像一位经验丰富的向导，带着你在知识的迷宫中缓缓前行。初读时，我感到内容推进得略显缓慢，但随着阅读深入，我才意识到这种“慢”恰恰是精妙之处。作者总是在你即将感到困惑的临界点前，提供了一个恰到好处的铺垫或一个历史背景的小故事，让你在理解概念的同时，也明白了它被创造出来的“为什么”。这种娓娓道来的方式，极大地增强了知识的粘合度。我尤其欣赏作者在处理某些历史遗留的争论点时所采取的立场——既尊重了先驱者的贡献，又清晰地指出了后续发展中更优化的路径，使得整个学科图景显得立体而真实，而非僵硬的教条堆砌。
这本书的装帧设计实在是令人眼前一亮，那种沉稳又不失现代感的封面配色，让人一上手就觉得这不是一本寻常的科普读物。内页的纸张质感也相当出色，虽然内容是关于相对晦涩的数学概念，但印刷清晰，排版布局合理，即便长时间阅读也不会感到视觉疲劳。作者在引入新概念时，似乎非常注重引导读者的直观感受，而不是一开始就抛出复杂的公式。我记得有一章专门讲解了某些拓扑空间的内在联系，作者没有采用教科书式的生硬定义，而是借用了许多日常生活中能观察到的几何现象作为类比，这极大地降低了我进入这个领域的心理门槛。特别是那些插图，寥寥几笔却精准地勾勒出了抽象结构的本质，这背后无疑是作者深厚的学术功底和高超的表达技巧的体现。整体来看，这本书在视觉和触觉上都提供了高水准的阅读体验，让人愿意捧在手中细细品味，而不是匆匆翻过。
这本书的真正价值，或许在于它成功地为“直观想象”和“严格证明”之间架设了一座坚固的桥梁。很多读者可能和我一样，一开始对某些高维度的几何概念只能停留在模糊的图像上，缺乏形式化的把握。这本书在这方面做得非常出色。它没有回避严格性，但它总能在一个纯粹的证明步骤之后，立刻引导你回到那个让你产生兴趣的几何直觉上，解释这个步骤在几何意义上究竟意味着什么。例如，在探讨某个特定变换的性质时，作者不仅给出了所有必要的代数推导，还配上了对这些推导在空间扭曲或映射中所代表含义的深刻解读。这使得学习过程不再是枯燥的符号操作，而是充满洞察力的探索，真正达到了“心领神会”的境界。
我必须得提一下这本书在专业术语处理上的细致入微。对于每一个新的专有名词，作者都非常耐心地给出了清晰的定义，而且定义之后通常会紧跟一个或两个用以区分和强化的例子。最让我感到惊喜的是，作者似乎对中文数学语境下的习惯用法有着深刻的理解。在一些容易产生歧义的术语翻译上，他选择了更符合当前国内学术界主流认同的表达，这对于一个想要将这些知识应用于实际研究的读者来说，无疑是极大的便利。这体现了作者不仅是理论的掌握者，更是知识传播的精通者，他深知读者在跨越语言障碍时可能遇到的所有细微的陷阱，并提前设置好了路标。这本书在严谨性和可读性之间找到了一个令人称赞的平衡点。
